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安徽省亳州市涡阳四中2014-2015学年高二第二学期期末数学试卷(文科) Word版含解析


2014-2015 学年安徽省亳州市涡阳四中高二(下)期末数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1.已知 i 为虚数单位,a∈R,如果复数 2i﹣ A. ﹣4 B. 2 C. ﹣2 D. 4 2.已知全集 U=Z,A={﹣1,0,1,2},B={x∈R|x =3x﹣

2},则 A∩(? UB)=( A. {﹣1,2} B. {﹣1,0} C. {0,1} D. {1,2}
2

是实数,则 a 的值为(





3.命题“ A. C.

”的否定是( B. . D.



4.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( ) A. f(x)=|x| B. f (x)=x﹣|x| C. f(x)=x+1 D. f(x)=﹣x 5.三个数 a=7 ,b=0.3 ,c=ln0.3 大小的顺序是( ) A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. c>a>b 6.定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2) =0,则“
x 0.3 7

”是

“2 >4”成立的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.f(x)=|x﹣1|的图象是( )

A.

B.

C.

D.

8.已知 f(x)= (

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为

) A. (1,+∞) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8)

9.定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,已知 f(x+1)是偶函数, (x﹣1)f′(x) <0.若 x1<x2,且 x1+x2>2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( ) A. f(x1)<f(x2) B. f(x1)=f(x2) C. f(x1)>f(x2) D. 不确定

10.设定义域为 R 的函数 f(x)= (x)+m 有 7 个零点,则实数 m 的值为( A. 0 B. 6 C. 2 或 6 D. 2
2

若函数 g(x)=f (x)﹣(2m+1) ? f )

2

二、填空题(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.执行如图所示的程序框图,若输入 a,b 的值分别为 log34 和 log43,则输出 S=

12.已知集合 A={x∈R||x﹣1|<2},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中所有元素的和等 于 . 13.曲线 y=﹣x +3x 在点(1,2)处的切线方程为
3 2



14.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr ;三维空间中球的 二维测度(表面积)S=4πr ,三维测度(体积)V= πr ;四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr ,则猜想其四维测度 W=
3 2 3

2



15.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)+x2f (x2)<x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“M 函数” . 给出下列函数①y=x ; ②y=e +1; ③y=﹣2x﹣sin x;④f(x)= =xe (x>﹣1) . 以上函数是“M 函数”的所有序号为
x 2 x

;⑤f(x)



三、解答题: (本大题共 6 小题共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16.已知集合 A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U=R. (1)求(? UA)∩B; (2)如果 A∩C≠? ,求 a 的取值范围. 17.大家知道,莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家,国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男 女生中各抽取 50 名同学调查对莫言作品的了解程度,结果如下: 阅读过莫言的 作品数(篇) 0~25 26~50 51~75 76~100 101~130 男生 3 6 11 18 12 女生 4 8 13 15 10 (Ⅰ)试估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率; (Ⅱ) 对莫言作品阅读超过 75 篇的则称为“对莫言作品非常了解” , 否则为“一般了解” . 根 据题意完成下表,并判断能否有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关? 非常了解 一般了解 合计 男生 女生 合计 附:K = P(K ≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 18.已知函数 f(x)=x +4ax+2a+6. (1)若函数的值域为[0,+∞) ,求 a 的值; (2)若 f(x)≥0 恒成立,求 g(a)=﹣a? |a+3|+2 的值域.
2 2 2

19. 某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元, 若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数, 则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元. (1)把每件产品的成本费 P(x) (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最低成 本费; (2) 如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件, 且产品能全部销售, 根据市场调查: 每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系:Q(x)=170﹣0.05x,试问生产多少件 产品,总利润最高?(总利润=总销售额﹣总的成本)

20.已知指数函数 y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为 R 的函数 函数. (1)确定 y=g(x)的解析式; (2)求 m、n 的值;

是奇

(3)若对任意的 t∈R,不等式 f(2t﹣3t )+f(t ﹣k)>0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 21.已知函数 f(x)=ax +lnx(a∈R) . (1)当 a= 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)如果函数 g(x) ,f1(x) ,f2(x) ,在公共定义域 D 上,满足 f1(x)<g(x)<f2(x) , 那么就称 g(x)为 f1(x) ,f2(x)的“活动函数” .已知函数 +2ax.若在区间(1,+ ∞)上,函数 f(x)是 f1(x) ,f2(x)的“活动函数” ,求 a 的取值范围.
2

2

2

2014-2015 学年安徽省亳州市涡阳四中高二 (下) 期末数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1.已知 i 为虚数单位,a∈R,如果复数 2i﹣ A. ﹣4 B. 2 C. ﹣2 D. 4 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把复数化为 a+bi 的形式,利用复数是实数,虚部为 0,求解即可. 解答: 解: 则 , = 是实数, 是实数,则 a 的值为( )

故 a=4 故选:D. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,复数的基本概念的应用,考查计算能力. 2.已知全集 U=Z,A={﹣1,0,1,2},B={x∈R|x =3x﹣2},则 A∩(? UB)=( A. {﹣1,2} B. {﹣1,0} C. {0,1} D. {1,2}
2



考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 B 中方程的解确定出 B,根据全集 U=Z 求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集 即可. 解答: 解:由 B 中的方程变形得: (x﹣1) (x﹣2)=0, 解得:x=1 或 x=2,即 B={1,2}, ∵全集 U=Z,A={﹣1,0,1,2}, ∴? UB={x|x≠1,x≠2,x∈Z}, 则 A∩(? UB)={﹣1,0}, 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

3.命题“ A.

”的否定是( B.



C.

. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

命题的否定. 简易逻辑. 命题为特称命题,根据特称命题的否定是全称命题进行求解. 解:命题为特称命题,则命题的否定为: ,

故选:B 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 4.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( ) A. f(x)=|x| B. f (x)=x﹣|x| C. f(x)=x+1 D. f(x)=﹣x 考点: 进行简单的演绎推理. 专题: 计算题. 分析: 分别根据函数解析式求出 f(2x)与 2f(x) ,看其是否相等,从而可得到所求. 解答: 解:f(x)=|x|,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x) ,故满足条件; f(x)=x﹣|x|,f(2x)=2x﹣|2x|=2(x﹣|x|)=2f(x) ,故满足条件; f(x)=x+1,f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x) ,故不满足条件; f(x)=﹣x,f(2x)=﹣2x=2(﹣x)=2f(x) ,故满足条件; 故选 C 点评: 本题主要考查了进行简单的演绎推理,同时考查了运算求解的能力,属于基础题. 5.三个数 a=7 ,b=0.3 ,c=ln0.3 大小的顺序是( ) A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. c>a>b 考点: 一元二次不等式的应用;不等式比较大小. 专题: 计算题. 分析: 由指数函数和对数函数的图象可以判断 a=7 ,b=0.3 ,c=ln0.3 和 0 和 1 的大小, 0.3 7 从而可以判断 a=7 ,b=0.3 ,c=ln0.3 的大小. 解答: 解:由指数函数和对数函数的图象可知: 7 >1,0<0.3 <1,ln0.3<0, 7 0.3 所以 ln0.3<0.3 <7 故选 A. 点评: 本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质,属基础知 识、基本题型的考查. 6.定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2) =0,则“
x 0.3 7 0.3 7 0.3 7

”是

“2 >4”成立的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

考点: 指数函数的单调性与特殊点;奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题. 分析: 先把两个命题 M 与 N 的解集解出看两集合 A,B,若 A? B 则命题 M 是命题 N 的充分 不必要条件,此题即是运用这种推理. 解答: 解:∵f(x)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数 ∴f(x)﹣f(﹣x)=2f(x) ∴ 即

又∵f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0 ∴x∈(2,+∞) 又∵f(x)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数 ∴x∈(2,+∞)∪(﹣∞,﹣2) ∵2 >4 ∴x>2 ∴ 是 2 >4 的必要而不充分条件.
x x

点评: 充分条件、必要条件、充要条件是在构成许多数学命题时要用到的重要概念,但由 于这些概念比较抽象,学生不易掌握,因此成了中学数学的难点之一. 7.f(x)=|x﹣1|的图象是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 分析: 将函数解析式写成分段函数,分别作出函数在区间[1,+∞)和(﹣∞,1)上的图 象. 解答: 解:f(x)=|x﹣1|= 分别作出函数在区间[1,+∞)和(﹣∞,1)上的图象: 故选 B.

点评: 本题为分段函数图象问题,作出函数图象即可得到结果. 还可以利用函数图象的平移解答,函数 f(x)=|x|的图象是学生所熟悉的,将其图象向右 平移一个单位,即可得到函数 f(x)=|x﹣1|的图象.

8.已知 f(x)= (

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为

) A. (1,+∞) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8)

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用函数的单调性的性质可得 4﹣ >0,且 a>0,且 4﹣ +2≤a,由此求得 实数 a 的取值范围. 解答: 解:根据 f(x)= 是 R 上的单调递增函数,可得 4﹣ >0,

且 a>0,且 4﹣ +2≤a, 求得 4≤a<8, 故选:D. 点评: 本题主要考查函数的单调性的性质,属于基础题. 9.定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,已知 f(x+1)是偶函数, (x﹣1)f′(x) <0.若 x1<x2,且 x1+x2>2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( ) A. f(x1)<f(x2) B. f(x1)=f(x2) C. f(x1)>f(x2) D. 不确定 考点: 不等关系与不等式;函数奇偶性的判断;导数的运算. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 由 f(x+1)为偶函数可得 f(x)图象关于 x=1 对称,由(x﹣1)f′(x)<0,可 得 f(x)在(﹣∞,1],[1,+∞)上的单调性,分情况讨论:若 x1≤1,利用对称性把 f (x1)变到区间[1,+∞)上用单调性与 f(x2)比较;若 x1>1,则由 1<x1<x2 直接用单调 性可进行大小比较. 解答: 解:因为 f(x+1)是偶函数,所以 f(﹣x+1)=f(x+1) ,则 f(x)的图象关于 x=1 对称, 由(x﹣1)f′(x)<0 得,x>1 时 f′(x)<0,f(x)单调递减,x<1 时 f′(x)>0, f(x)单调递增, 若 x1≤1,由 x1+x2>2,得 x2>2﹣x1≥1,

所以 f(x1)=f(2﹣x1)>f(x2) ; 若 x1>1,则 1<x1<x2,所以 f(x1)>f(x2) , 综上知 f(x1)>f(x2) , 故选 C. 点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性及导数与函数单调性的关系,考查学生灵活运用知 识分析解决问题的能力,由所给条件分析出函数的对称性、单调性是解决问题的关键,数形 结合是分析本题的有力工具.

10.设定义域为 R 的函数 f(x)= (x)+m 有 7 个零点,则实数 m 的值为( A. 0 B. 6 C. 2 或 6 D. 2
2

若函数 g(x)=f (x)﹣(2m+1) ? f )

2

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 作出函数 f(x)的图象,根据 g(x)的零点个数分别进行判断即可得到结论. 解答: 解:作出函数的图象如图: 当 m=0 时,f(x)=0 或 f(x)=1,f(x)=0 有 2 个不同实根,f(x)=1 有 4 个不同实根, 不符合题意; 当 m=6 时,f(x)=4 或 f(x)=9,f(x)=4 有 3 个不同实根,f(x)=9 有 2 个不同实根,不符合题意; 当 m=2 时,f(x)=1 或 f(x)=4,得到 f(x)=1 有 4 个不同实根,f(x)=4 有 3 个不同 实根,符合题意. 故选 D.

点评: 本题主要考查函数零点的应用,利用数形结合是解决本题的关键.难度较大. 二、填空题(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.执行如图所示的程序框图,若输入 a,b 的值分别为 log34 和 log43,则输出 S= 2

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 S= 的值,比较 a,b 的大小,代入计算可得答案.

解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=

的值,

∵a=log34>1,b=log43<1,∴a>b, ∴输出 S=log34? log43+1=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了选择结构的程序框图,判断算法的功能是解答此类问题的关键,属于基 础题. 12.已知集合 A={x∈R||x﹣1|<2},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中所有元素的和等于 3 . 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 先根据绝对值不等式求出集合 A,然后根据交集的定义求出 A∩Z,最后求出集合 A ∩Z 中所有元素的和即可. 解答: 解:A={x∈R||x﹣1|<2}={x|﹣1<x<3}, 而 Z 为整数集,集合 A∩Z={0,1,2}, 故集合 A∩Z 中所有元素的和等于 0+1+2=3, 故答案为 3. 点评: 本题属于以绝对值不等式为依托,求集合的交集的基础题,同时考查了集合中元素 的和. 13.曲线 y=﹣x +3x 在点(1,2)处的切线方程为 y=3x﹣1 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 根据曲线方程 y=﹣x +3x ,对 f(x)进行求导,求出 f′(x)在 x=1 处的值即为切 线的斜率,曲线又过点(1,2)利用点斜式求出切线方程; 解答: 解:∵曲线 y=﹣x +3x , 2 ∴y′=﹣3x +6x, ∴切线方程的斜率为:k=y′|x=1=﹣3+6=3, 3 2 又因为曲线 y=﹣x +3x 过点(1,2) ∴切线方程为:y﹣2=3(x﹣1) , 即 y=3x﹣1, 故答案为:y=3x﹣1. 点评: 此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程,要求切线方程,首先求出切线的斜 率,利用了导数与斜率的关系,这是高考常考的知识点,此题是一道基础题;
3 2 3 2 3 2

14.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr ;三维空间中球的 二维测度(表面积)S=4πr ,三维测度(体积)V= πr ;四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr ,则猜想其四维测度 W= 2πr
3 4 2 3

2



考点: 类比推理. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度,从而得 到 W′=V,从而求出所求. 解答: 解:∵二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr ,观察 发现 S′=l 三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr ,三维测度(体积)V= πr ,观察发现 V′=S ∴四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr ,猜想其四维测度 W,则 W′=V=8πr ; 4 ∴W=2πr ; 4 故答案为:2πr 点评: 本题考查类比推理,解题的关键是理解类比的规律,解题的关键主要是通过所给的 示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度,属于基础题. 15.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)+x2f (x2)<x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“M 函数” . 给出下列函数①y=x ; ②y=e +1; ③y=﹣2x﹣sin x;④f(x)= =xe (x>﹣1) . 以上函数是“M 函数”的所有序号为 ③ . 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据对新定义的理解得到函数 f(x)为定义域 R 上的减函数;分别对 5 个函数判断 单调性,从而得到答案. 解答: 解:由不等式 x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)得, x1[f(x1)﹣f(x2)]+x2[f(x2)﹣f(x1)]<0, 即(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0, 故 x1﹣x2 与 f(x1)﹣f(x2)异号, 所以函数 f(x)为定义域 R 上的减函数; ①y=x ,先减后增; ②y=e +1,增函数; ③y=﹣2x﹣sin x,y′=﹣2﹣cosx<0,减函数; ④f(x)=
x 2 x x 2 x 3 3 2 3 2

;⑤f(x)

;当 x>0 时,f(x)=lnx 是增函数,
x

⑤f(x)=xe (x>﹣1) ,f′(x)=e (x+1)>0,增函数, 故答案为:③ 点评: 本题考查了新定义问题,考查函数的单调性,是一道中档题.

三、解答题: (本大题共 6 小题共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16.已知集合 A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U=R. (1)求(? UA)∩B; (2)如果 A∩C≠? ,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (1)先求出 ,从而得到其和 B 的补集; (2)结合交集的定义求出即可.

解答: 解: (1)CUA={x|x<2 或 x>8}, ( )∩B={x|1<x<2}.

(2)∵A∩C≠? , ∴a<8. 点评: 本题考查了集合的运算,是一道基础题. 17.大家知道,莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家,国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男 女生中各抽取 50 名同学调查对莫言作品的了解程度,结果如下: 阅读过莫言的 作品数(篇) 0~25 26~50 51~75 76~100 101~130 男生 3 6 11 18 12 女生 4 8 13 15 10 (Ⅰ)试估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率; (Ⅱ) 对莫言作品阅读超过 75 篇的则称为“对莫言作品非常了解” , 否则为“一般了解” . 根 据题意完成下表,并判断能否有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关? 非常了解 一般了解 合计 男生 女生 合计 附:K = P(K ≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 考点: 独立性检验的应用. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)求出阅读莫言作品在 50 篇以上的频率,估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率; (Ⅱ)利用独立性检验的知识进行判断.
2 2

解答: 解: (Ⅰ)由抽样调查阅读莫言作品在 50 篇以上的频率为 , 据此估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率约为 P= (Ⅱ) 非常了解 一般了解 合计 男生 30 20 50 女生 25 25 50 合计 55 45 100 …..(8 分) 根据列联表数据得 , …..(5 分)

所以没有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关.…..(12 分) 点评: 本题主要考查独立性检验的应用,利用列联表计算出 K ,是解决本题的关键.这类 题目主要是通过计算数据来进行判断的. 18.已知函数 f(x)=x +4ax+2a+6. (1)若函数的值域为[0,+∞) ,求 a 的值; (2)若 f(x)≥0 恒成立,求 g(a)=﹣a? |a+3|+2 的值域. 考点: 二次函数的性质;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)的值域为[0,+∞)便有△=0,这样即可解出 a; (2)由 f(x)≥0 恒成立,便有△=16a ﹣4(2a+6)≤0,这样便可解出
2 2 2 2

,根

据 a 的范围便可去绝对值号得到 g(a)=﹣a ﹣3a+2,根据该二次函数的对称轴即可判断 g (a)在区间 上的单调性,从而求出 g(a)的值域.

解答: 解: (1)由题知 f(x)的开口向上,值域为[0,+∞) ; ∴△=16a ﹣4(2a+6)=0; 2 ∴2a ﹣a﹣3=0; ∴a=﹣1 或 a= ; (2)f(x)≥0 恒成立,∴△≤0; ∴16a ﹣4(2a+6)≤0; 解得﹣1≤a≤ ; ∴g(a)=﹣a(a+3)+2=﹣a ﹣3a+2, (﹣1≤a≤ ) ; g(a)的对称轴为 a=﹣ ,开口向下;
2 2 2

∴g(a)在[﹣1, ]上是减函数,g(﹣1)=﹣1+3+2=4,g( )=﹣ ﹣ +2=﹣ ∴函数 g(a)的值域为[﹣ ,4].



点评: 考查二次函数的图象和 x 轴的位置关系同判别式△取值的关系, 解一元二次不等式, 根据二次函数的对称轴判断二次函数在一闭区间上的单调性的方法, 根据单调性求函数在闭 区间上值域的方法,要熟悉二次函数的图象. 19. 某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元, 若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数, 则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元. (1)把每件产品的成本费 P(x) (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最低成 本费; (2) 如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件, 且产品能全部销售, 根据市场调查: 每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系:Q(x)=170﹣0.05x,试问生产多少件 产品,总利润最高?(总利润=总销售额﹣总的成本) 考点: 基本不等式在最值问题中的应用;根据实际问题选择函数类型. 专题: 应用题. 分析: (1)根据每件产品的成本费 P(x)等于三部分成本和,建立函数关系,再利用基 本不等式求出最值即可; (2)设总利润为 y 元,根据总利润=总销售额﹣总的成本求出总利润函数,利用二次函数的 性质求出取最值时,x 的值即可. 解答: 解: (Ⅰ)根据某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成,①职工工资固定支出 12500 元;②原材料费每件 40 元;③电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元, 可得 由基本不等式得 当且仅当 ∴ ,即 x=500 时,等号成立 的最小值为 90 元.

∴每件产品的最低成本费为 90 元 (Ⅱ)设总利润为 y 元, ∵每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系:Q(x)=170﹣0.05x ∴总销售额=xQ(x)=170x﹣0.05x , 2 2 则 y=xQ(x)﹣xP(x)=﹣0.1x +130x﹣12500=﹣0.1(x﹣650) +29750 当 x=650 时,ymax=29750 答:生产 650 件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750 元. 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,以及二次函数的性质,同时考查 了建模的能力,属于中档题
2

20.已知指数函数 y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为 R 的函数 函数. (1)确定 y=g(x)的解析式; (2)求 m、n 的值;

是奇

(3)若对任意的 t∈R,不等式 f(2t﹣3t )+f(t ﹣k)>0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设 g(x)=a (a>0 且 a≠1) ,利用 g(3)=8,可得 8=a ,解得 a 即可; (2)利用奇函数的定义和性质 f(0)=0,f(﹣x)+f(x)=0 即可得出; (3)利用(1) (2)可证明函数 f(x)在 R 上单调递减,进而即可解出 t 的取值范围. 解答: 解: (1)设 g(x)=a (a>0 且 a≠1) ,∵g(3)=8,∴8=a ,解得 a=2. x ∴g(x)=2 ; (2) ,
x 3 x 3

2

2

∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=

,解得 n=1.





又 f(﹣x)+f(x)=0,∴
x ﹣x



化为(m﹣2) (2﹣2 ﹣2 )=0, ∵上式对于任意实数都成立,∴m﹣2=0,解得 m=2. ∴m=2,n=1; (3)由(2)可知:f(x)=
x



∵函数 y=2 在 R 上单调递增,∴f(x)在 R 上单调递减. 2 2 ∵不等式 f(2t﹣3t )+f(t ﹣k)>0 恒成立, 2 2 2 ∴f(t ﹣k)>﹣f(2t﹣3t )=f(3t ﹣2t)在 R 上恒成立, 2 2 ∴t ﹣k<3t ﹣2t 在 R 上恒成立, 2 即 2t ﹣2t+k>0 在 R 上恒成立. ∴△=4﹣8k<0,解得 ∴k 的取值范围是 . .

点评: 本题考查了函数的奇偶性和单调性、指数函数的定义与性质、恒成立问题的等价转 化等基础知识与基本技能方法,属于难题.

21.已知函数 f(x)=ax +lnx(a∈R) . (1)当 a= 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)如果函数 g(x) ,f1(x) ,f2(x) ,在公共定义域 D 上,满足 f1(x)<g(x)<f2(x) , 那么就称 g(x)为 f1(x) ,f2(x)的“活动函数” .已知函数 +2ax.若在区间(1,+ ∞)上,函数 f(x)是 f1(x) ,f2(x)的“活动函数” ,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)由题意得 , >0,∴f(x)在区

2

间[1,e]上为增函数,即可求出函数的最值. (2)由题意得:令 (1,+∞)恒成立,且 h(x)=f1(x)﹣f(x)= ∞)恒成立, 分类讨论当 <0,对 x∈ <0 对 x∈(1,+ 或 时两种

情况求函数的最大值,可得到 a 的范围.又因为 h′(x)=﹣x+2a﹣ = 另一个范围,综合可得 a 的范围. 解答: 解: (1)当 时, , ; <0,h(x)在(1,+∞)上为减函数,可得到 a 的

对于 x∈[1,e],有 f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数, ∴ , .

(2)在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是 f1(x) ,f2(x)的“活动函数” ,则 f1(x)<f (x)<f2(x) 令 且 h(x)=f1(x)﹣f(x)= ∵ <0,对 x∈(1,+∞) 恒成立, <0 对 x∈(1,+∞)恒成立,

1)若

,令 p′(x)=0,得极值点 x1=1,



当 x2>x1=1,即

时,在(x2,+∞)上有 p′(x)>0,

此时 p(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 p(x)∈(p(x2) ,+∞) , 不合题意; 当 x2<x1=1,即 a≥1 时,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有 p(x)∈(p(1) ,+ ∞) ,也不合题意; 2)若 ,则有 2a﹣1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有 p′(x)<0,

从而 p(x)在区间(1,+∞)上是减函数; 要使 p(x)<0 在此区间上恒成立,只须满足 所以 ≤a≤ . ,

又因为 h′(x)=﹣x+2a﹣ 上为减函数, h(x)<h(1)=

=

<0,h(x)在(1,+∞)

+2a≤0,所以 a≤ , ].

综合可知 a 的范围是[

点评: 本题考查的知识点是利用导数求函数的最值,利用最值解决恒成立问题,二对于新 定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可,结合着我们已学的知识解决问题, 这是高考考查的热点之一.


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