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均值不等式说课稿


必修 5 3.2 均值不等式(第二课时)说课

辽宁沈阳东北育才学校 王 一、教材分析:



1、内容与地位:本节课选自人教 B 版高中数学必修五第三章 3.2 节(第二课时),主 要内容是用均值不等式求函数最大、最小值.均值不等式是第三章“不等式”的重要内容, 它起着承上启下的作用, 学生在初中学习了不等式的概念以

及简单的不等式的解法, 对不等 式有了感性的认识,通过均值定理的学习,学生对不等式的性质产生了理性的认识,并将初 步了解证明不等式的方法,为后续选修课程 4 系列“不等式选讲”的学习打下良好的基础. 2、教学目标 知识与技能: 理解均值不等式; 能用均值不等式解决简单的函数最大、最小值问题; 理解使用均值不等式求函数最值时应满足的三个条件; 过程与方法: 通过典型例题的探究增强探索能力及创新精神; 通过一题多解与一题多变提高学生发散思维能力; 渗透转化化归的数学思想. 情感与价值观: 培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力; 体现数学知识的相关性、严谨性、逻辑性. 由均值不等式体会数学知识的简洁美与和诣美. 3、重点与难点 重点:应用均值不等式求函数最值; 难点:理解使用均值不等式求函数最值时应满足的三个条件. 二、教法与学法 教法:本课采用讲授法与启发式相结合的教学方法,运用变式教学,使学生感受知识的 产生和发展过程,体会知识之间的联系与区别. 学法:选取合适习题,让学生自主探究,变被动接受知识为主动探索知识. 手段:多媒体演示教学. 三、教学过程 (一)复习回顾

在进行习题课教学前首先回顾均值不等式的内容,即:

如果

,那么

,当且仅当

时,式中等号成立.

文字表述:两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.

均值不等式的其它等价形式:





设计意图:通过对公式的复习使学生对习题课做好知识上的准备,能达到对公式的灵 活运用. (二)精题探究 这一阶段是探索新知的阶段,通过对三道运用均值不等式求函数最值问题的练习与讲 解,使学生不仅掌握知识,更要掌握学习的方法,体验学习的乐趣.

例1:求函数

的最大值,以及此时 的值.

解:



因为

,所以

,得



因此

当且仅当

,即

时,式中等号成立.

由于

,因而

时,

此例题为教材 71 页例 3,学生在第一堂课会接触到均值不等式的证明以及在实际应用 问题中的应用, 而通过例 1 可让学生在上一节课的基础上, 进一步感受均值不等式的另一个 重要作用,即求函数的值域和最值问题,但由于用均值不等式求最值有严格的条件限制,为 了完善学生的思维,设计变式如下:

变式1:对于函数

,下列说法中正确的是

A.有最小值

B.有最大值

C.有最大值

D. 有最小值

此问题有可能出现如下的错解情形:

从而选取答案 A,而正确的解法应该是:

即选择答案 C. 设计意图: 这个题目的设置正是为了突出均值不等式成立的等一个要素, 即 “正” : 必须为正.

例2:已知 第 2 题学生也可能出现错解如下:

,则

的最大值为 .

而正确的解法应该是:

设计意图:学生求解与教师讲解的过程中,突出了均值不等式成立的第二个重要因素, 即积或和为定值, 即 “定” , 出现错解的原因是由于学生在消元的过程中忽略了定值的条件, 通过学生解决问题与纠正错解,可以体现出数学思维的严谨性.

例 3:已知

,且

,求

的最小值.

解法一:

解法二:

变式:已知

,且

,求

的最小值.

此题学生也容易进入如下的陷阱:

错解: 一种正确的解法如下:





这里学生忽略了均值不等式的第三个要素,即“相等”:在多次使用均值不等式时应该 注意等号取得的条件. 设计意图:教材是教学的载体,学生是学习的主体,好的习题不一定是以难度为衡量标 准的,它应该是符合学生认知水平,遵循学生认知规律的,是学生看的见,摸的着的,所以 应该立足教材.此外习题是认知的进一步强化,是易混、易错问题的纠正过程,所以在本堂 习题课的教学过程中选取的变式习题均是针对学生易错点而设计, 以求让学生对均值不等式 的认识更加完整,理解更加深刻. (三)思维发散 数学不仅仅是解题, 数学教学应该是一个思维训练的过程, 因此好的习题应该承载着发 散性思维训练的功效, 而一题多解是数学教学中发散性思维训练的良好方法. 在本组习题中 的第 3 题的变式就可以有多种好的解法, 启发学生一题多解, 学生有可能出现的解法展示如 下:

解法二:由已知得,





由于

,可得



解法三:设

解法四:由已知得





这里解法二采用的消元的方法; 解法三通过对题目给出条件的分析, 两个正数的和为 1, 采用了换元法; 而解法四需要对均值不等式的理解更为透彻, 欲求和的最小值需构造积为定 值,而因式分解为我们提供了一种构造积为定值的条件. 设计意图:以上四种方法虽然出发点有着很大的差异,但最后殊途同归,均落到了均值 不等式上, 在习题的讲评课上可以引导学生一题多解, 训练学生发散性思维的同时强化了均 值不等式的作用,以求达到一箭双雕的效果. (四)变式迁移 习题 3 在教学中不仅可以进行一题多解的训练, 它还可以进行变式教学, 给予学生更大 的探究空间.

变式一:已知

,求

的最小值.

分析:此题其实是将习题 3 中的条件和所求结论进行了互换,依然可以采用习题 3 中

的解法一进行求解, 即

. 当然

此处也可以使用三角换元法或消元法转化成 究.

形的函数进行研

变式二:已知

,求

的最小值.

分析: 本题中看似所给的条件大有不同, 但其实它与变式一完全是同一个问题的两种不 同的形式,这里的 就相当于变式一中的 ,从而可以转化为变式一进行求解.

变式三:已知

,且

,求

的最小值.

分析: 这里的条件由分式变成了整式, 还增加了常数 1, 这里简单的三角换元不再适用, 而因式分解法和消元法依然可以用来解法问题. 因式分解法:由已知得 ,

消元法:



变式四:已知

,且

,求

的最小值.

分析:变式四是在变式三的基础上对所求结论进行了改变,把求 的最值,这里同样可以采用消元的方法求解.

的最值变成了求

即 (五)小结 在学生探究问题的过程中,一道题是一个点,一类题可以串成一条线,迁移变换则能形 成面,在学生解决习题后,不能仅仅停留在完成任务的层面上,引导学生进行总结反思,归 纳通性通法, 由一道题或几道题掌握一类问题的解决方法, 在此基础上进行一题多解与一题 多变,在学生已掌握知识的基础上,将学生的知识体系整合成网络,正是力求以点生线,以 线成面,真正达到思维上的升华. 四、预期效果 我希望通过本节课的学习,学生能够以一个全新的角度去看待均值不等式与函数最值 问题,掌握应用均值不等式求函数最值的基本思想和基本方法,体会到对于均值不等式,不 仅其本身蕴含着数学的和谐美与数形结合之美, 它还在解决实际问题和解决数学其它很多方 面的问题中有着重要的应用,这也是称其为“基本不等式”的原因.通过习题的探究使学生

体验到学科的不同知识的联系与区别, 体验到数学学科的严谨性和逻辑性, 体验到转化与化 归思想的力量, 体验发现新知、 掌握新知、 扩展新知、 应用新知的方法, 体会到学习的乐趣, 激发学生对数学、对科学的热爱.


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