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相似三角形


相似三角形 经典模型
“平行型”: A 字型和 8 字型

(1)是“A”字型 (2)是“8”字型 经常考, 关键在于找 由 DE∥BC 可得: 平行.

AD AE BD EC AD AE ? 或 ? 或 ? .此推论较原定理应用更加广泛,条件是 DB EC AD EA AB AC

例 1:如图, EE1∥

FF ∥MM1 ,若 AE ? EF ? FM ? MB , 1 则 S?AEE : S四边形EE F F : S四边形FF M M : S四边形MM CB ? _________ 1
1 1 1 1 1

A E F M B E1 F1 M1 C

总结:相似比和面积比,周长比的关系是 例 2:如图,AD∥EF∥MN∥BC , AD ? 9 ,BC ? 18 ,AE : EM : MB ? 2 : 3: 4 ,则 EF ? _____ , 若

MN ? _____
A E M B D F N C

1

例 3.已知, P 为平行四边形 ABCD 对角线, AC 上一点,过点 P 的直线与 AD , BC ,CD 的延长线, AB 的延长线分别相交于点 E , F , G , H 求证:

PE PH ? PF PG
G E D P F A B H C

例 4.已知:在 ?ABC 中, D 为 AB 中点, E 为 AC 上一点,且 求

AE ? 2 , BE 、 CD 相交于点 F , EC
A

BF 的值 EF
D

F B

E C

1 1 例 5.已知: ?ABC 中,AD ? AB , 在 延长 BC 到 F ,使 CF ? BC , 2 3 连接 FD 交 AC 于点 E 求证:① DE ? EF ② AE ? 2CE
A D E B C F

7.如图,在 ?ABC 中, D 是 AC 边的中点,过 D 作直线 EF 交 AB 于 E ,交 BC 的延长线于 F 求证: AE ? BF ? BE ? CF

A E D

B
2

C

F

2.直角三角形中的相似问题:

斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理: CD?=AD·BD, AC?=AD·AB, BC?=BD·BA (在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).
例 1 如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D。 AD ? 2,DB ? 8, CD, AC和BC的长。 求

C

A

D

O

B

2.如图 1—4—1 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD=3,BD=2,则 AC:BC 的值是( A.3:2 B.9:4 C. 3 : 2 D. 2 : 3

)

3.已知直角△ABC 中, 斜边 AB=5cm, BC=2 cm, 为 AC 上一点, D DE⊥AB 交 AB 于 E, AD=3.2cm, 且 则 DE=( ) A.1.24 cm B.1.26 cm C.1.28cm D.1.3 cm AC 3 BD ? ,则 ?( 4.在 Rt ? ABC 中, ?BAC ? 90? , AD ? BC 于点 D,若 ) AB 4 CD 3 4 16 9 A、 B、 C、 D、 4 3 9 16

3


例 1. 在半径为1的⊙O中,弦AB、AC的长分别为 3和 2,求∠BAC的度数。

练习 1. 已知:一个圆的弦切角是 50°,那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。 2. 圆内接四边形 ABCD 中,如果∠A:∠B:∠C=2:3:4,那么∠D=___________度。 3. 若⊙O 的半径为 3,圆外一点 P 到圆心 O 的距离为 6,则点 P 到⊙O 的切线长为___________。 4. 如图所示 CD 是⊙O 的直径,AB 是弦,CD⊥AB 于 M,则可得出 AM=MB, AC ? BC 等多个结 论,请你按现有的图形再写出另外两个结论:___________。

?

?

5. ⊙O1 与⊙O2 的半径分别是 3 和 4,圆心距为 4 3 ,那么这两圆的公切线的条数是___________。 6. 圆柱的高是 13cm,底面圆的直径是 6cm,则它的侧面展开图的面积是___________。 7. 已知:如图所示,有一圆弧形桥拱,拱的跨度 AB=16cm,拱高 CD=4cm,那么拱形的半径是 ___________。

8. 若 PA 是⊙O 的切线,A 为切点,割线 PBC 交⊙O 于 B,若 BC=20, PA= 10 3 ,则 PC 的长为___________。 9. 如图 5, ABC 内接于⊙O, P 是 AC 上任意一点 △ 点 (不与 A、C 重合) ,

?

?ABC ? 55 , 则?POC 的取值范围是

?



10.如图,量角器外沿上有 A、B 两点,它们的读数分别是 70°、40°,则 ∠1 的度数为 . ° °
4

(第 9 题图)

O

11.已知 ? O 的半径是 3,圆心 O 到直线 l 的距离是 3,则直线 l 与圆 O 的位置关系是



12.如图,已知点 E 是圆 O 上的点, B、C 分别是劣弧 AD 的三等分点, ?BOC ? 46? ,则 ? AED 的 度数为 . f A

B

C 第 13 题图

? 13.如图, Rt△ ABC 中 ?ACB ? 90 , AC ? 4 , BC ? 3 .将 △ ABC 绕 AC 所在的直线 f 旋转一周

得到一个旋转体,该旋转体的侧面积 ?

. M N B A

O

? 15. 如图,AB 是圆 O 的直径,AM 为弦, MAB ? 30 , M 点的 ? O 的切线交 AB 延长线于点 N . 过 若
?

ON ? 1m 2 c

,则 ? O 的半径为

cm.

5


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