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【师说】2015高考雄关漫道(新课标)数学(文)全程复习构想练习:1.4 函数的单调性与最值 Word版含解析


1.4

函数的单调性与最值

一、选择题 1.(2014· 宁夏月考)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( ) 1 A.y=log2x B.y=2x-1 1 C.y=x2-2 D.y=-x3 解析:观察四个选项,在(-1,1)内单调递增的只有函数 y=2x-1 且其在(- 1,1)内也有零点.故选 B. 答案:B 2.函数

f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( ) 3? ? ?3 ? A.?-∞,2? B.?2,+∞? ? ? ? ? 3? ? ?3 ? C.?-1,2? D.?2,4? ? ? ? ? ? 3? 25 解析:函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-?x-2?2+ 4 的减 ? ? 3 ? ? 区间为?2,4?, ? ? ?3 ? ∵e>1,∴函数 f(x)的单调减区间为?2,4?. ? ? 答案:D 3.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)· f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间 [a,b]上( ) A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有惟一的实根 解析:∵f(a)· f(b)<0 且 f(x)在[a,b]上单调,∴由数形结合,可以看出,必 有惟一的实数 x0,使 f(x0)=0 成立. 答案:D 4.函数 f(x)(x∈R)的图象如下图所示,则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调 减区间是( )

1? ? A.?0,2? ? ? ?1 ? B.(-∞,0)∪?2,+∞? ? ? C.[ a,1] D.[ a, a+1]
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解析:y=logax (0<a<1)为减函数,根据复合函数的单调性及图象知,当 1 0≤logax≤2,即 a≤x≤1 时,g(x)为减函数,故其单调减区间为[ a,1]. 答案:C ??a-2?x-1,x≤1, 5.已知函数 f(x)=? 若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, ?logax,x>1. 则实数 a 的取值范围为( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(2,3] D.(2,+∞) 解析:要保证函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则首先分段函数应该在 各自定义域内分别单调递增. 若 f(x)=(a-2)x-1 在区间(-∞,1]上单调递增,则 a-2>0,即 a>2. 若 f(x)=logax 在区间(1,+∞)上单调递增,则 a>1. 另外,要保证函数 f(x) 在 (- ∞ ,+ ∞)上单调递增还必须满足 (a- 2)×1 - 1≤loga1=0,即 a≤3.故实数 a 的取值范围为 2<a≤3. 答案:C 6. 已知函数 f(x)图象的两条对称轴 x=0 和 x=1, 且在 x∈[-1,0]上 f(x)单调 递增,设 a=f(3),b=f( 2),c=f(2),则 a,b,c 的大小关系是( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 解析:因为 f(x)在[-1,0]上单调递增,f(x)的图象关于直线 x=0 对称,所以 f(x)在[0,1]上单调递减;又 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,所以 f(x)在[1,2]上单调 递增.由对称性 f(3)=f(1)<f( 2)<f(2),即 a<b<c. 答案:D 二、填空题 7.已知 y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若 f(m-1)<f(1-2m),则 m 的 取值范围是______. 解析:依题意,原不等式等价于

?-2<m-1<2 ?-2<1-2m<2 ?m-1<1-2m

? 3 ?-1 < m < 2 ?? 2 2 ? ?m<3
-1<m<3

1 2 ?-2<m<3.

? 1 2? 答案:?-2,3? ? ? 8.已知下列四个命题:①若 f(x)为减函数,则-f(x)为增函数;②若 f(x)为 1 增函数,则函数 g(x)= 在其定义域内为减函数;③若 f(x)与 g(x)均为(a,b)上 f?x? 的增函数,则 f(x)· g(x)也是区间(a,b)上的增函数;④若 f(x)与 g(x)在(a,b)上分 f?x? 别是递增与递减函数,且 g(x)≠0,则 在(a,b)上是递增函数.其中正确命题 g?x? 的序号是__________. 解析:①正确;②不正确,可用 y=x(x≠0)说明,若 f(x)恒大于零(或若 f(x)
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恒小于零),则命题②成立; 1 ③不正确,可用 y=x(x>0)与 y=-x (x>0)说明; ④不正确,可用 y=x(x>0)与 y=-x(x>0)说明. 答案:① 2 ?-x +4x-10 ?x≤2? 9.已知函数 f(x)=? 若 f(6-a2)>f(5a),则实数 a 的 ?log3?x-1?-6 ?x>2? 取值范围是__________. 解析:当 x≤2 时,f1(x)=-x2+4x-10 是单调递增函数;当 x>2 时,f2(x) =log3(x-1)-6 也是单调递增函数, 且 f1(2)=-22+4×2-10=-6, f2 (2)=log3(2 -1)-6=-6, 即 f1(2)=f2(2), 因此 f(x)在 R 上单调递增, 又因为 f(6-a2)>f(5a), 所以 6-a2>5a,解得-6<a<1. 答案:-6<a<1 三、解答题 a 10.函数 f(x)=2x-x 的定义域为(0,1](a 为实数). (1)当 a=-1 时,求函数 y=f(x)的值域; (2)若函数 y=f(x)在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; (3)求函数 y=f(x)在(0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值. 1 1 解析:(1)a=-1 时,f(x)=2x+ x,因为 x∈(0,1],所以 f(x)≥2 2x· x=2 2, 1 2 当且仅当 2x=x , 即 x= 2 时, 等号成立. 所以函数 y=f(x)的值域为[2 2, +∞). (2)若函数 y=f(x)在定义域上是减函数, 则任取 x1, x2∈(0,1]且 x1<x2 都有 f(x1) >f(x2)成立, a ? ? 即(x1-x2)?2+x x ?>0,只要 a<-2x1x2 即可. ? 1 2? 由 x1,x2∈(0,1],故-2x1x2∈(-2,0), 所以 a≤-2. 故 a 的取值范围是(-∞,-2](或用导数来判断). (3)当 a≥0 时,函数 y=f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,当 x=1 时取得最 大值 2-a; 由(2)得当 a≤-2 时,函数 y=f(x)在(0,1]上单调递减,无最大值,当 x=1 时取得最小值 2-a; ? ? -2a ? -2a? ?上单调递减,在? 当-2<a<0 时,函数 y=f(x)在?0, ,1?上单 2 ? ? ? 2 ? -2a 调递增,无最大值,当 x= 2 时取得最小值 2 -2a. 11.已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解析:(1)当 a>0, b>0 时,任意 x1,x2∈R,令 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=a(2x1 -2x2)+b(3x1-3x2), ∵2x1<2x2,a>0?a(2x1-2x2)<0,
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3x1<3x2,b>0?b(3x1-3x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0, a ?3? 当 a<0,b>0 时,?2?x>-2b,则 ? ? ? a? x>log1.5?-2b?; ? ? a ?3? 当 a>0,b<0 时,?2?x<-2b,则 ? ? a ? ? x<log1.5?-2b?. ? ? 12.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时, 2 f(x)<0,f(1)=-3. (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解析:(1)证明:方法一:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x +y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0, 而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 方法二:设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为增函数. (2)由(1)得 f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 3,最小值为-2.

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