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江苏省2016届高三数学一轮复习优题精练:圆锥曲线 Word版含答案


江苏省 2016 年高考优题精练 圆锥曲线
一、填空题 1、(2015 年江苏高考)在平面直角坐标系 xoy 中,P 为双曲线 x 2 ? y 2 ? 1右支上的一个动点,若 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则 c 的最大值为___

2 __________。 2


2、(2013

年江苏高考)双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 16 9

3、 (2013 年江苏高考) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2

右焦点为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距 离为 d 2 ,若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为 。
2

4、(2015 届南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系 xoy 中,已知抛物线 C: x

? 4y 的焦点

为 F,定点 A(2 2, 0),若射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与抛物线 C 的准线相交于点 N,则 FM: MN= 5、(苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研(二))已知双曲线 于 2,它的焦点到渐近线的距离等于 1,则该双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的离心率等 a 2 b2



x2 y 2 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 6、(泰州市 2015 届高三第二次模拟考试)已知双曲线 x, 4 m 2
则 m? ▲

7、(盐城市 2015 届高三第三次模拟考试)若抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F 与双曲线 焦点重合,则 n 的值为 ▲

x2 y 2 ? ? 1 的一个 3 n

x2 y2 8、(2015 届江苏南京高三 9 月调研)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程 a b 为 y=± 3x,则该双曲线的离心率为 ▲

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点相 9、(2015 届江苏苏州高三 9 月调研)已知双曲线 m 5
同 , 则此双曲线的渐近线方程为 ▲

Y

10、 (南京市、盐城市 2015 届高三)若双曲线 x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦 点重合,则 a ? ▲ .

11、 (南通市 2015 届高三)在平面直角坐标系 xOy 中,以直线 y ? ?2 x 为渐近线,且经过抛物 线 y 2 ? 4 x 焦点的双曲线的方程是 12、(苏州市 2015 届高三上期末)以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为 2 的双 曲线标准方程为 13、(泰州市 2015 届高三上期末)双曲线 的一半,则双曲线的离心率 e ? ▲
x2 y 2 ? ?1 9 m

x2 y2 ? ? 1 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离 a2 b2

14、 (苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研 (二) ) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知双曲线 的一个焦点为(5,0),则实数 m = ▲

x2 15、(南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟(淮安三模))在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2- a y2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=4x 的准线相交于 A,B 两点.若△AOB 的面积为 2, b2 则双曲线的离心率为 二、解答题 ▲

1、(2015 年江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心 a 2 b2

率为

2 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3。 2

(1)求椭圆的标准方程, (2)过 F 的直线分别交椭圆于 A, B 两点,线段 AB 的垂直平分线交直线 l 和 AB 于点 P, C ,若

PC ? 2 AB ,求直线 AB 的方程。

2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 2、 (2014 年江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1、F2 分别是椭圆 2 a b2

的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连结 BF2 交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于 另一点 C,连结 F1C. (1) 若点 C 的坐标为 ( ,) , 且 BF2 = 求椭圆的方程; (2) 若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值。 F1 O F2 A x , y B C

3、(2015 届南京、盐城市高三二模)如图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 椭 圆 E :

1 x2 y2 2 x 与椭圆 E 相交于 A,B 两点, ? ? 1 (a ? b ? 0)的离心率为 ,直线 l: y ? 2 2 2 2 a b

AB ? 2 5 ,C,D 是椭圆 E 上异于 A,B 两点,且直线 AC,BD 相交于点 M,直线 AD,BC 相交
于点 N. (1)求 a ,b 的值;(2)求证:直线 MN 的斜率为定值。
y M C D A N O B (第 18 题图) x

4、(南通、扬州、连云港 2015 届高三第二次调研(淮安三模))如图,在平面直角坐标系 xOy 中,
2 y2 椭圆 x2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左顶点为 A ,右焦点为 a b

y P

F (c , 0) . P( x0 ,y0 ) 为椭圆上一点,且 PA ? PF .

(1)若 a ? 3 , b ? 5 ,求 x0 的值; (2)若 x0 ? 0 ,求椭圆的离心率; (3)求证:以 F 为圆心, FP 为半径的圆与椭圆的 右准线 x ? a 相切. c
2

A

O

F

x

(第 18 题)

5、 (苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研 (二) ) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 四边形 ABCD

x2 y 2 的顶点都在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,对角线 AC 与 BD 分别过椭圆的左焦点 F1 (?1,0) 和 a b
右焦点 F2 (1,0) ,且 AC ? BD ,椭圆的一条准线方程为 x ? 4 (1)求椭圆方程; (2)求四边形 ABCD 面积的取值范围

6 、 ( 泰 州 市 2015 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆

E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,与 x 轴平行的直线与椭圆 E 交于 B 、C 两点,过 B 、C a 2 b2

两点且分别与直线 AB 、 AC 垂直的直线相交于点 D .已知椭圆 E 的离心率为

5 ,右焦点到右准 3
y D O x

线的距离为

4 5 . 5

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明点 D 在一条定直线上运动,并求出该直线的方程; (3)求 ?BCD 面积的最大值.

A B C

7 、 ( 盐 城 市 2015 届 高 三 第 三 次 模 拟 考 试 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 椭 圆

x2 y 2 6 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 直线 l 与 x 轴交于点 E , 与椭圆 C 交于 A 、B 两点. 当 a b 3
直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时, 弦 AB 的长为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 E 的坐标为 (

2 6 . 3

3 , 0) ,点 A 在第一象限且横坐标为 3 ,连结点 A 与原点 O 的直线交 2
1 1 ? 为定值?若存在,请指出点 E 的坐标,并求出该定值; 2 EA EB 2
y A

椭圆 C 于另一点 P ,求 ?PAB 的面积; (3)是否存在点 E ,使得

若不存在,请说明理由.

F1 P

O

E

F2

x

B

第 18 题

x2 y2 8、(2015 届江苏南京高三 9 月调研)给定椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),称圆 C1:x2+y2=a2+b2 a b 为椭圆 C 的“伴随圆”.已知椭圆 C 的离心率为 (1)求实数 a,b 的值; (2)若过点 P(0,m)(m>0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1 所截得的弦长为 2 2,求实数 m 的值.
6 x2 y 2 . ? ? 1(a ? 2) 的离心率为 2 3 a 2

3 ,且经过点(0,1). 2

9、(2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研)已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程;

(2)若 P 是椭圆 C 上任意一点, Q 为圆 E : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 上任意一点,求 PQ 的最大值.

10 、 ( 南 通 市 2015 届 高 三 上 期 末 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , F1 , F2 分 别 是 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,顶点 B 的坐标为 ? 0, b ? ,且? BF1F2 是边长为 2 的等边三角 a 2 b2
形.

?1? 求椭圆的方程;
? 2 ? 过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆交于 A, C 两点,记? ABF2 ,? BCF2 的面积分别为 S1 , S2 .若
S1 ? 2S2 ,求直线 l 的斜率.

11、(苏州市 2015 届高三上期末)如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ,点 B 是其下顶点,过点 B 的 12 4

直线交椭圆 C 于另一点 A(A 点在 x 轴下方),且线段 AB 的中点 E 在直线 y ? x 上. (1)求直线 AB 的方程; (2)若点 P 为椭圆 C 上异于 A、B 的动点,且直线 AP,BP 分别交直线 y ? x 于点 M、N,证明: OM ?ON 为定值. y P N A E O B x M

12 、(泰州市 2015 届高三上期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,离心率为

2 的椭圆 2

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P, Q a 2 b2

两点,直线 PA, QA 分别与 y 轴交于 M , N 两点.若直线 PQ 斜率为 (1)求椭圆 C 的标准方程;

2 时, PQ ? 2 3 . 2

(2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.
y P M A O x

Q N

13、 (无锡市 2015 届高三上期末) 已知椭圆 C :

x2 y2 + = 1 的上顶点为 A , 直线 l : y = kx + m 4 2

交椭圆于 P , Q 两点,设直线 AP , AQ 的斜率分别为 k1, k2 . (1)若 m = 0 时,求 k1 ×k2 的值; (2)若 k1 ?k2

- 1 时,证明直线 l : y = kx + m 过定点.

x2 y2 14、(南京市 2014 届高三第三次模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P(-1,-1),c 为椭 a b 圆的半焦距,且 c= 2b.过点 P 作 两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l1 的斜率为-1,求△PMN 的面积; (3)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程.

15、(苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研(二))在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 ? y2 ? 1 4

的左、右焦点分别为 F ?与 F,圆 F : x ? 3

?

?

2

? y2 ? 5 .

????? ???? ? (1)设 M 为圆 F 上一点,满足 MF' ? MF ? 1 ,求点 M 的坐标;
(2)若 P 为椭圆上任意一点,以 P 为圆心,OP 为半径的圆 P 与圆 F 的公共弦为 QT, 证明:点 F 到直线 QT 的距离 FH 为定值.
y

F'

Q

O H

F x

P
T

(第 17 题)

参考答案
一、填空题 1、由于直线 y ? x ? 1 的斜率与双曲线的渐近线 y ? x 相同,所以右支上的点到直线 y ? x ? 1 的距离

恒大于直线 y ? x ? 1 到渐近线 y ? x 的距离 ?

2 2 。即 cmax ? 。 2 2

2、 y ? ?

3 x 4

3、

3 ?b? e ? 1? ? ? ? 3 ?a?
6、2 7、1 8、2 9、 y ? ?

2

1 4、 3

5、 3x2 ? y 2 ? 1

5 x 2

10、

2 2
12、 x 2 ?

11、

y2 ?1 3

13、

5 3

14、16 15、 5 二、解答题 1、 解:(1) e ?

a2 c 2 ? 3 ,解得: a ? 2, c ? 1, b ? 1 ,所以椭圆的标准方程为: ,又 c ? ? c a 2

x2 ? y 2 ? 1。 2
(2)设 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 C (

x1 ? x2 y1 ? y2 , )。 2 2

其中 x1, x2 满足方程 x2 ? 2k 2 ( x ?1)2 ? 2 ? 0 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 。 故 x1 ? x2 ?

1 4k 2 2k 2 ? 2 2k 2 ?k , x x ? C ( , ) 。而 k PC ? ? ,所以 ,即 1 2 2 2 2 2 k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2 k

1 2k 2 k 2 ? 5k 2 PC 方程为: y ? ? ( x ? ) ? 。故 。 P ? ? 2, P ? x y k 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 k (1 ? 2k 2 )
根据题意, PC ? 4 AB
2 2

PC 2 ? (2 ?

1 ? k 2 2 ? 6k 2 2 2k 2 2 2 ? 5k 2 k 2 ? ( ) , ) ? [ ? ] k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 k (1 ? 2k 2 ) 1 ? 2k 2
2 2
2

8(1 ? k 2 ) AB ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4x1x2 ] ? (1 ? k ) (1 ? 2k 2 )2
2

所以

2 (1 ? k 2 ) (2 ? 6k 2 )2 2 2 32(1 ? k ) ,得到 k ? 1 ,所以 k ? ?1 。 ? (1 ? k ) 2 2 2 2 2 k (1 ? 2k ) (1 ? 2k )

故直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 或者 y ? ? x ? 1 。

2、 (1)∵BF2 =


2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 2 b2 )代入椭圆 a ,

将点 C( ,



16 ? 1 ? 1(a ? b ? 0) , 9a 2 9b2

且 c?+b?=a?

∴a=

,b=1, ∴椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 2

(2)直线 BA 方程为 y=

2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 2 b2 x+b,与椭圆 a 联立得

x?

x=0. ∴点 A(



) ,∴点 C(





F1(



直线 CF1 斜率 k=

,又∵F1C⊥AB ,∴

·

=



=1,∴e=

c 2 1 1 3、解:(1)因为 e= = ,所以 c2= a2,即 a2-b2= a2,所以 a2=2b2.?? 2 分 a 2 2 2 x2 y2 故椭圆方程为 2+ 2=1. 2b b 由题意,不妨设点 A 在第一象限,点 B 在第三象限.

? y=2x, 2 3 3 由? 解得 A( b, b). x y 3 3 ? 2b +b =1,
2 2 2 2

1

4 1 又 AB=2 5,所以 OA= 5,即 b2+ b2=5,解得 b2=3. 3 3 故 a= 6,b= 3. ?????? 5 分 x2 y2 + =1,从而 A(2,1),B(-2,-1). 6 3

(2)方法一:由(1)知,椭圆 E 的方程为

①当 CA,CB,DA,DB 斜率都存在时,设直线 CA,DA 的斜率分别为 k1,k2,C(x0,y0), 显然 k1≠k2. x2 x2 3(1- 0 )-1 2- 0 1 6 2 y -1 y +1 y -1 从而 k1 · kCB= 0 · 0 = 02 = = 2 =- . 2 2 x0-2 x0+2 x0 -4 x0 -4 x0 -4
2

1 所以 kCB=- . 2k1 1 同理 kDB=- . 2k2

???????? 8 分

1 于是直线 AD 的方程为 y-1=k2(x-2),直线 BC 的方程为 y+1=- (x+2). 2k1

?x= 2k1k2+1 , ? ?y+1=- 1 (x+2), 2k1 由? 解得? -2k1k2-4k2+1 ?y-1=k2(x-2), ? y= .
4k1k2-4k1-2

?

2k1k2+1

4k k -4k1-2 -2k1k2-4k2+1 从而点 N 的坐标为( 1 2 , ). 2k1k2+1 2k1k2+1 4k k -4k2-2 -2k1k2-4k1+1 用 k2 代 k1,k1 代 k2 得点 M 的坐标为( 1 2 , ). 2k1k2+1 2k1k2+1 ???? 11 分 -2k1k2-4k2+1 -2k1k2-4k1+1 - 2k1k2+1 2k1k2+1 4(k -k ) 所以 kMN= = 1 2 =-1. 4k1k2-4k1-2 4k1k2-4k2-2 4(k2-k1) - 2k1k2+1 2k1k2+1 即直线 MN 的斜率为定值-1. ??? 14 分

②当 CA,CB,DA,DB 中,有直线的斜率不存在时, 根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在, 故不妨设直线 CA 的斜率不存在,从而 C(2,-1). 1 仍然设 DA 的斜率为 k2,由①知 kDB=- . 2k2 2 1 此时 CA:x=2,DB:y+1=- (x+2),它们交点 M(2,-1- ). k 2k2 2 2 BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点 N(2- ,-1), k2 从而 kMN=-1 也成立. 由①②可知,直线 MN 的斜率为定值-1. 方法二:由(1)知,椭圆 E 的方程为 ???? 16 分

x2 y2 + =1,从而 A(2,1),B(-2,-1). 6 3

①当 CA,CB,DA,DB 斜率都存在时,设直线 CA,DA 的斜率分别为 k1,k2. 显然 k1≠k2. 直线 AC 的方程 y-1=k1(x-2),即 y=k1x+(1-2k1). k1x+(1-2k1), ? ?y= 2 2 由?x y 得(1+2k12)x2+4k1(1-2k1)x+2(4k12-4k1-2)=0. + =1 ?6 3 ? 2(4k12-4k1-2) 4k12-4k1-2 设点 C 的坐标为(x1,y1),则 2·x1= ,从而 x = . 1 1+2k12 2k12+1 4k 2-4k -2 -2k12-4k1+1 所以 C( 1 2 1 , ). 2k1 +1 2k12+1

又 B(-2,-1), -2k12-4k1+1 +1 2k12+1 1 所以 kBC= =- . 2 2k1 4k1 -4k1-2 +2 2k12+1 所以直线 BC 的方程为 y+1=-

?????? 8 分

1 (x+2). 2k1

又直线 AD 的方程为 y-1=k2(x-2).

?x= 2k1k2+1 , ?y+1=- 1 (x+2), ? 2 k 1 由? 解得? -2k1k2-4k2+1 ? ?y-1=k2(x-2), y= .
4k1k2-4k1-2

?

2k1k2+1

4k k -4k1-2 -2k1k2-4k2+1 从而点 N 的坐标为( 1 2 , ). 2k1k2+1 2k1k2+1 4k k -4k2-2 -2k1k2-4k1+1 用 k2 代 k1,k1 代 k2 得点 M 的坐标为( 1 2 , ). 2k1k2+1 2k1k2+1 ??? 11 分 -2k1k2-4k2+1 -2k1k2-4k1+1 - 2k1k2+1 2k1k2+1 4(k -k ) 所以 kMN= = 1 2 =-1. 4k1k2-4k1-2 4k1k2-4k2-2 4(k2-k1) - 2k1k2+1 2k1k2+1 即直线 MN 的斜率为定值-1. ?????? 14 分 ②当 CA,CB,DA,DB 中,有直线的斜率不存在时, 根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在, 故不妨设直线 CA 的斜率不存在,从而 C(2,-1). 1 仍然设 DA 的斜率为 k2,则由①知 kDB=- . 2k2 2 1 此时 CA:x=2,DB:y+1=- (x+2),它们交点 M(2,-1- ). k2 2k2 2 BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点 N(2- ,-1), k2 从而 kMN=-1 也成立. 由①②可知,直线 MN 的斜率为定值-1. ?????? 16 分

4、解:(1)因为 a ? 3 , b ? 5 ,所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ,即 c ? 2 , 由 PA ? PF 得, 又
2 x0 y2 ? 0 ?1, 9 5

y0 y 2 2 ? ? x0 ? x0 ? 6 , ? 0 ? ?1 ,即 y0 x0 ? 3 x0 ? 2

?? 3 分

2 所以 4 x0 ? 9 x0 ? 9 ? 0 ,解得 x0 ? 3 或 x0 ? ?3 (舍去) . 4

?? 5 分

(2)当 x0 ? 0 时, y0 2 ? b2 , 由 PA ? PF 得,

y0 y0 ? ? ?1 ,即 b 2 ? ac ,故 a 2 ? c 2 ? ac , a ?c

?? 8 分 ?? 10 分

所以 e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ? 5 ? 1 (负值已舍). 2
2 2 x2 y2 (3)依题意,椭圆右焦点到直线 x ? a 的距离为 a ? c ,且 02 ? 02 ? 1 ,① c c a b

由 PA ? PF 得,

y0 y 2 2 ? ? x0 ? (c ? a) x0 ? ca , ? 0 ? ?1 ,即 y0 x0 ? a x0 ? c



? a ? b 2 ? ac ? ? ? ? 0, 由①②得, ( x0 ? a) ? x0 ? c2 ? ? ? ?

解得 x0 ? ? 所以 PF ?

a ? a 2 ? ac ? c 2 ? c2

或 x0 ? ?a (舍去).

?? 13 分

? x0 ? c ?

2

2 ? y0 ?

? x0 ? c ?

2

2 ? x0 ? (c ? a) x0 ? ca ? a ? c x0 a

a ? a 2 ? ac ? c 2 ? a2 c ?a? ? ? ?c, a c c2

所以以 F 为圆心,FP 为半径的圆与右准线 x ? a 相切. c

2

?? 16 分

2 2 (注:第(2)小问中,得到椭圆右焦点到直线 x ? a 的距离为 a ? c ,得 1 分;直接使用焦半 c c

径公式扣 1 分.) 5、

6、解:(1)由题意得

c 5 a2 4 5 ? , , ?c ? a 3 c 5
x2 y 2 ? ? 1. 9 4
?????4 分

解得 a ? 3, c ? 5 ,所以 b ? a2 ? c2 ? 4 ,所以椭圆 E 的标准方程为

(2)设 B( x0 , y0 ), C( ?x0 , y0 ) ,显然直线 AB, AC, BD, CD 的斜率都存在,设为

k1 , k2 , k3 , k4 ,则 k1 ?

y0 y0 x ?3 x ?3 , k3 ? ? 0 , , k2 ? , k4 ? 0 x0 ? 3 ? x0 ? 3 y0 y0 x0 ? 3 x ?3 ( x ? x0 ) ? y0 , y ? 0 ( x ? x0 ) ? y0 , y0 y0

所以直线 BD, CD 的方程为: y ? ?

消去 y 得 ?

x0 ? 3 x ?3 ( x ? x0 ) ? y0 ? 0 ( x ? x0 ) ? y0 ,化简得 x ? 3 , y0 y0
?????10 分

故点 D 在定直线 x ? 3 上运动.

(3)由(2)得点 D 的纵坐标为 yD ?

x0 ? 3 x2 ? 9 (3 ? x0 ) ? y0 ? 0 ? y0 , y0 y0

9 2 ? y0 2 2 2 x ? 3 5 x0 y0 9 y 2 (3 ? x0 ) ? y0 ? 4 ? y0 ? ? y0 , ? ? 1 ,所以 x0 ? 9 ? ? 0 ,则 yD ? 0 又 y0 y0 4 9 4 4
所以点 D 到直线 BC 的距离 h 为 yD ? y0 ? ?
2 y0 x2 y 2 ? ? 1 得 x ? ?3 1 ? 将 y ? y0 代入 , 9 4 4

5 9 y0 ? y0 ? y0 , 4 4

所以 ?BCD 面积 S?ABC ?

y2 9 1 1 BC ? h ? ? 6 1 ? 0 ? y0 2 2 4 4
1?
2 y0 y2 ? 0 2 2 4 4 ? 27 ,当且仅当 1 ? y0 ? y0 ,即 y ? ? 2 时等号成立, 0 2 4 4 4

?

y 1 27 27 1? ? y0 ? ? 2 4 2 2

2 0

故 y0 ? ? 2 时, ?BCD 面积的最大值为 7、解:(1)由

27 . 4

?????16 分

c 6 2 2 ,设 a ? 3k (k ? 0) ,则 c ? 6k , b ? 3k , ? a 3
x2 y2 ? ? 1 ,因直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点,即 9k 2 3k 2

所以椭圆 C 的方程为

xA ? xB ? 6k ,代入椭圆方程,解得 y ? ? k ,于是 2k ?

2 6 6 ,即 k ? , 3 3

x2 y 2 ? ? 1 ????????????5 分 所以椭圆 C 的方程为 6 2 x2 y 2 ? ? 1 ,解得 y ? ?1 ,因点 A 在第一象限,从而 A( 3,1) , (2)将 x ? 3 代入 6 2
由点 E 的坐标为 (

2 3 2 3 , 0) ,所以 k AB ? ,直线 PA 的方程为 y ? (x ? ) , 2 2 3 3

联立直线 PA 与椭圆 C 的方程,解得 B(?

3 7 ,? ), 5 5

又 PA 过原点 O ,于是 P(? 3, ?1) , PA ? 4 ,所以直线 PA 的方程为 x ? 3 y ? 0 ,

?
所 以 点

B





线

PA







h?

3 7 3 ? 5 5 2

?

3 3 5



1 3 3 6 3 ??????10 分 S?PAB ? ? 4 ? ? 2 5 5 1 1 ? (3)假设存在点 E ,使得 为定值,设 E ( x0 ,0) , 2 EA EB 2
当直线 AB 与 x 轴重合时,有

12 ? 2 x02 1 1 1 1 , ? ? ? ? EA2 EB2 ( x0 ? 6)2 ( 6 ? x0 )2 (6 ? x02 )2
2 2(1 ? x0 ) 6
2

当直线 AB 与 x 轴垂直时,

1 1 ? ? 2 EA EB 2

?

6 , 6 ? x0 2



12 ? 2 x0 2 6 6 ,解得 x0 ? ? 3 , ? 2, ? 2 2 2 6 ? x0 2 (6 ? x0 ) 6 ? x0
以 若 存 在 点



E







E (?

1 1 3 , ,0 ) 2 ? EA EB 2







2. ????????????????12 分 根据对称性,只需考虑直线 AB 过点 E ( 3,0) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 又设直线 AB 的方程为 x ? my ? 3 ,与椭圆 C 联立方程组, 化简得 (m2 ? 3) y2 ? 2 3my ? 3 ? 0 ,所以 y1 ? y2 ?

?3 ?2 3m , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3



1 1 1 1 , ? ? ? 2 2 2 2 2 EA (m ? 1) y12 ( x1 ? 3)2 ? y12 m y1 ? y1

所以

( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 1 1 1 1 , ? ? ? ? EA2 EB2 (m2 ? 1) y12 (m2 ? 1) y22 (m2 ? 1) y12 y22

1 1 ? ?2. 2 EA EB 2 1 1 ? 综上所述,存在点 E(? 3,0) ,使得 为定值 2?????16 分 2 EA EB 2
将上述关系代入,化简可得

8、解:(1)记椭圆 C 的半焦距为 c. c 3 由题意,得 b=1, = ,c2=a2+b2, a 2 解得 a=2,b=1. ?????????????????? 4 分

x2 (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 +y2=1,圆 C1 的方程为 x2+y2=5. 4 显然直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0. ?????????????? 6 分 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, kx+m, ? ?y= 2 故方程组?x 2 ? 4 +y =1 ? (*) 有且只有一组解.

由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 从而△=(8km)2-4(1+4k2)( 4m2-4)=0. 化简,得 m2=1+4k2.① ???????????????? 10 分

因为直线 l 被圆 x2+y2=5 所截得的弦长为 2 2, 所以圆心到直线 l 的距离 d= 5-2= 3. 即 |m| = 3. k2+1 ② ??????????????? 14 分

由①②,解得 k2=2,m2=9. 因为 m>0,所以 m=3. 9、解:(1)由题设知 e ? ∴ e2 ?
6 , 3

??????????????? 16 分

c 2 a 2 ? b2 a 2 ? 2 6 2 ? ? ? ? . ???????????????????3 分 a2 a2 a2 9 3

解得 a 2 ? 6 . ∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 6 2

????????????????????6 分

(2)圆 E : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 的圆心为 E (0, 2) ,点 Q 在圆 E 上, ∴ PQ≤EP ? EQ ? EP ? 1 (当且仅当直线 PQ 过点 E 时取等号).????????9 分 设 P( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上的任意一点, 则
x0 2 y0 2 ? ? 1 ,即 x02 ? 6 ? 3 y02 . 6 2

∴ EP2 =x02 +(y0 ? 2)2 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 12 . ??????????????????13 分
2 ? 因为 y0 ? ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, EP 取得最大值 12,即 PQ≤2 3 ? 1 .

所以 PQ 的最大值为 2 3+1 . ?????????????????16 分 10、

11、解:(1)设点 E(m,m),由 B(0,-2)得 A(2m,2m+2).

代入椭圆方程得 解得 m ? ?

4m 2 (2m ? 2) 2 m2 ? ? 1 ,即 ? ( m ? 1) 2 ? 1 , 12 4 3

3 或 m ? 0 (舍). 2 所以 A( ?3 , ?1 ),
故直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 . (2)设 P( x0 , y0 ) ,则

??????????????????3 分

???????????????????6 分

x0 2 y0 2 x2 ? ? 1 ,即 y0 2 ? 4 ? 0 . 3 12 4

设 M ( xM , yM ) ,由 A,P,M 三点共线,即 AP P AM , ∴ ( x0 ? 3)( yM ? 1) ? ( y0 ? 1)( xM ? 3) , 又点 M 在直线 y=x 上,解得 M 点的横坐标 xM ?

uu u r

uuur

3 y0 ? x0 ,???????????9 分 x0 ? y0 ? 2

设 N ( xN , yN ) ,由 B,P,N 三点共线,即 BP P BN , ∴ x0 ( yN ? 2) ? ( y0 ? 2) xN , 点 N 在直线 y=x 上,,解得 N 点的横坐标 xN ?

uur

uuu r

?2 x0 . x0 ? y0 ? 2

??????????12 分

所以 OM·ON= 2 | xM ? 0 | ? 2 | xN ? 0 | = 2 | xM | ? | xN | =2 |

3 y0 ? x0 ?2 x0 | ?| | x0 ? y0 ? 2 x0 ? y0 ? 2

2 x0 2 ? 6 x0 y0 x0 2 ? 3x0 y0 2 x0 ? 6 x0 y0 2 | | 2| 2 | |= =2| = 6 .???????? 16 分 x0 2 = x0 2 2 x0 ? 2 x0 y0 ? ? x0 y0 ( x0 ? y0 ) ? 4 3 3
2

12、解:(1)设 P( x0 ,

2 x0 ) , 2

∵直线 PQ 斜率为

2 2 2 x0 ) 2 ? 3 ,∴ x02 ? 2 ????3分 时, PQ ? 2 3 ,∴ x0 ? ( 2 2



2 1 c a 2 ? b2 2 2 2 ? ? 1 ,∵ ,∴ a ? 4, b ? 2 . e ? ? ? 2 2 a b a a 2
??????6分

x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 C 的标准方程为 4 2
(2)以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) .

设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,且

2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 2 y0 ? 4, 4 2

∵ A(?2, 0) ,∴直线 PA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ M (0, ) , x0 ? 2 x0 ? 2
??????9分

直线 QA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ N (0, ), x0 ? 2 x0 ? 2 2 y0 2 y0 )( y ? )?0 x0 ? 2 x0 ? 2

以 MN 为直径的圆为 ( x ? 0)( x ? 0) ? ( y ?

即 x2 ? y 2 ?

4 x0 y0 4 y0 2 y ? ?0, x02 ? 4 x02 ? 4
2 x0 y?2? 0, y0

??????12 分

2 2 ∵ x0 ,∴ x ? y ? ? 4 ? ?2 y0
2 2

令 y ? 0 , x2 ? y 2 ? 2 ? 0 ,解得 x ? ? 2 , ∴以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) . 13、 ??????16 分

1 1 4 14、解:(1)由条件得 2+ 2=1,且 c2=2b2,所以 a2=3b2,解得 b2= ,a2=4. a b 3 x2 3y2 所以椭圆方程为: + =1. 4 4 ???????3 分

(2)设 l1 方程为 y+1=k(x+1), ?y=kx+k-1, 联立? 2 消去 y 得(1+3k2)x2+6k(k-1)x+3(k-1)2-4=0. 2 ?x +3y =4, -3k2+6k+1 3k2+2k-1 因为 P 为(-1,1),解得 M( , ).?????????5 分 1+3k2 1+3k2 k2-6k-3 -k2-2k+3 1 当 k≠0 时,用- 代替 k,得 N( 2 , ). ?????????7 分 k k +3 k2+3 将 k=-1 代入,得 M(-2,0),N(1,1). 因为 P(-1,-1),所以 PM= 2,PN=2 2, 1 所以△PMN 的面积为 × 2×2 2=2. 2

?????????9 分

(3)解法一:设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 ?x12+3y12=4, ? 2 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0, 2 ?x2 +3y2 =4, 因为线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 y1+y2=0,从而可得(x1+x2)(x1-x2)=0.???12 分 若 x1+x2=0,则 N(-x1,-y1). → → 因为 PM⊥PN,所以PM·PN=0,得 x12+y12=2. 又因为 x12+3y12=4,所以解得 x1=±1,所以 M(-1,1),N(1,-1)或 M(1,-1),N(-1, 1). 所以直线 MN 的方程为 y=-x. ?????14 分 若 x1-x2=0,则 N(x1,-y1), → → 因为 PM⊥PN,所以PM·PN=0,得 y12=(x1+1)2+1. 1 又因为 x12+3y12=4,所以解得 x1=- 或-1, 2 1 经检验:x=- 满足条件,x=-1 不满足条件. 2 1 综上,直线 MN 的方程为 x+y=0 或 x=- . 2 ????????16 分

3k2+2k-1 -k2-2k+3 解法二: 由 (2) 知, 当 k≠0 时, 因为线段 MN 的中点在 x 轴上, 所以 , 2 =- 1+3k k2+3 化简得 4k (k2-4k-1)=0,解得 k=2± 5. ??????????12 分 1 5 1 5 1 若 k=2+ 5,则 M(- , ),N(- ,- ),此时直线 MN 的方程为 x=- . 2 2 2 2 2 1 5 1 5 1 若 k=2- 5,则 M(- ,- ),N(- , ),此时直线 MN 的方程为 x=- .?14 分 2 2 2 2 2 当 k=0 时,M(1,-1),N(-1,1),满足题意,此时直线 MN 的方程为 x+y=0. 1 综上,直线 MN 的方程为 x=- 或 x+y=0. ???????16 分 2 15、


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