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湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


荆州中学 2015~2016 学年度上学期期 中 考 试 卷 年级:高二 科目:数学(文科)

一.选择题(60 分,每小题 5 分,每题的四个选项中有且仅有一个是正确的) 1.荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日在家活动情况,打算从高一年级 1256 名学生中抽取 50 名进行抽查,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 1256 人中剔除 6

人,剩下 1250 人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的机会( ) A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等 D. 无法确定

开始

(2,3,4),且 AB ? 2 6 ,则实数 x 的值是( ) 2.已知点 A( x,1, 2)和点B .
A. ?3 或4 B. ?6 或2 C.3或 ?4 D.6或 ?2

输入 N , a1 , a2 , ? ? ?, aN
k ? 1, S ? 0, T ? 0

3.某店一个月的收入和支出总 共记录了 N 个数据 a1 , a2 , ???, aN ,其中收入记为正数, 支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入


A ? ak



k ? k ?1

T ?T ? A
k?N


S ?S?A


S 和月净盈利 V ,那么在图中空白的判断框和处理框中,
应分别填入下列四个选项中的( A. A ? 0,V ? S ? T C. A ? 0,V ? S ? T ) B. A ? 0,V ? S ? T D. A ? 0,V ? S ? T )

输出 S , V 结束

4.用斜二测画法作出一个三角形的直观图,则原三角形面积是直观图面积的( A.

1 倍 2

B. 2 2 倍

C. 2 倍

D.

2 倍 4


5.如图(1)所示的一个几何体,在图中是该几何体的俯视图的是(

A.

B.

C. (1)

D.

6.已知 a , b 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,且 a ? ? , b ? ? ,给出下列结 论: ①若 a ∥ b ,则 ? ∥ ? ; ③若 a ⊥ b ,则 ? ⊥ ? ; 其中正确结论的个数是( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3
1

②若 ? ∥ ? ,则 a ∥ b ; ④若 ? ⊥ ? ,则 a ⊥ b

7.将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形,其圆心角之比为 3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧 面,则两圆锥的之底面积比为( ) A. 3∶4 B. 9∶16 C. 4:3 D. 16:9 8.在同一直角坐标系中,方程 y ? ax 与 y ? x ? a 的图形正确的是(
y y y


y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.
2

B.

C.

D.

2 9.若 P ? 2, ?1? 为圆 ? x ? 1? ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为 ( )

A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

10.已知点 A(2,?3) 、 B(?3, ?2), 若直线 l 过点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 的取值 k 范围是 ( A. )

? ??, ?4? ? ? ?
3? ? ?4, ? ? 4? ?

3 ? , ?? ? ?4 ?

B. ? ??, ? ? ? ? , ?? ? 4 4

? ?

1? ?

?3 ?

? ?

C.

D. ? , 4 ? ?4 ?

?3

?

11.若直线 y ? kx ? 4 ? 2k 与曲线 y ? ( ) A. ?1, ?? ? B. ? ?1, ? ? 4

4 ? x 2 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是

? ?

3? ?

C. ?

?3 ? ,1? ?4 ?

D.

? ??, ?1?

12.若圆 C 与圆 D : ? x ? 2 ? ? ? y ? 6 ? ? 1 关于直线 l : x ? y ? 0 对称, 则圆 C 的方程为 ( )
2 2

A. ( x ? 2) ? ( y ? 6) ? 1
2 2

B. ( x ? 6) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

C. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

二、填空题(共 20 分,每小题 5 分) 13.过圆 O : x ? y ? 1 外一点 M ?1, ?2? 的切线方程为
2 2



2

14. 已知 x 与 y 之间的一组数据如右图所示,当 m 变化 时,

x
y

0 1

1 3

2

3

? ? b? y 与 x 的 回 归 直 线 方 程 y x
点 . 15.在三棱锥的四个面中,直角三角形最多可有

5?m

7?m

必 a 过 定

个.

16.荆州市为了解 70 ? 80 岁的老人的日平均睡眠时间(单位: h ) ,随机选择了 50 位老人 进行调查,下表是这 50 位老人睡眠时间的频率分布表:
开始

S ? 0, i ? 1 序号 i
输入 Gi , Fi

分组 (睡眠时间)
[4,5)

组中值 ( Gi )
4.5

频数 (人数) 6 10 20 10 4

频率( Fi )
0.12
0.20 0.40

1 2 3 4 5

[5, 6) [6, 7) [7,8)
[8,9]

5.5 6.5

i ? i ? 1 S ? S ? Gi Fi


7.5
8.5

0.20
0.08

i ? 5?
是 输出 S 结束

在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图,则输出的 S 的值为

.

三、解答题 17. (本小题满分 10 分)某地区 100 位居民的人均月用水量(单位:t)的频率分布直方图 及频数分布表如下: (1)根据频率分布直方图估计这组数据的众数与平均数; (2)当地政府制定了人均月用水量为 3t 的标准,若超出标准加倍收费,当地政府解释说, 85%以上的居民不超出这个标准,这个解释对吗?为什么? 分组 频数 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5] 合计 4 8 15 22 25 14 6 4 2 100

18.(本小题满分 12 分)已知一条光线从点 A ? ?2,3? 射出,经过 x 轴反射后,反射光线与 圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 1 相切,求反射光线所在直线的方程.
2 2

3

19.(本小题满分 12 分)在 2015 年全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩: 甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8; 乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1; (1)用茎叶图表示甲、乙两人的成绩;并根据茎叶图估计他们的中位数; (2)已知甲、乙两人成绩的方差分别为 1.69 与 0.81 ,分别计算两个样本的平均数 x甲、x乙 和 标准差 s甲、s乙 ,并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较好,哪位运动员的成绩比较稳定.

20.(本小题满分 12 分)已知点 A? ?3, ?4? , B(6,3) 到直线 l : ax ? y ? 1 ? 0 的距离相等,求 a 得 值. 21. (本小题满分 12 分) 在三棱锥 A ? BCD 中,AB ? 面BCD ,BC ? CD , 点 E 在棱 AC 上,且 BE ? AC . (Ⅰ)试证明: BE ? 面ACD ; (Ⅱ)若 AB ? BC ? CD ? 2 ,过直线 BE 任作一个平面与直线 AD 相交于点 P ,得到三棱锥 A ? BCD 的一个截面 ?BEP , 求 ?BEP 面积的最小值; (Ⅲ)若 AB ? BC ? CD ? 2 ,求二面角 B ? AD ? C 的正弦值. E D B P A

C 22. (本小题满分 12 分) 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 和定点 A ? 2,1? , 由圆 O 外一点 P (a, b) 向圆 O 引切线 PQ ,切点为 Q ,且满足 PQ ? PA . (1) 求实数 a , b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心的圆 P 与圆 O 有公共点,试求圆 P 的半径 最小时圆 P 的方程.

y
2

A
0 2
4

x P

Q

年级:高二 一、选择题 CDCBC ABCCA BB 二、填空题

荆州中学 2015~2016 学年度上学期 期 中 考 试 卷 科目:数学(文科) 出题人: 参考答案

审题人:

3x ? 4 y ? 5 ? 0和x ? 1;

3 ( , 4); 2

4;

6.42

三、解答题 17. 解:(1)由图知,这组数据的众数为 2.25, 平均数为 2.02. (2) 人均月用水量在 3t 以上的居民的比例为 6%+4%+2%=12%, 即大约是有 12%的居民 月均用水量在 3t 以上,88%的居民月均用水量在 3t 以下,因此,政府的解释是正确的. 18.解:A 关于 x 轴的对称点 A?(?2, ?3) 。反射光线相当于是从 A ? 点射出的光线。 因为反射光线的斜率存在,所以反射光线所在的直线可设为 y ? k ( x ? 2) ? 3 即 kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 因 为 该 直 线 与 圆 相 切 , 所 以

d?

3k ? 2 ? 2k ? 3 k 2 ?1

4 3 ? 1,即24k 2 ? 50k ? 24 ? 0, 解得k ? 或k ? 3 4

所以反射光线所在直线方程为 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 6 ? 0

19.解: (1)如图所示,茎表示成绩的整数环数,叶表示小数点后的数字。 甲 8 2 5 4 7 4 8 7 5 1 7 8 9 10 乙 1 7 5 1 8 7 2 1 1 1

由上图知,甲中位数是 9.05,乙中位数是 9.15 (2)解: x甲 =

1 ×(9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8)=9.11 10

x乙 =

1 ×(9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1)=9.14 10

S 甲= s甲 ? 1.69 ? 1.3

s乙 ? 0.81 ? 0.9
5

由 x甲 ? x乙 ,这说明乙运动员的好于甲运动员的成绩 由 S 甲 ? S 乙,这说明甲运动员的波动大于乙运动员的波动,所以我们估计,乙运动员比较稳 定.

? A, B到直线的距离相等
20.解: ?

?3a ? 4 ? 1 a ?1
2

?

6a ? 3 ? 1 a2 ? 1

, 于是 3a ? 3 ? 6a ? 4

1 7 ? 27a 2 ? 30a ? 7 ? 0,? a ? ? 或a ? ? 3 9
21.解: (1)证明:

? AB ? 面BCD ? AB ? CD, 又 ? BC ? CD,? CD ? ABC ? CD ? BE , 又 ? BE ? AC, ? BE ? 面ACD
(2)

? BE ? 面ACD ? BE ? EP ? S ?BEP 最小时,EP ? AD 当EP ? AD时,EP ? 6 3

1 6 3 ? ( S ?BEP ) min ? ? 2 ? ? 2 3 3
(3)由(2)知,当 EP ? AD时,AD ? 面EPB,?BPE为二面角B—AD—C的平面角

tan ?BPE ?

BE ? PE

2 3 ? 3,sin ?BPE ? 2 6 3

所以,二面角B-AD-C的正弦值为

3 2

22.解: (1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有 PQ ? OP ? OQ . 又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA .
2 2

2

2

2

即: (a2 ? b2 ) ?12 ? (a ? 2)2 ? (b ?1)2 .

化简得实数 a , b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

6

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? . 5 5
故当 a ?

2 2 6 时, PQ min ? 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5. 5 5 5
2

y

解法 2:由(1)知,点 P 在直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 上. 所以

PQ min ? PA min ,即求点 A 到直线 l 的距离.
PQ min ? 2 ? 2 ?1? 3 2 ?1
2 2

A
O 2

所以

?

2 5 | 5

x P

Q

(3)解法 1:设圆 P 的半径为 R ,

? 圆 P 与 圆 O 有 公 共 点 , 圆 O 的 半 径 为 1 , ? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且

R ? OP ?1 .
故当 a ?

而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ?

6 5

9 , 5

6 时, OP ? 3 5. min 5 5

3 此时, b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 3 5 ? 1 . 5 5

得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5 解法 2:圆 P 与圆 O 有公共点,圆 P 半径最小时为与圆 O 外切(取小者)的情形,而这些 半 径 的 最 小 值 为 圆 心 O 到 直 线 l 的 距 离 减 去 1 , 圆 心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l ? 与 l 的交点 P 0 .

r?

3 22 ? 12

?1 ?

3 5 ? 1 又 直线 l ? 的方程为 x ? 2 y ? 0 5
2

y

6 ? x? , ? 6 3? ? x ? 2 y ? 0, ? ? 5 .即 P 解方程组 ? ,得 , ? 0? ? 5 5? ? 3 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y? ? 5 ?

A
P0
O 2

x P
l

所以,所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5

Q

7


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