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排列、组合、二项式定理测试(二)含答案


排列、组合、二项式定理测试(二)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) * 1.n∈N ,则(20-n)(21-n)……(100-n)等于( )
80 A. A100 ?n 81 C. A100 ?n 20?n B. A100 ?n 81 D. A20 ?n

2 . 若 集 合 M ? {x, y, z},

集合N ? {?1,0,1}, f 是 从 M 到 N 的 映 射 , 则 满 足

f ( x) ? f ( y) ? f ( z) ? 0 的映射有(



A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 3.有三张卡片,正反面分别写有 6 个不同的数字 1,3,5 和 2,4,6,将这三张卡片上的 数字排成三位数,共能组成不同的三位数的个数是( ) A.24 B.36 C.48 D.64 2n-1 4. (1-x) 展开式中,二项式系数最大的项是 ( ) A.第 n-1 项 B.第 n 项 C.第 n-1 项与第 n+1 项 D.第 n 项与第 n+1 项 5.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个茶杯和编号为 1,2,3,4,5 的五个杯盖,将五个杯 盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 ( ) A.30 种 B.31 种 C.32 种 D.36 种 6.从 6 名学生中,选出 4 人分别从事 A、B、C、D 四项不同的工作,若其中,甲、乙两人不 能从事工作 A,则不同的选派方案共有 ( ) A.96 种 B.180 种 C.240 种 D.280 种 7.书架上有不同的数学书与不同的外文书共 7 本,现取 2 本数学书,1 本外文书借给 3 位 同学,每人一本,共有 72 种不同的借法,则数学书与外文书的本数分别为 ( ) A.4,3 B.3,4 C.5,2 D.2,5 8. ( 2 ? 3 3)100 的展开式中,无理数项的个数是 ( )

A.84 B.85 C.86 D.87 9.4 名男生 3 名女生排成一排,若 3 名女生中有 2 名站在一起,但 3 名女生不能全排在一 起,则不同的排法种数有 ( ) A.2880 B.3080 C.3200 D.3600 10.从 1,2,3,4,5 这五个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数,但当三个数字中 有 2 和 3 时,2 需排在 3 前面(不一定相邻) ,这样的三位数有 ( ) A.9 个 B.15 个 C.42 个 D.51 个 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11 . 已 知 (1 ? 3x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a7 x , 则 | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ??? | a7 |?
7 2 7

. 12.把 13 个乒乓球运动员分成 3 组,一组 5 人,另两组各 4 人,但 3 个种子选手每组要选 派 1 人,则不同的分法有 种.
1 2 31 13. 1 ? 2C31 的值的个位数是 ? 4C32 ? ? ? 231 C31

.

14.在 1 到 100 这 100 个自然数中,选取 20 个,要求这 20 个数两两不相邻,则共有 种选法. 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.已知 ( x ? m) 2n?1 与(mx ? 1) 2n (n ? N * , m ? 0) 的展开式中含 x 项的系数相等,求实数 m
n

的取值范围.(12 分)

16.一个口袋内有 4 个不同的红球,6 个不同的白球, (1)从中任取 4 个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种? (2)若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,从中任取 5 个球,使总分不少于 7 分的取 法有多少种?(12 分)

17.3 名老师带领 6 名学生平均分成三个小组到三个工厂进行社会调查,每小组有 1 名老师 和 2 名学生组成,求不同的分配方法有多少种?(12 分)

18.求(2x-1) 的展开式中(1)各项系数之和; (2)各项的二项式系数之和; (3)偶数项 的二项式系数之和; (4)各项系数的绝对值之和; (5)奇次项系数之和(12 分)

5

19.某市 A 有四个郊县 B、C、D、E。 (如图) 现有 5 种颜色,若要使每相邻的两块涂不同颜色,且每块只涂一种颜色,问有多少种不同的 涂色方法?(14 分)

20.已知: a, b ? R ? , n ? 1, n ? N *

求证:

an ? bn a?b n ?( ) (14 分) 2 2

参 考 答 案
一、选择题 1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7.B 8.A 9.A 10.D 二、填空题 11.4
7
4 3 3 12.12600 种 提示: A33C10 ? C6 ? C6 ? 2 ? 12600 种

13.7

20 14. C 81

三、解答题 15.解:
r 2 n ?1 ? r 设( x ? m) 2 n ?1的展开式通项公式为 Tr ?1 , 则Tr ?1 ? C2 ? mr n ?1 x

令2n ? 1 ? r ? n, 得r ? n ? 1
n ?1 n ?1 故此展开式中x n项的系数为C2 n ?1m n ?1 n ?1 n n 由题意知 : C2 ? C2 n ?1m nm

n ?1 1 1 ? (1 ? ), m为n的减函数 2n ? 1 2 2n ? 1 1 2 1 2 ? n ? N ? ,? m ? , 又当n ? 1时, m ? ,? ? m ? 2 3 2 3 1 2 故m的取值范围是( , ] 2 3 ?m ?
16.解(1)将取出 4 个球分成三类情况 1)取 4 个红球,没有白球,有 C 4 种 2)取 3 个
3 1 2 2 红球 1 个白球,有 C 4 C 6 种;3)取 2 个红球 2 个白球,有 C4 C6 ,
4 3 1 2 2 ? C4 ? C4 C6 ? C 4 C 6 ? 115种

4

? x ? y ? 5(0 ? x ? 4) (2)设取x个红球, y个白球, 则? ?2 x ? y ? 7(0 ? y ? 6) ?x ? 2 ?x ? 3 ?x ? 4 ?? 或? 或? ?y ? 3 ?y ? 2 ?y ? 1
2 3 3 2 4 1 ? 符合题意的取法种数有 C4 C6 ? C 4 C6 ? C4 C 6 ? 186种

17.解:分三步 1)将 6 名学生平均分成三组有

2 2 C62 C 4 C2 种. 3 A3

2)将 3 名老师分到三组

之中有 A3 种

3

3 3 ) 将 3 个 不 同 的 组 分 配 到 三 个 不 同 的 工 厂 , 有 A3 种
2 2 2 C6 C4 C2 3 3 ? A3 ? A3 ? 540 种. 3 A3

由分步计数原理得:

18.解

(1)设(2 x ? 1)5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a5 x 5 令x ? 1得各项系数之和 a0 ? a1 ? ? ? a5 ? 1;
1 5 (2)各项的二项式系数之和 C50 ? C5 ? ?C5 ? 25 ? 32

1 5 ? 2 ? 16 2 (4)令x ? ?1, 则a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? (?3)5 ? ?243
1 3 5 (3)偶数项的二项式系数之 和C5 ? C5 ? C5 ?

(5)a1 ? a3 ? a5 ?

(a0 ? a1 ? ? ? a5 ) ? (a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ) 1 ? 243 ? ? 122 2 2

19.解:符合题意的涂色至少要 3 种颜色,分类如下
5 (1)用5种颜色涂, 有A5 ? 120种 1 1 2 (2)用4种颜色涂, 有C54 ? C4 ? C2 ? C32 ? A2 ? 240种 3 3 (3)有3种颜色涂, 有C5 ? A3 ? 60种

由分类计数原理 , 共有不同的涂色方法 120 ? 240 ? 60 ? 420种
20.证明

? a, b ? R ? , n ? 1, n ? N ? a?b a?b n 不妨设a ? b ? 0, 则 ? 0, ( ) ?0 2 2 a?b a?b n a?b a?b n 故a n ? b n ? ( ? ) ?( ? ) 2 2 2 2 a?b 2 a?b 4 a?b n 0 a?b n 2 a ? b n?2 4 a ? b n?4 n a?b n ? 2[Cn ( ) ? Cn ( ) ,( ) ? Cn ( ) ?( ) ? ? ? Cn ( ) ] ? 2( ) 2 2 2 2 2 2 2 a n ? bn a?b n ? ?( ) 2 2


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