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全国中学生物理竞赛10:曲线运动的动力学解


?

曲线运动发生的条件 合外力方向与速度方向不在一直线

?

切向力改变速度大小 ?v ? Ft ? mat ? m ?t 法向力改变速度方向 2 v ? Fn ? man ? m ?

ΣFt

v

求解曲线运动的动力学方法 物体运动情况分析 物体受力

情况分析

ΣF

ΣFn

导轨滑动,绳子的另一端缠在半径为r的鼓轮O上,鼓轮以等角速度 ω转动.不计导轨摩擦,求绳子的拉力FT与距离x之间的关系.
分析滑块A受力:重力Mg、导轨支持力FN,绳子拉力FT B 分析滑块A运动: A r A

专题10-例1 如图所示,滑块A质量为M,因绳子的牵引而沿水平

A沿导轨的运动可视做沿绳向绳与轮切点 B的平动及以切点B为中心的转动的合成 ω

?

X : FT ? FN sin? ? Mg sin? ? M x cos? A实际运动沿水平

由牛顿第二定律:

vt ? r? vn ? r? tan ?

O
x Y

vt2

X

FN

由几何关系
tan? ? r x2 ? r 2

FT vt 2 ? r? tan ? ? vn ? 2 FT ? Mg sin ? ? FT sin ? ? Mg sin ? ? M v x cos ?

Mg ? FT sin ? ? FN
FT ?

x2 ? r 2 cos? ? x

?

Mr 4? 2 x 2 x ?r
2 2

?

5

Mg

如图所示,套管A质量为M,因受绳子牵引沿竖直杆向上滑 Y 动.绳子另一端绕过离杆距离为 L的滑轮B而缠在鼓轮上.当鼓轮转动时,其边缘 上各点的速度大小为v0.求绳子拉力和距离x之间的关系. 重力Mg、绳子拉力 X v t vA L 分析滑块A受力: B FT、导轨支持力FN FT x 分析滑块A运动: 滑块沿导轨向上的运动 v0 ? ? FN A 速度vA可视作沿绳向滑轮B的法向速度v0 ω ? 由牛顿第二定律:

及以B为中心转动的切向速度vt的合成! vt ? v0 tan ?

? L? FT sin ? ? FN v ? 0 x? 2 ? ? 2 ? ? v L ? ? Mg FT ? FT sin ? ? Mg cos ? ? M 0 ?1 ? ? 2 2 FT ? x ?L cos ? ? gx 2 x 2 ? L2 cos ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 2 ? v0 L? ? v 2 x ? L 0L FT ? cos ? ? Mg cos? ? M ? 1 ? 3 ? Mg ? 2 2 2 ? x x x ?L x g?
2

Mg X : FT ? FN sin ? ? Mg cos ? ? M 2 2 x ? L A实际运动沿竖直,在水平方向满足

2 vt

如图所示,长度为l的不可伸长的线系在竖直轴的顶端,在线的 下端悬挂质量为m的一重物.再在这重物上系同样长度的另一根线,线的下端悬挂 质量也为m的另一个重物.轴以恒定角速度ω转动.试证明第一根线与竖直线所成 角度小于第二根线与竖直线所成角度.

设第一根线上拉力为FT1,第二根线上拉力为FT2
在竖直方向

FT1
?

FT 1 ? cos ? ? 2mg FT 2 ? cos ? ? mg
mg

FT2
?

在水平方向

mg
2

FT 1 sin ? ? FT 2 sin ? ? ml? 2 sin?

ω

l? 2tan ? ? tan ? ? ? sin ? g 2 l? tan ? ? tan ? ? ? sin ? 2g

l? 2 mg tan ? ? ml ? ?? ? sin tan ? ? ? sin ?sin ? sin ? ? ?? g 2

>0

?? < ?

如图所示,小物块质量为m,在半径为r的圆柱面上沿螺旋线形 的滑槽滑动,运动的切向加速度大小为 at=gsinα,式中α为螺旋线的切线与水平面 的夹角,求:由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小. 小物块切向加速度的水平分量为 :

atx ? g sin ? ? cos ?

A

r
B?

产生这个加速度的切向水平力大小:

F ? mg sin ? ? cos ?

此力反作用力为圆柱面所受沿柱面且方 向水平之力,其对轴产生的力矩即为使 柱面绕中心轴转动的力矩:

C

D

M ? ? mg sin ? ? cos ? ? ? r

mgr ? sin 2? 2

如图所示,质量为m,半径为r的圆木搁在两个高度相同的支架上, 右支架固定不动,而左支架以速度v从圆木下面向外滑.求当两个支点距离 AB ? 2r 时,圆木对固定支架的压力 FN.(两支架开始彼此靠得很近,圆木与支 架之间的摩擦不计)

FNA 2 FNB O r 分析圆木受力 重力mg、支架A、B支持力F 、 F NA NB vO r45 A v B 圆木质心O绕A点转动 v v 分析圆木运动:
?

由几何关系知 ?AOB ?

?

圆木与B接触,故接触点具有相同的法向速度 O对A点转动的线速度 vO ? 2 v 圆木的运动方程
2
2 2 v 2 v O mg ? FNA ? m ? m 2 r 2r

2 v 2

FN

mg

? 2 v2 ? FN ? m ? g ? ? ? 2 ? 2r ? ?
v 2 ? 2 gr 否则圆木
已与固定支架脱离

? 2 v2 ? FNA ? m ? ? 2 g ? 2r ? ? ? ?

如图所示,用手握着一绳端在水平桌面上做半径为r的匀速圆 周运动,圆心为O,绳长为L,质量可以忽略,绳的另一端系着一个质量为m的小 球,恰好也沿着一个以O点为圆心的大圆在桌面上运动,小球和桌面之间有摩擦, 求:⑴手对细绳做功的功率P;⑵小球与桌面之间的动摩擦因数μ.

小球圆运动的半径设为R
R ? r 2 ? L2

V ?? r ? L
2

2

分析小球受力 绳拉力T;桌面摩擦力 f

v
r

ω
R

∵小球圆周运动,在法向有
手拉端速度

∵小球匀速圆周运动,在切向有

v ? ?r 3 r ? L r P ? Tv ? m? L
2 2

T cos ? ? m?

2

r ?L
2

2

L V
2 2

?

f

f ? T sin?

R R ?L ? m? L
2

有两个相同的单摆,把一个拴在另一个的下面,使它们各在一 个水平面内做匀速圆周运动,设两条摆线(长L)与竖直线所成的夹角都很小.已知 在运动过程中两条摆线一直保持在同一平面内,求此平面转动的角速度,以及两 质点轨道半径之比.

两线两球在竖直面内的态势可以有左、右图示两种可能
分析各球受力及运动轨迹

? ?下球 mg tan ? ? mR? ? ? ? ? 2 上球 F sin ? ? F sin ? ? mr ? ? ? 1 2
2

g ? 2 ? ? R
r F2
?

F1

F1

?

r
F2 mg
?

其中 F1 ?

? 2 tan ? ? tan ? r mg mg L sin ? 2? 2? 在α 、β 小角度的条件下 ? ? ?? ? ? 1 R ? ? 2 ?1 ? 2 2? ? ? ? r

等号两边相除得 2? tan ? R

2mg cos ? ?

F2 ?

由几何关系得 ?? ? 2? L ? sin ? ? sin

mg cos ?

mg

R

R

??

?

g 2? 2 L

?

sin x ? x ? tan x

水平直径以上各点的临界速度 ⑴在水平直径以上各点弹力方向是指 向圆心的情况,例如系在绳端的小球,过 v 山车…… v2 FT ? mg sin? ? m 线 ? R 绳 R FT mg 当FT =0时,v 临界= Rg sin ? 在水平直径以上各点不脱离轨道 因而可做完整的圆运动的条件是 : ⑵在水平直径以上各点弹力方向是 背离圆心的情况,例如车过拱形桥……

?

v FN mg 轨 道

v ? gR sin?
FN
?

v mg sin? ? FN ? m R 当FN =0时,v 临界= Rg sin ?
在水平直径以上各点 不脱离轨道的条件是 :

2

轨 道
mg

v ? gR sin?

?

机械能守恒 mg ? 2 R ? 1 mv 2 ? 1 mv 2 下 上

v上 FN上 mg
FN下

2

2

? 最高点与最低点的弹力差
F下 ? mg ? m
2 v下

1 1 2 2 mg ? 2 R ? mv下 ? mv上 2 2

R 2 v上 mg ? F上 ? m R

F下 ? F上 ? 6mg mg

v下

? 能到达最高点的最低点速度

v下 ? 5Rg

? 恰能到达最高点,最低点加速度 a ? 5 g

? 竖直面内的匀速圆周运动

W非 ? 0
FN v Ff

FN Ff v

mg

mg

止不动.若使小球获得一个水平初速度 v0 ? ? 2 ? 3 ? ag ,略去空气阻力, 证明:小球的运动轨迹经过悬点O. y 图示

专题10-例2 如图所示,一长为a的细线系着一小球悬挂在O点静

小球运动轨迹会通过悬点O,是因 v 为线绳在水平直径上方与水平成某 一角度α时,绳恰不再张紧,小球 x 0 开始脱离圆轨道而做斜上抛运动 h ? O 绳上张力为零时小球达临界速度 v ? ag sin ? 3ag / 3 该过程机械能守恒: 2 1 2 1 mv0 ? m ag sin ? ? mga ?1 ? sin ? ? v0 2 2 3 2 ? 3 ag ? ag sin ? ? 2 ga ? 1 ? sin ? ? sin ? ? 3 小球做斜上抛运动设当y方向位移为-h时历时t,有 1 2 ? h ? vt cos ? ? gt 3 gt 2 ? 2 2 3agt ? 2 3a ? 0 2 3 6 1 2 a ? a ? vt ? gt t? 2 3 续解 3 3 2

?

?

?

?

查阅

这段时间内小球完成的水平位移为

3 a 3 y x ? vt sin? ? ag ? 2 3 ? 3 g 3 6 0 ? a ? a cos ? 3 3 ? a
说明小球做斜抛运动过程中, 通过了坐标为
3

6 a 3

x

O

? 6 3 ? a ? 的悬点O! ? a, ? 3 ? ? ? 3 ?

图中,A是一带有竖直立柱的木块,总质量为M,位于水平地 专题 10例 3 面上.B是一质量为m的小球,通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端.现拉动小

球,使绳伸直并处于水平位置.然后让小球从静止状态下摆.如在小球与立柱发生 碰撞前,木块A始终未发生移动,则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大?

v 小球动力学方程 FT ? mg sin? ? m L 1 小球机械能守恒 mgL sin ? ? mv 2 分析木块A受力:木块静止须满足 2

分析小球B下摆时受力:

2

B

? L

v mg
?

A FN

FT cos? ? F fm ? ? ? Mg ? FT sin? ? FT cos ? m 3 mg sin ? cos 3m3 cos ? ? 3 m ? ?? ? ? 2 2 2 ? ? ? tan ? M 1 ? cot ??M ? 3m m? M ? 3 m tan ? ? cot ? sin ? M 1 ? cot ? ? ? ? Mg ? FT sin ? Mg??? 3 ?3 ? mg sin ??
当? M ? 3m ? tan? ? M cot ?

FT
F fm

由基本不等式性质:

3m 3m M ?max ? 则? ? tan ? ? 2 M ? M ? 3m ? 2 M ? M ? 3m ? M ? 3m

Mg

桌边上,球壳与桌子无摩擦,对球壳轻轻一推,使其滚下桌子,计 算球壳不再接触到桌子的瞬间,球壳中心的速率. FN
球壳静止时,与桌边接触的一点O为其支点,球壳二力平衡! 轻推球壳,即给球壳一微扰,球壳的质心C将以 C 支点O为轴,以球半径R为半径在竖直面内从初速度 ? 为零开始做圆周运动,其间重力势能减少,动能增加; 当球壳质心做圆运动所需向心力仅由重力来提供时, ? O 球与桌支持点间无挤压,即开始脱离桌子. mg

专题10-例4 如图所示,有一个质量均匀的大球壳,正好静止在

v 球壳动力学方程 mg cos ? ? m R 球壳机械能守恒 mgR ? 1 ? cos? ? ? E k

设球壳“不再接触桌子的瞬时”球心速度 为v 2

mg

质心对O的转动动能

? 1 1 ? 2 球壳对质心C的转动动能 E C mgR ? 1 ? cos ? ? ? ? ? ? mv ? 2 3? ? v2 ? 5 2 6 gR ? 1 ? ? v ? ? ? 6 v ? gR gR ? ? 例5 11

1 2 EO ? mv 2

? 将球壳面分割成宽 R ? 2n 第i条环带的质量 ?

用微元法计算球壳对质心的转动动能EC
的一条条极细的环带

返回

y

整个球壳对过C而垂直于竖直面的轴的转动动能为
nn

? ? m ? mi ? R ? ? 2? R ? sin i ? ? 2n 2n ? 4? R 2 ? 第i条环带的速率 v ? vi ? ? R sin i R 2n

ω

i
C

? 2n ?

x
2

11 ? ? m ?v ? ? 2 EC ? 2 ?lim lim? ?m Ri?vi ? 2? R sin i ? ? ? ? R sin i ? ? 2 n?? 22 n?? 2n 2n 4? R ? R 2n ? i1 ?1 i? n n 1 2 ? ? 1 ? 1? ? ? ? 3 2 ? mv lim ? ? sin i ? mv lim ? ? ? 3sin i ? sin 3i ? n?? n?? 2 2n 2 2n 2n ? i ? 1 2n i ? 1 2n 4 ? n ? n?1 ? n 3? n ? 1 3? ? ? sin 1 ?? sin ? sin ? sin ? ? ? ? 1 12 ? ? 2 2n 2 2n2? 2 2n 2 2n ? ? mv mv lim 2 3 ??3? ? ? ? 3? n?? 8 2n 2n ? ? sin sin 8 3 ? ? ? ? 4n 4n

1 ? mv 3

筑路工人为了提高工作效率,把从山上挖出来的土石,盛在一 专题 10例 5 2 个箩筐里,沿一条钢索道滑至山下.如索道形状为 x ? 4ay 的抛物线,且箩筐及

它所盛的土石可以看作质量为m的质点,求箩筐自x=2a处自由滑至抛物线顶点时 的速度,并求此时箩筐对钢索的压力.

在以竖直向上方向为y轴正方向建 立的坐标系中,钢索呈顶点为坐 标原点、开口向上的抛物线. 1 2 由质点机械能守恒

y FN a v 0

其中抛物线顶点的曲率半径由

mga ? mv 2 v ? 2ag 2 质点在抛物线顶点的动力学方程 v FN ? mg ? m ? 2

2a mg
g

x

v v2 g? ??? ? g

v

FN ? 2mg

如图所示,一轻绳跨越一固定水平光滑细杆,其两端各系一小 球,球a置于地面,球b从水平位置由静止向下摆动,设两球质量相同.求a球恰要 离开地面时跨越细杆的两绳之间的夹角.

设a球恰要离地时两绳夹角为θ,此时a球 与地面无挤压,绳上张力恰与a球重力相等
b球机械能守恒

l
FT ?
?

b

b球动力学方程

1 2 mv ? mgl cos ? 2 2 v mg FT ? mg cos? ? m l

L a

mg

mg ? mg cos ? ? 2mg cos ?

mg

3cos? ? 1
1 ? ? cos 3
?1

如图所示,长为l的轻杆上端有一个质量为m的小重物,杆用铰 链固接在A点,并处于竖直位置,同时与质量为M的物体互相接触.由于微小扰动 使系统发生运动.试问质量之比 M/m为多少情况下,杆在脱离物体时刻与水平面 成角α=π/6,这时物体的速度u为多少?

v 则u ? 2 过程中系统机械能守恒

小重物只受重力,小重物与物体水平速度相同

小重物与物体恰要脱离时两者接 触而无挤压, 故物体的加速度为零! m
l M
30?

u

v mgl ? mv ? M 4 小重物动力学方程 ? v2 2 mg sin ? m ? v ? gl ? 2 v 6 l
2

? ? 1 2 1A ? mgl ? 1 ? sin ? ? mv ? Mu 6? 22 2 ?
gl 2

mg v

4m ? M

u?

gl 8

如图所示,质量均为m的两个小球固定在长度为l的轻杆两端, 直立在相互垂直的光滑墙壁和地板交界处.突然发生微小的扰动使杆无初速倒下, 求当杆与竖直方向成角α时,A球对墙的作用力.

B
? 当A球对墙恰无作用力时, ? 杆与竖直所成临界角为φ A 1 2 mg 由mgl ?1 ? cos ? ? ? mv0 ? FN 2 2 ?1 2 ? ? cos v0 mg cos ? ? m 3 l

FN

当杆与墙夹角α≥ φ 时

A球对墙无作用力

1 2 过程中B球机械能守恒 mgl ? 1 ? cos ? ? ? mv 2 v 2 F ? mg ? 3cos ? ? 2? N 此时B球动力学方程 mg cos ? ? FN ? m l
A球对墙的作用力

当杆与墙夹角α< φ 时

? sin ? ? mg ? 3cos ? ? 2? sin ? 题14 F ? FN

返回

一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的任意点P,在重力 作用下由静止开始往下滑,从Q点离开球面,求PQ两点的高度差h.

设球半径为R 由机械能守恒:

P
h

H ? R 2mgh v2 mg ? mg sin ? ? m R H R R 由几何关系: h? H ?h sin ? ? 3 R 若质点从球顶部无初速滑下,则可沿球面滑 下R/3的高度,释放高度H越小,沿球面滑下 的高度越短.这是一个有趣又有用的模型.

Q点动力学方程为:

1 2 mgh ? mv 2

R

H?

Q v
?

mg

质量为M、半径为R的光滑匀质半球,静止在光滑水平面上, 在球顶有一质量为m的质点,由静止沿球面下滑,求m离开M以前的轨迹方程和m 绕球心O的角速度. 在图示坐标系中,沿x 方向系统动量守恒

先确定m沿球面下滑的轨迹:

m y R ?

y
?

M mR sin? VM xM ? ? x R ? M?m xM O x MR sin ? 则m的坐标 ? ? x ? R sin ? ? x M ?

0 ? MxM ? m ? R sin? ? xM ?

?M ?m ? ? y ? 消去参数θ 即得m在M上运动时的轨迹方程 ? MR x ? ? ? R ? ? 1 ? ? ? ? 设对应于θ角,m绕球心O的角速度为ω,M速度为VM 由x 方向系统动量守恒 v ? R ? cos ? ? V ? M 则m的速度 ? x ? 0 ? MVM ? mv x 续解 ? ?v y ? R? sin ?

? ? ? y ? R cos ?

M?m

2

2

m m m R? cos ? VM ? ? v x ? ? ? R? cos ? ? VM ? VM ? ? M?m M M M vx ? R? cos ? M?m
由系统机械能守恒

查阅

v y ? R? sin ?

M 2 2 2 2 2 gR ? 1 ? cos ? ? ? ? R? ? cos ? ? ? R? ? sin ? M?m
??
2 g ? M ? m ?? 1 ? cos ? ? R ? M ? m sin 2 ? ?

1 1 2 2 mgR ? 1 ? cos ? ? ? MVM ? m v x ? v2 y 2 2

?

?

FT ? Fi ? FT ? ml? ? 0
牛顿运动定律仍可适用

相对做匀角速度转动的非 惯性参考系静止的物体

2

小球受绳拉力 ω 而静止?

FT l

m F ? ? ma i n

在相对于惯性参考系具 有向心加速度的参考系中所 引入的使牛顿定律仍能适用 的力就是惯性离心力!
相对做匀角速度转动的非 惯性参考系运动的物体

小球受绳拉 力而匀速转 动

Fi ? ? man
r

?

科里奥利力是转动参考系中引入的假想的 Fk 惯性力,其大小等于引起科里奥利加速度 的真实力,方向相反.物体在转动平面上 沿任何方向运动时,都将受到一个与运动 方向垂直的科里奥利力 :F ? ? 2 mu?
k

? u F ? 2 N ? 2mu? 2O aA ? r 2
Ff ?

u A

mr?

如图所示,在以角速度ω绕中心轴O匀速转动的太空实验室里, 专题 10例 6 一长为l的细线,一端固定在中心轴O,另一端系一质量为m的小球,小球相对实

验室以速度v匀速转动,转动方向与ω相反,求细线上的拉力FT 的大小.

取太空实验室为参考系,小球受线 绳拉力FT和惯性离心力Fi和科里 奥利力Fk
小球对太空实验室的转动速度为v
由牛顿第二定律
其中

ω
O l FT Fk

Fi ? ? ml? Fk ? 2mv?
2

v FT ? Fi ? Fk ? m l 2

2

v
2

Fi

v FT ? ml? ? 2mv? ? m l

2 v 2 FT ? ml? ? m ? 2mv? l

如图所示,一对绕固定水平轴O和O'同步转动的凸轮,使传送 装置的水平平板发生运动.问凸轮以多大角速度转动时,放在平板上的零件开始 移动?当凸轮按顺时针方向转动情况下,零件将往什么方向移动?零件与平板之 间的动摩擦因数为μ.凸轮半径为r.

以具有加速度的 板为参考系,零 件处于平衡!

O

O?

分析零件受力: 重力mg 板约束力 (摩擦力与支持力合力) 及惯性力mrω2 当静摩擦力达最大时,板约束力方 向与竖直成摩擦角φ=tan-1μ,三力 应构成闭合三角形如示! rm? 2 ? sin ? ? ? mg 1 ? ?2 ?g 零件开始滑动ω的临界值 ?min ? r 1 ? ?2

tan-1μ

mg

续解

若凸轮顺时针转动、角速度大于 ? min 2 以大虚线圆矢径表示大于mr? min
的惯性力,所受惯性力方向变 化如示:
矢量端点从a到b时,重力,约束力与惯性力不可 能构成闭合三角形,且约束力水平分量向右!

读题

tan-1μ d

tan-1μ a

零件向右滑

mg c b

矢量端点从c到d时,重力,约束力与惯性力也不 可能构成闭合三角形,且约束力水平分量向左 !

零件向左滑

轮船以等速率v沿赤道向东航行,试计算由此使船 上物体重量产生的相对误差,地球自转角速度为ω. 设地球半径为R,自转角速度为ω,赤道上重力加速度为g 对地球参考系,船静止在赤道上时货物重即支持面支持力 2 mg ? F支 ? F引 ? mR? 当船以速率v沿赤道向东航行时,货物受:
地心引力F引 地面支持力F 惯性离心力 F =mRω2科里奥利力 Fk 支 i
2 v F引 ? mR? 2 ? F支 ? 2 mv? ? m 2 R v 2 ? ? F引 ? mR? ? F支 ? m ? 2mv? R 2 v 相对误差为 m ? 2mv? 2 2v? v ? 2 vR ? ? ?? R ? g mg gR

? ?2m? v

对地球参考系,船以v沿赤道圆做匀速圆运动,有

半径为R=0.5 m的空心球绕本身的竖直直径旋转,如图所示, 角速度为ω=5 rad/s.在空心球内高度为R/2处有一小木块同球一起旋转,g取10 m/s2. ⒈实现这一情况所需的最小摩擦系数为多少? ⒉求ω=8 rad/s时实现这 一情况的条件. ω

⒈以球为参考系,小木块静止
分析小木块受力情况 重力mg 惯性离心力Fi导轨约束力F

其中 Fi ? mR? 2 cos 30?

? ? tan?1 ?

? ?

2

有 mR? 2 cos 30? ? mg cot ? ? 30? ? ?1 ? cot ? ? 30 cot tan ? ? 30 g g
R ?

?

?

cos 30

?

?

代入数据解得

有 mR? 2 cos 30? ? mg cot ? 30? ? ? ? 将ω=8rad/s代入

2 有 mR?0 cos 30? ? mg cot 30? 此时角速度 ?0 ? 40rad/s < 8 rad/s

⒉若角速度增大,Fi增大 当Fi=Fi时,摩擦力为零

3 3 ?? ? 0.23 23

R

?

?

?

cos 30?

? ? F Fi mg Fiω Fi0

?

?

R F FN
30 ?
R 2

? ? tan?1 ?

3 3 ?? ? 0.18 29

如图所示,橡皮圈挂在钉子上,这时它的长度为2h.然后使橡 皮圈在水平面上旋转起来,到转动角速度达到ω时,它的长度也为2h.求橡皮圈转 动的角速度.

橡皮圈竖直悬挂时,橡皮 TA 水平面上 圈的张力从上到下线性变化! mg 最上端的张力 TA ? mg 平均张力T ? 2 R 最下端的张力 4 ω 0 h O 橡皮圈水平旋转时,在圈上取一微元B ?? m h 2 mg 2 ? 2T ? ? sin ? ? ? 2 2 n ? 2n B T? ?? ?? ?? 2? ? T 而 ? 0,sin ? ? ?? 2 2 2 2n
h

?

mh 2 T? ? ? 2 2?

两种情况下橡皮圈形变量相同

g ? ?? 2h

如图所示,一个半径为r=10 cm的小环,从高度h=20 cm处掉 到桌上,此小圆环在空气中绕其中心轴旋转,轴在竖直方向,角速度 ω0 = 21 rad/s.圆环与桌面的碰撞为非弹性的,且碰撞时间很短.小环与桌面间摩擦系数 为μ=0.3,求小环停止时所转的圈数.

小环刚着地时竖直速度为v

落在桌面后,由于桌面弹力及摩擦力 作用,先在极短时间Δt内使竖直速度变为 零,同时绕轴转动速度减为ω,而后变为 μmg的摩擦力,使转动速度亦减为零!
在碰撞短瞬 由动量定理

y ? 2 gh ? 2m/s 绕轴转动线速度为 v ? ? r ? 2.1m/s t 0

ω0

设此后小环转n圈停止,由动能定理

FN ? ?t ? mv y ? m 2 gh ? FN ? ?t ? m ??0 ? ? ? r
1.52 n? 12? ? 0.1

? 2 gh ? ? ?0 ? r

? 15rad/s

1 2 ? mg ? n ? 2? r ? m ? ? r ? 2

? 0.6 r

如图所示,半径为R的水平圆台,可绕通过圆心O的竖直光滑 细轴CC'转动,圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽,质量为mA的物体A放在 一个槽内,A与槽底间的静摩擦因数为μ0 ,质量为mB的物体B放在另一槽内,此槽 是光滑的.AB间用一长为l(l<R)且不可伸长的轻绳绕过细轴相连.试求当圆台 做匀角速转动且 A、B两物体对圆台不动时,转动角速度ω和A到圆心的距离x所应 满足的条件(设此时A与槽的侧面之间没有作用力) AB的动力学方程

当两物体相对于转盘静止且A恰无摩擦时

C A O C′ B

A : F ? mA? x 2 B : F ? mB? ? l ? x ?
2
AB的动力学方程

mA? x ? mB? ? l ? x ?
2 2

当两物体相对于转盘静止且A恰未做远离轴心移动时

mB x? l m A ? mB

A : F ? ?0 mA g ? mA? x 2 B : F ? mB? ? l ? x ?
2

A

O

F B

x

mA? x ? ?0 mA g ? mB? ? l ? x ?
2 2

A : F ? ?0 mA g ? mA? x 2 B : F ? mB? ? l ? x ?
2

AB的动力学方程

当两物体相对于转盘静止且A恰未做移近轴心运动时

?0 m A g ?? ? m A ? mB ? x ? mB l

mB x> l m A ? mB

mA? 2 x ? ?0 mA g ? mB? 2 ? l ? x ?

?0 m A g mB ?? x< l mB l ? ? m A ? mB ? x m A ? mB 结论 mB 当x = l时 ω取任意值 m A ? mB ?0 m A g mB 当l ? x > l时 ? ? ? m A ? mB ? x ? mB l m A ? mB ?0 m A g mB 当0 ? x < l时 ? ? mB l ? ? m A ? mB ? x m A ? mB

如图所示,一根不可伸长的轻绳,穿上一粒质量为m的小珠 子,绳的一端固定在A点,另一端系在轻环上,环可以沿水平杆自由滑动.开始珠 子被维持在环旁边.此时绳是直的,但未被拉紧,绳子长度为L0 ,A点到杆的距 离为h,绳能承受最大张力为T0.试求珠子被释放后沿绳滑动到绳子被拉断时的速 度.(摩擦不计)

在图示坐标中珠子运动轨方程为 0

x ? ? y ? h? ? ? L0 ? y ?
2 2

2

T0

X m

h ? L0 x2 即y? ? 2 2 ? L0 ? h?
h ? L0 ? 这是开口向上、顶点为 ? 0, ? 2 ? ? ?

h A Y

L0
T0

的抛物线

v

?

? x, y ?
mg

设当珠子坐标为( x,y)时绳上张力达到T0

珠子下落过程只有重力功,机械能守恒
此时珠子速度 分析珠子受力

v 2 ? 2 gy T ? 2T0 sin ?

珠子的动力学方程

2T0 sin ? ? mg sin ? ? m

2 gy

? 计算曲率半径ρ

查阅

h ? L0 将珠子的运动等效为从高 处水平抛出、射程为 2

L ? h 、初速度为 v0 ?
2 0 2

2 L2 ? h 0

v 对轨迹上的P点: g sin ? ? ?
而v ?
2 2 v0

L0 ? h 2 g

?

g ? L0 ? h ?

的平抛运动
v0

? v2 y

2T0 sin ? ? mg sin ? ? m
则珠子速度

? L0 ? h ? g ? L0 ? h ? ? 2 g ? ? ? 2 2 ? L0 ? y ? ?? sin ? 2 gy sin ?

? y? y ?

h ? L0 2

?

v ? 2 gy ?

L0 ? 2T0 ? mg ? 2 ? L0 ? y ? y ? 2T0 gL0 ? 2T0 ? mg ?

2 L2 0 ?h

g

v

T0


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