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高中数学选修2-1综合测试卷(有详细答案)


模块综合测试
时间:90 分钟 分值:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( A.不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 D.存在 x∈R,x3-x2+1>0 解析:含有量词的命题的否定,一是要改变相应的量词,二是要 否定结论. 答案:D 2.命题“若 A?B,则 A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这 四个命题中,真命题有( A.0 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个 )

解析:逆命题与否命题正确,原命题与其逆否命题错误. 答案:B x2 y2 3.设椭圆的标准方程为 + =1,其焦点在 x 轴上,则 k k-3 5-k 的取值范围是( A.4<k<5 C.k>3 ) B.3<k<5 D.3<k<4

解析:由题意知,k-3>5-k>0,解得 4<k<5. 答案:A 4.已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线, 则“α⊥β”是“m⊥β”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若 m⊥β,由面面垂直的判定定理,则 α⊥β,反之不成立. 答案:B 5. 已知条件 p: |x-1|<2, 条件 q: x2-5x-6<0, 则 p 是 q 的( A.充要条件 C.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件 )

解析:命题 p:-1<x<3,记 A={x|-1<x<3}, 命题 q:-1<x<6,记 B={x|-1<x<6}, ∵A?B,∴p 是 q 的充分不必要条件. 答案:B 1 6.已知命题 p:“x∈R 时,都有 x2-x+4<0”;命题 q:“存在 x∈R,使 sinx+cosx= 2成立”.则下列判断正确的是( A.p∨q 为假命题 C.綈 p∧q 为真命题 B.p∧q 为真命题 D.綈 p∨綈 q 是假命题 )

解析:易知 p 假,q 真,从而可判断得 C 正确. 答案:C x2 y2 7.以双曲线 4 - 5 =1 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为 焦点的抛物线方程是( A.y2=12x ) B.y2=-12x

C.y2=6x

D.y2=-6x

x2 y2 解析:由 4 - 5 =1,得 a2=4,b2=5,∴c2=a2+b2=9. ∴右焦点的坐标为(3,0),故抛物线的焦点坐标为(3,0),顶点坐标 为(0,0). p 故2=3.∴抛物线方程为 y2=12x. 答案:A 8.对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C,有如下关系: → =OA → +2OB → +3OC → ,则( 6OP A.四点 O、A、B、C 必共面 B.四点 P、A、B、C 必共面 C.四点 O、P、B、C 必共面 D.五点 O、P、A、B、C 必共面 → =1OA → +1OB → +1OC → ,而1+1+1=1,∴四点 解析:由已知得OP 6 3 2 6 3 2 P、A、B、C 共面. 答案:B )

9. 如图, 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角, → =1BA → -1BC → +BD → ,则|BP → |2 的值为( 若点 P 满足BP 2 2 )

3 A.2 B.2 10- 2 9 C. 4 D.4 → |=1,|BC → |=1,|BD → |= 2.〈BA → ,BD → 〉=45° 解析:由题可知|BA , → ,BC → 〉=45° → ,BC → 〉=60° 〈BD , 〈BA . → |2 = ( 1 BA → - 1 BC → + BD → )2 = 1 → 2 + 1 → 2 + → 2 - 1 BA → BC →+ ∴ | BP BD 2 2 4 BA 4 BC 2 · →· → -BC →· → BA BD BD 1 1 1 1 2 2 9 =4+4+2-2×1×1×2+1× 2× 2 -1× 2× 2 =4. 答案:D x2 y2 10.已知 P 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦 5 →· → 点,双曲线的离心率是4,且PF 1 PF2=0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为( A.5 C.7 ) B.6 D.8

→· → → → 解析:由PF 1 PF2=0,得PF1⊥PF2, → |=m,|PF → |=n,不妨设 m>n,则 m2+n2=4c2,m-n=2a, 设|PF 1 2
?a=4, ? 1 c 5 ? mn = 9 , = ,解得 2 a 4 ? ?c=5,

故 b=3.因此 a+b=7,选 C. 答案:C 11.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 所成 角的余弦值为( )

2 A. 4 3 C. 3

2 B. 3 3 D. 2

解析:建立如下图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为 1,

则 D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1). → =(1,0,1),DB → =(1,1,0),BC → =(-1,0,1). ∴DA 1 1 → =0,n· → =0. 设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n· DA DB 1
? ?x+z=0, ∴? 令 x=1,则 n=(1,-1,-1), ?x+y=0. ?

→ -2 - 6 n· BC 1 → ∴cos〈n,BC1〉= = = 3 . →| 3· 2 |n||BC 1 6 ∴直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的正弦值为 3 . 3 ∴直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值为 3 . 答案:C x 2 y2 12.双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其 上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )

A.(1,3) C.(3,+∞)

B.(1,3] D.[3,+∞)

解析:由题意知在双曲线上存在一点 P,使得|PF1|=2|PF2|,如右 图所示. 又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a, 即在双曲线右支上恒存在点 P 使得|PF2|=2a,即|AF2|≤2a. ∴|OF2|-|OA|=c-a≤2a.∴c≤3a. 又∵c>a,∴a<c≤3a. c ∴1<a≤3,即 1<e≤3. 答案:B 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.命题 p:?m∈R,方程 x2+mx+1=0 有实数根,则“非 p” 形式的命题是________,此命题是________命题(填“真”或“假”). 解析:命题 p 为特称命题,所以綈 p 是全称命题,∴綈 p 是?m ∈R,方程 x2+mx+1=0 没有实数根.∵m≥2 或 m≤-2 时,Δ≥0, 即该方程有实数根,所以 p 真,綈 p 假.

答案:?m∈R,方程 x2+mx+1=0 没有实数根 假 x 2 y2 14.双曲线a2-b2=1 的离心率 e∈(1,2),则其中一条渐近线的斜 率取值范围是________. a2+b2 b 解析:e= a ∈(1,2),解得 0<a< 3,又双曲线的渐近线方程 b 为 y=± 故其中一条渐近线的斜率取值范围是(0, 3)或(- 3, 0)). a x, 答案:(0, 3)或(- 3,0)

15.如图,在四棱锥 O—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正 方形,OA⊥平面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点.则异面直线 OB 与 MD 所成角余弦值为 ________. 解析:以 A 为原点建立空间直角坐标系,如图 → =(2,0,-2),MD → =(0,2,-1). 则OB → ,MD → 所成的角为 θ, 设OB →· → OB MD 2 10 则 cosθ= = = 10 . → ||MD → | 2 2· 5 |OB

10 答案: 10 16.若直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 2,则|AB|=________.
2 ? ?y =8x, 4k+8 解析:? k2x2-(4k+8)x+4=0,x1+x2= k2 =4, ?y=kx-2, ?

得 k=-1 或 2, 当 k=-1 时,x2-4x+4=0 有两个相等的实数根,不合题意. 当 k=2 时,|AB|= 1+k2|x1-x2| = 5 ?x1+x2?2-4x1x2= 5 16-4=2 15. 答案:2 15 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分) x2 y2 17.(10 分)已知 p:方程 + =1 所表示的曲线为焦点在 x 3-t t+1 轴上的椭圆;q:实数 t 满足不等式 t2-(a-1)t-a<0. (1)若 p 为真,求实数 t 的取值范围; (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. x2 y2 解:(1)∵方程 + =1 所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭 3-t t+1 圆,∴3-t>t+1>0.解得-1<t<1. (2)∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴{t|-1<t<1}是不等式 t2-(a-1)t -a<0 解集的真子集. 解方程 t2-(a-1)t-a=0 得 t=-1 或 t=a.①当 a>-1 时,不等式的解集为{t|-1<t<a},此时,a>1.②当 a=-1 时, 不等式的解集为?, 不满足题意. ③当 a<-1 时, 不等式的解集为{t|a<t< -1},不满足题意.综上,a>1.

18.(12 分)

如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° . (1)证明:AB⊥A1C; (2) 若平面 ABC ⊥平面 AA1B1B , AB = CB ,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 解:(1)取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1, ∠BAA1=60° , 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1 ⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C?平面 OA1C,故 AB⊥A1C.

(2)由(1)知 OC⊥AB,OA1⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 AA1B1B, 交线为 AB, 所以 OC⊥平面 AA1B1B, 故 OA,OA1,OC 两两相互垂直.

→ 的方向为 x 轴的正方向,|OA → |为单位长,建 以 O 为坐标原点,OA 立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz. 由题设知 A(1,0,0),A1(0, 3,0),C(0,0, 3),B(-1,0,0). → =(1,0, 3), → =AA → =(-1, 3, → 则BC BB 0), A - 3, 3). 1 1 1C=(0, 设 n=(x,y,z)是平面 BB1C1C 的法向量, → =0 ?n· BC 则? → =0 ?n· BB 1
? ?x+ 3z=0 ,即? , ? ?-x+ 3y=0

可取 n=( 3,1,-1). → n· A 10 1C → 故 cos?n,A1C?= =- 5 . → |n||A 1C| 10 所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 5 . 19.(12 分)已知定点 F(0,1)和定直线 l1:y=-1,过定点 F 与直 线 l1 相切的动圆圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; →· → (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P, Q, 交直线 l1 于点 R, 求RP RQ 的最小值. 解:(1)由题意,点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离,∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线.∴所求轨迹的方程为 x2= 4 y. (2)由题意,直线 PQ 的斜率存在,且不为 0,设直线 l2 的方程为 y=kx+1(k≠0),与抛物线方程联立消去 y,得 x2-4kx-4=0.记 P(x1,
? 2 ? y1), Q(x2, y2), 则 x1+x2=4k, x1x2=-4.易得点 R 的坐标为?-k ,-1?, ? ?

2 2 2? ? 2? ? ? ? ? →· → =? ?x1+ ,y1+1? · ?x2+ ,y2+1? = ?x1+ ? ?x2+ ? + (kx1 + ∴ RP RQ k k k k
? ? ? ? ? ?? ?

?2 ? 4 2)(kx2 + 2) = (1 + k2)x1x2 + ? k+2k? (x1 + x2) + k2 + 4 = - 4(1 + k2) + ? ?

1? ?2 ? 4 ? 1 4k? k+2k?+k2+4=4?k2+k2?+8,∵k2+k2≥2,当且仅当 k2=1 时取到
? ? ? ?

→· → ≥4×2+8=16,即RP →· → 的最小值为 16. 等号,∴RP RQ RQ x2 y2 20.(12 分)设 F1,F2 分别是椭圆:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦 点,过 F1 倾斜角为 45° 的直线 l 与该椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ| 4 =3a. (1)求该椭圆的离心率. (2)设点 M(0,-1)满足|MP|=|MQ|,求该椭圆的方程. 解:(1)直线 PQ 斜率为 1, 设直线 l 的方程为 y=x+c, 其中 c= a2-b2.

?y=x+c, 设 P(x1, y1), Q(x2, y2), 则 P, Q 两点坐标满足方程组?x2 y2 ?a2+b2=1,
化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0, -2a2c a2?c2-b2? 则 x1+x2= 2 2 ,x1x2= 2 2 . a +b a +b 所以|PQ|= 2|x2-x1| 4 = 2[?x1+x2?2-4x1x2]=3a. 4 4ab2 得3a= 2 2,故 a2=2b2, a +b a2-b2 c 2 所以椭圆的离心率 e=a= a = 2 . (2)设 PQ 的中点为 N(x0,y0),

x1+x2 -a2c 2 由(1)知 x0= 2 = 2 2=-3c, a +b c y0=x0+c=3. 由|MP|=|MQ|得 kMN=-1. y0+1 即 x =-1, 0 得 c=3,从而 a=3 2,b=3. x2 y2 故椭圆的方程为18+ 9 =1. 21.(12 分)

如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AC⊥AD, AB⊥BC,∠BAC=45° ,PA=AD=2,AC=1. (1)求证:PC⊥AD; (2)求二面角 A-PC-D 的正弦值; (3)设 E 为棱 PA 上的点, 满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30° , 求 AE 的长.

解:如右图所示,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得
? 1 1 ? A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B?-2,2,0?,P(0,0,2). ? ?

→ = (0,1,-2),AD → = (2,0,0),所以PC →· → = 0,所以 (1)证明:PC AD PC⊥AD. → =(0,1,-2),CD → =(2,-1,0). (2)解:PC 设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z), → =0, ?n· PC 则? → =0, ?n· CD
?y-2z=0, ? 即? 不妨令 z=1,则 x=1,y=2, ?2x-y=0. ?

故平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,2,1). 可取平面 PAC 的法向量为 m=(1,0,0). 于是 cos?m,n?= m· n 1 6 30 = = 6 ,从而 sin?m,n?= 6 , |m|· |n| 6

30 所以二面角 A—PC—D 的正弦值为 6 . (3)解:设点 E 的坐标为(0,0,h),其中 h∈[0,2], 1 1 ? → =? → =(2,-1,0), ? ,- ,h?,又CD 由此得BE 2 2 ? ?

→· → BE CD → → 故 cos〈BE,CD〉= = → → |BE|· |CD|

3 2 1 2 + h × 5 2



3 ,所以 10+20h2

? 3 3 10? 10 10 ? ?,即 AE= = cos30° = ,解得 h = h =- 舍去 2 2 10 ? 10 . 10 ? 10+20h

22.(12 分)(2014· 大纲全国卷)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点 5 为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|=4|PQ|. (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′ 与 C 相交于 M,N 两点,且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方 程. 8 解:(1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px 得 x0=p. 8 p p 8 所以|PQ|=p,|QF|=2+x0=2+p. p 8 5 8 由题设得2+p=4×p,解得 p=-2(舍去)或 p=2. 所以 C 的方程为 y2=4x. (2) 依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x = my + 1(m≠0). 代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故 AB 的中点为 D(2m2+1,2m), |AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 1 又 l′的斜率为-m,所以 l′的方程为 x=-my+2m2+3.

4 将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+my-4(2m2+3)=0. 4 设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=-m,y3y4=-4(2m2+3). 2? ?2 故 MN 的中点为 E?m2+2m2+3,-m?,
? ?

|MN|=

4?m2+1? 2m2+1 1 1+m2|y3-y4|= . m2

由于 MN 垂直平分 AB, 故 A, M, B, N 四点在同一圆上等价于|AE| 1 1 1 =|BE|=2|MN|,从而4|AB|2+|DE|2=4|MN|2, 2? ? 2 ? ? 即 4(m2+1)2+?2m+m?2+?m2+2?2
? ? ? ?

4?m2+1?2?2m2+1? = , m4 化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1. 所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.



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