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极坐标系与参数方程整理


极坐标系与参数方程
1.极坐标系的概念 (1)极坐标系

知识点整理

如图所示

,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射

线 Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆 时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角

这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴 为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 ,而极坐标系则不可 .但 极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始 边,射线 OM 为终边的角 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? .有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐 标,记作 M ( ? , ? ) . 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ? ? 0, ? 可取任意实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0, ? )( ? ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示; 同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的. 2.极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.极坐 标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点, 在极坐标系下, 一对有序实数 ? 、? 对 应惟一点 P( ? ,? ),但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标,这 些坐标又有规律可循的,P( ? ,? )(极点除外)的全部坐标为( ? , ? + 2k? )或( ? ? ,?

? 的取值范围加以限制. + (2k ? 1)? ) , ( k ? Z). 极点的极径为 0, 而极角任意取. 若对 ? 、 则
除极点外, 平面上点的极坐标就惟一了, 如限定 ? >0, 0≤ ? < 2? 或 ? <0, ? ? < ? ≤ ? 等.
1

3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系 中取相同的长度单位,如图所示:

(2) 互 化 公 式 : 设 M 是 坐 标 平 面 内 任 意 一 点 , 它 的 直 角 坐 标 是 ( x , y ), 极 坐 标 是

( ? ,? ) ( ? ? 0 ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
极坐标 ( ? ,? )

点M

直角坐标 ( x, y )

互化公式

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y 2
tan ? ? y ( x ? 0) x

在一般情况下,由 tan ? 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ) ①,并且对于 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上, ? ? y ? g (t )
那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对 于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 ,一般地可以通过消去参数而从 参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数 x, y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x ? f (t ) ,把它代入普通方程 ,求 出另一个变数与参数的关系 y ? g (t ) ,那么 ?

? x ? f (t ) 就是曲线的参数方程 ,在参数方程与 ? y ? g (t )
2

普通方程的互化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致. 注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题, 关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不 同。 3.圆的参数方程 ⑴.参数方程 如图所示,设圆 O 的半径为 r ,点 M 从初始位置 M 0 出发,按逆时针方向在圆 O 上作 匀速圆周运动,设 M ( x, y ) ,则 ?

? x ? r cos ? (? 为参数) 。 ? y ? r sin ?

这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中 ? 的几何意义是 OM 0 转过的角 度。 圆心为 ( a, b) ,半径为 r 的圆的普通方程是 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 它的参数方程为: ?

? x ? a ? r cos ? (? 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?

⑵圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 (a ? 0) : ⑴? ? a ⑷ ? ? 2a sin ? ⑵ ? ? 2a cos? ⑸ ? ? ?2a sin ? ⑶ ? ? ?2a cos? ⑹ ? ? 2a cos(? ? ? )
M

a ?
?

M
?

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

O

a

图1
? ? a
M a
?

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )
3

4.椭圆的参数方程

x2 y 2 以坐标原点 O 为中心, 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 其参 a b
数方程为 ?

? x ? a cos ? (?为参数) ,其中参数 ? 称为离心角;焦点在 y 轴上的椭圆的标准方 ? y ? b sin ?

? x ? b cos ? y 2 x2 程是 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 其参数方程为 ? (?为参数), 其中参数 ? 仍为离心 a b ? y ? a sin ?
角,通常规定参数 ? 的范围为 ? ∈[0,2 ? ) 。 注:椭圆的参数方程中,参数 ? 的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一 点的旋转角 ? 区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在 0 到 2? 的范围内) ,在其他任何一点,两个角的数值都不相等。但当 0 ? ? ?

?
2

时,相应地也有

0 ?? ?

?
2

,在其他象限内类似。

5.抛物线的参数方程 以 坐 标 原 点 为 顶 点 , 开 口 向 右 的 抛 物 线 y2 ? 2 p x 的参数方程为 ( p ? 0)

? x ? 2 pt 2 (t为参数). ? y ? 2 pt ?
6 直线的参数方程 ⑴ . 参数方程 经过点 M 0 ( x0 , y0 ) , 倾斜角为 ? (? ?

?
2

) 的直线 l 的普通方程是 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ),

而过 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为 ?

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) 。 y ? y ? t sin ? 0 ?

注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参 数方程为 ?

? x ? x0 ? t cos? (t为参数) ,其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点,任一点 ? y ? y0 ? t sin?

M ( x, y) 为终点的有向线段 M0 M 的数量, 当点 M 在 M 0 上方时,t >0; 当点 M 在 M 0 下
方时, t <0;当点 M 与 M 0 重合时, t =0。我们也可以把参数 t 理解为以 M 0 为原点,直 线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长 度相同。
4

⑵. 直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: ⑴? ? ? 0 ⑵ ⑷? ? ⑵? ? ⑸? ? ?

a cos ?

⑶? ? ? ⑹? ?

a cos ?

a sin ?

a sin ?

a cos(? ? ? )

M(? , ?
?



M

?
?

M

?
?

0

O

x

O

a

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? , ?


M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

图4

图5
? ??

a ?? sin ?

a sin?

图6
??
a cos( ? ? ?)

5

◆ 随堂练习

? 3 x ? 3? t ? ? 2 (t 为参数)的倾斜角是 1、直线 ? ?y ? 1? 1 t ? 2 ?
A.

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3

2、 将下列数方程化成普通方程.

2 ? 1 ? 1? t 2 ? x ? x ? a(t ? ) x ? ? 2 ? ? 2 ? x ? 2t ? x ? ?m y ? 1 ? ? 1? t t 1 ? t ,④ ? ①? ,② ? ,③ ? ,⑤ ? . ? ? y ? m x? 1 ? y ? 2t ? y ? 2t ? y ? b(t ? 1) ? y ? 2t ? ? ? t 1? t2 ? ? 1? t 2 ?
2

6 ? ○

? x ? a cos? , (?为参数, a ? b ? 0) ? y ? b sin ? .

7 ? ○

? x ? cos 2 ? ? y ? sin ?

3、直线 3x-2y+6=0,令 y = tx +6(t 为参数) .求直线的参数方程.

4、点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为(



? (2, ) A. 3

? (2, ? ) B. 3

(2, C.

2? ) 3

? (2, 2k? ? ), ( k ? Z ) D. 3
) D.一个圆

5、极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 B.两条直线

C.一条直线和一个圆

?? ? 6、在极坐标系中,直线 ? sin ?? ? ? ? 2 被圆 ? ? 4 截得的弦长为 4? ?
2? ? ) ,B(3, )是极坐标系上两点,则|AB|= 3 3 ? 7.|以极坐标系中的点 (2, ) 为圆心, 2 为半径的圆的极坐标方程是

7、设 A(2,

_. .

4

8.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为 9.化极坐标方程 ? 2 cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为

. .

10.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为__________________. 11.曲线 ? ? 2cos? 和 ? cos? ? 2 的位置关系式_____________.

? ? 12.点 (3,? ) 关于直线 ? ? 的对称点是 3 2

.
6

◆ 高考链接
(2, )到圆 ? ? 2 cos ? 3 1、 (2011 安徽)在极坐标系中,点 的圆心的距离为(

?



(A)2

(B)

4?

?2
9
(C)

1?

?2
9
(D) 3 ) D.(1, ? )

2、 (2011 北京)在极坐标系中,圆 ρ=-2sinθ 的圆心的极坐标是(
(1, ) A. 2

?

B.

(1, ?

?
2

)

C. (1,0)

3、(2011 江西) (坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为

? =2sin ? ? 4cos ? , 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线
的直角坐标方程为 。 )

4、(2010 北京)极坐标方程 ( ? ? 1)(? ? ? ) ? 0( ? ? 0) 表示的图形是( A、两个圆 B、两条直线 C、一个圆和一条射线

D、一条直线和一条射线

5、 (2010 广东) (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? ,? )(0 ? ? ? 2? ) 中, 曲线 ? ? 2 sin ?与? cos? ? ?1 的交点的极坐标为 。

6、 (2010 江苏)在极坐标系中,已知圆 ? ? 2 cos?与直线3? cos? ? 4? sin ? ? a ? 0 相切,且实数 a 的值。

? x ? ?1 ? t 7、(2010 湖南)极坐标方程 ? ? cos? 和参数方程 ? (t为参数) 所表示的 ? y ? 2 ? 3t
图形分别是( A、圆、直线 ) B、直线、圆 C、圆、圆 D、直线、直线

8、 (2011 陕西) (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点,

? x ? 3 ? cos ? C1 : ? x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? y ? 4 ? sin ?( ? 为 设点 A, B 分别在曲线
参数)和曲线 C2 : ? ? 1上,则

AB

的最小值为



7

9、 ( 2011 广东) (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为

5 2 ? ? x ? 5 cos? ?x ? t (0 ? ? ? ? ) 和 ? 4 (t ? R) ,它们的交点坐标为___________. ? ? y ? sin ? ? ?y ? t

? x ? 1 ? 2t 10、 ( 2009 广 东 卷 理 ) (坐标系与参数方程)若直线 l1 : ? (t为参数) ? y ? 2 ? kt ?x ? s 与直线 l2 : ? (s为参数) 垂直,则 k ? ? y ? 1 ? 2s


1 ? x? t? ? ? t 11、(2009 江苏)已知曲线 C 的参数方程为 ? ( 为参数, 1 ? y ? 3(t ? ) ? t ?

),

求曲线 C 的普通方程。

? x ? 2 cos? C 12、 (2011 全国新课标)曲线 C1 的参数方程为 ? (?为参数) ,求 1 的 ? y ? y ? 2 sin ?
直角坐标系 xOy 中方程;
13、( 2012 广 东 卷 文 )(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线

C1 和 C2 的参数方程分别为
? x ? 2 cos ? ? ? ?x ? t (? 是参数) C1 : ? (t 是参数) 和 C2 : ? ,它们的交点坐标为_______. y ? t y ? 2 sin ? ? ? ? ?

14、 .( 2013 广 东 卷 文 ) (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐 标系,则曲线 C 的参数方程为 .

15、 (坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos t ? ? y ? 2 sin t

( t 为参数), C

在点 ?1,1? 处的切线为 l ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,则 l 的 极坐标方程为_____________.

16、 (2010 广东) (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? ,? )(0 ? ? ? 2? ) 中, 曲线 ? ? 2 sin ?与? cos? ? ?1 的交点的极坐标为 。

8


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