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河南省焦作市博爱县第一中学2015-2016学年高一数学上学期第一次月考试题


2015-2016 学年博爱县第一中学高一月考试卷 数学
考试范围:必修 1 第一、二章及指数函数;考试时间:120 分钟; 注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项) 1、设全集 U=R,集合 A ?

{x | x ≥ 2}, B ? {x | 0 ≤ x ? 5}, 则集合 (CU A) ? B =( A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ≤ x ? 2} C. {x | 0 ? x ≤ 2} D. {x | 0 ≤ x ≤ 2} ) )

2、已知集合 A ? {a , a 2 } , B ? {1} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值集合为( A. {1, ?1} B. {1} C. {?1} D. ?

3、设集合 A ? ?1, 2, 4? ,集合 B ? x x ? a ? b, a ? A, b ? A ,则集合 B 中有( A.4 B.5 C.6 D.7 )

?

?

)个元素

4、下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A. y ? x B. y ? 3 ? x C. y ?

1 x

D. y ? ? x 2 ? 4

5、已知集合 A={y|y= A.A ? B

x x

(x≠0)},B={x|-1≤x≤2}则( C.A=B D.A∩B= ?



B.B ? A

6、若 0 ? b ? a ? 1 ,则在 a b , b a , a a , b b 中最大值是( A、 b a B、 a a C、 a b D、 b b



7、下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A.f(x)=


-x

1 x2
x

B.f(x)=x +1 C.f(x)=x

2

3

D.f(x)=2

8、若指数函数 y ? a 在 [?1,1] 上的最大值与最小值的差是 1,则底数 a 等于(



A.

1? 5 2
2

B.

?1 ? 5 2

C.

1? 5 2

D.

5 ?1 2

9、已知 f ( x) ? ax ? ax ? 1 在 R 上恒满足 f ( x) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是( ) A. ? 4 ? a ? 0 B. ? 4 ? a ? 0 C. ? 4 ? a ? 0 D. ? 4 ? a ? 0

10、如果函数 f ( x) ? a x ? b ? 1(a ? 0且a ? 1) 的图象经过第一、二、四象限,不经过第 三
1

象限,那么一定有( A. 0 ? a ? 1且b ? 0

) B. 0 ? a ? 1且0 ? b ? 1 的增函数 C. a ? 1且b ? 0 D. a ? 1且b ? 0 ,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是

11、已知函数 f ( x) 是定义在 ? 0, ??) ( ) (A) (??,

1 3

2 ) 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C) (

1 ,??) 2

(D) [

1 2 , ) 2 3

12 、设函数 =f ( x )在(﹣∞, + ∞)内有定义,对于给定的正数 K , 定义函数 fK ( x ) = 取函数 f(x)=2
﹣|x|

.当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间为

()A. (﹣∞,0) B. (0,+∞) C. (﹣∞,﹣1) D. (1,+∞) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分请把正确答案填在题中横线上,) 13、若集合 M 满 足 M ? ? {1, 2} ,则这样的集合 M 有 14、若幂函数 f ( x) 的图像经过点 ( 2, 个.

2 ) ,则 f (9) ? 2



15、奇函数 f ( x) 在 (??,0) 上递增,若 f (?1) ? 0 则 f ( x) <0 的解集是 16、若存在 x ? ? 2,3? ,使不等式
1 ? ax ? 1 成立,则实数 a 的最小值为 x ? 2x
? 1 3 ? 1 2 2 1 2

. .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
1

(- 2 x 4 y 17、 (10 分) (1)化简:
(2)计算 (

)(3 x

y 3 )(?4 x 4 y 3 )

27 ? ) 8

2 3

?(

2 ? 49 0.5 2 ) ? (0.008) 3 ? ; 9 25
2

18、 (12 分) 已知函数 f (x) =x +ax+b 的图象关于直线 x=1 对称. (1) 求实数 a 的值 (2) 若 f(x)的图象过(2,0)点,求 x∈[0,3]时 f(x)的值域. 19 、 ( 12 分 ) 已 知 集 合 A ? {x | x ? ?1 或 x ? 5} , 集 合 B ? ?x | 2a ? x ? a ? 2? . 若

A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.
20、 (12 分)已知 A、B 两城相距 100km,在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电站给 A、B 两城供电,为保证城市安全.核电站距市距离不得少于 10km.已知供电费用与供电距离的平 方和供电量之积成正比,比例系数 ? ? 0.3 .若 A 城供电量为 20 亿度/月,B 城为 10 亿度/ 月.(1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数,并求定义域; (2)核电站建在距 A 城多远,才 能使供电费用最小. 21、 (12 分)设函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , 且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 。 (1)求证: f (0) ? 1 ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; (2)求证: f ( x) 在 R 上单调递减; 22、 (12) (1)在所给的平面直角坐标系内,画出函数 f ( x) ? x ? 2 x ( x ? R ) 的图象,根据
2

2

图 象 写 出 函 数 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 并 用 定 义 证 明 ;( 2 ) 求 函 数

f ( x) ? x 2 ? 2 x , x ? [a, a ? 1] (其中a为实数) 的最小值。

一、 题号 答案

博爱一中 2015-2016 学年高一上期第一次月考数学 参考答案 选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1 B 2 C 3 C 4 A 5 A 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B 11 D 12 C

二、 填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. 3.14.

1 .15. 3

? ??, ?1? ? ? 0,1? .16.
1 ; 9
3

7 . 2

三、 解答题: (共 70 分) 17.(10 分)【答案】24y; (2)

27 49 ? 7 ? ?3? 3 试题分析: (1)24y;(2)将 写成 ? ? , ? ? ? ,以及 0.008 ? ?0.2 ? ,进行计算 8 9 ?3? ?2?
18.(12 分)【答案】 (1) a ? ?2 ; (2) ? ?1,3? 试题分析: ( 1 )根据二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的对称轴公式 x ? ?

2

b 可得本题中 a 的 2a

值. (2)将点 ? 2, 0 ? 代入 f ? x ? 解析式可得 b 的值.由题意可知函数 f ? x ? 的图像开口向上, 以 x ? 1 为对称轴,所以函数 f ? x ? 在 x ? 1 处取得最小值,在 x ? 3 处取得最大值. 试题解析: (1)二次函数 f ? x ? ? x ? ax ? b 的对称轴为 x ? ?
2

a , 2

??

a ? 1 ,? a ? ?2 (5 分) 2

(2)若 f ? x ? ,过 ? 2, 0 ? 点,? f ? 2 ? ? 0 ,

? 22 ? 2 ? 2 ? b ? 0 0,? b ? 0 ,? f ? x ? ? x 2 ? 2 x .
3

当 x ? 1 时 f ? x ? 最小为 f ?1? ? ?1 ,当 x ? 3 时, f ? x ? 最大为 f ? 3? ? 3 , ∴ f ? x ? 在 ? 0,3? 值域为 ? ?1,3? .考点:二次函数. 19.(12 分)【答案】 a ? 2 或 a ? ?3 由 A ? B ? B 得到 B ? A ,此时需注意 B ? ? 的讨论,当 B ? ? ,可以借助数 轴列出不等 式组解出 a 的取值范围. 试题解析: ∵ A ? B ? B ,∴ B ? A ①若 B ? ? ,则 2a ? a ? 2 ,∴ a ? 2 ②若 B ? ? ,则 ?

?a ? 2 ?a ? 2 或? ,∴ a ? ?3 ?a ? 2 ? ?1 ?2a ? 5

所以 ,综上, a ? 2 或 a ? ?3 . 考点:利用集合关系求参数 20.(12 分)【答案】 (1)函数 y ? 6 x 2 ? 3(100 ? x) 2 ,其定义域为 [10,90] (2) 【解析】 (1)依题意,可得 ?

100 3

? x ? 10 ,解得 10 ? x ? 90 , y ? 6 x 2 ? 3(100 ? x) 2 ?100 ? x ? 10

∴函数 y ? 6 x 2 ? 3(100 ? x) 2 ,其定义域为 [10,90] 。…6 分 (2) y ? 6 x 2 ? 3(100 ? x) 2 ? 9 x 2 ? 600 x ? 30000 ? 9( x ?

100 2 100 时, ) ? 20000 . ∴当 x = 3 3

y 取得最小值,…11 分答:当核电站建在距 A 城
21.(12 分)略

100 米时,才能使供电费用最小. …12 分 3

22.(12 分)【答案】 (1)图象见解析,减 区间为 (??,1] ; (2) f ( x) min

?a 2 ? 1, (a ? 0) ? ? ??1, (0 ? a ? 1) ? 2 ?a ? 2a, (a ? 1)

试题分析: (1)确定二次函数的图象关键因素(开口方向、对称轴、顶点坐标) ,由图象可 直接写出单调区间; ( 2)根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论,得到函数的 最小值. 试题解析: (1)作函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? 1 ( x ? R) 的图象略
2

其单调递减区间是 (??,1] 证明略。

[a, a ? 1] ? (??,1] ,则 f ( x) 在 [a, a ? 1] 上是减函数, (2)①当 a ? 1 ? 1即a ? 0时,
?当x=a+1时,f(x)min ? f (a ? 1) ? a 2 ? 1
同理,② 当0<a ? 1时,f(x)min ? f (1) ? ?1
4

③ 当a>1时,f(x)min ? f (a ) ? a 2 ? 2a

综上述, f ( x) min

?a 2 ? 1, (a ? 0) ? ? ??1, (0 ? a ? 1) ? 2 ?a ? 2a, (a ? 1)

考点:1.二次函数的图象与性质;2.分类讨论的思想 1. 【 答 案 】 B 【 解 析 】 利 用 数 轴 工 具 首 先 求 出 : C U A={x x ? 2} , 再 求

(C U A ) ? B ? {x 0 ? x ? 2},选 B
2. 【答案】C【解析】因为 B ? A , 所以 ?

?a ? 1
2 ?a ? 1

或?

?a 2 ? 1 ,解得 a ? ?1 ,故选择 C. ?a ? 1

3.【答案】C【解析】当 a ? 1, b ? 1,2,4 时, x ? 2,3,5 ;当 a ? 2, b ? 1,2,4 时, x ? 3,4,6 ; 当 a ? 4, b ? 1,2,4 时, x ? 5,6,8 ;综上 B ? {2,3,4,5,6,8} 4.【答案】A【解析】 x ? ? 0,1? 时, y ? x ? x ,所以 y ? x 在 ? 0,1? 上是增函数;

y ? 3 ? x, y ?

1 在 ? 0,1? 上均是减函数; y ? ? x 2 ? 4 是开口向下以 x ? 0 为对称轴的抛 物 x

线,所以 y ? ? x 2 ? 4 在在 ? 0,1? 上是减函数. 所以 A 正确. 考点:函数的单调性. 5. 【答案】A【解析】集合 A={y|y= 故选 A. 6. 【答案】C【解析】结合指数函数 y ? a x 是递减的,? a b ? a a ,结合指数函数 y ? b x 是 递减的,? bb ? b a ,比较 a b , bb 大小得 a b ? bb ,最大值为 a b 考点:利用函数单调性比较大小

x x

(x≠0)}={-1,1},B={x|-1≤x≤2},∴A ? B,

0 ? 递增,所以 B 排除,所以选 7. 【答案】A【解析】因为是偶函数,所以 C , D 排除, ?- ?,
A
考点:函数的基本性质 8. 【答案】D 9. 【答案】C【解析】当 a=0 时,-1<0 恒成立,当 a≠0 时,由题意知二次函数必须开口 向下,且判别式小于 0, ? ? a ? 4a ? 0 ? ? 4 ? a ? 0 ,选 C.
2

考点:恒成立与二次函数的图像性质.

5

10. 【答案】B【解析】由指数函数的图像分析可知, 0 ? a ? 1 时 f ? x ? ? a 图像过第一,
x

二象限,且过定点 ? 0,1? ,当其图像向下平移小于 1 个单位时图像经过第一、二、四象限, 不经过第三象限.

f ? x ? ? a x ? b ? 1 ? a x ? ?1 ? b ? 所以 0 ? 1 ? b ? 1 ? 0 ? b ? 1 .综上可知 B 正确.
考点:1 指数函数图像;2 图像平移.

?2 x ? 1 ? 0 1 2 ? 11. 【答案】 D 【解析】 根据已知的定义域和单调性, 得到不等式: 所以: ? x ? 1, ? 2 3 2x ? 1 ? ? 3 ?
考点:1.函数的单调性;2.抽象函数解不等式. 12. 【答案】C【解析】由 f(x)≤ 得: 解得:x≤﹣1 或 x≥1. ,即 ,

∴函数 fK(x)=

由此可见,函数 fK(x)在(﹣∞,﹣1)单调递增, 故选 C. 13. 【答案】 3 【解析】集合 M 满足 M ? ? {1, 2} ,则 M ? ? 或 {1} 或 {2} ,所以这样的集 合 M 有 3 个. 14. 【答案】 【解析】 设 f ? x? ? x , 代入点 (2,
n

1 3

1 ? 1 1 2 ) 得 n ? ? ? f ? x ? ? x 2 ? f ?9? ? 2 3 2

考点:幂函数运算 15. 【答案】 ? ??, ?1? ? ? 0,1? 【解析】? f ? x ? 为奇函数其图像关于原点对称,又 f ( x) 在

(??,0) 上单调递增,且 f (?1) ? 0 ,

? f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,且 f ?1? ? ? f ? ?1? ? 0 .
由数形结合分析可知 f ? x ? ? 0 ,可得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 . 即 f ? x ? ? 0 的解集为 ? ??, ?1? ? ? 0,1? . 考点:1 函数的奇偶性;2 函数的单调性. 16. 【答案】

7 1 1 【解析】因为 x ? ? 2,3? ,所以不等式可化为 a ? 2 x ? ,设 y ? 2 x ? , 2 x x
6

因为 y ? 2 x 和 y ? ? 数,则其值域为 ? ,

1 1 在区间 ?2,3? 上为增函数,所以函数 y ? 2 x ? 在区间 ?2,3? 上为增函 x x

7 7 ? 7 23 ? ,由题意得 a ? ,所以实数 a 的最小值为 . ? 2 2 ?2 3 ?

考点:1.存在性问题解不等式;

7


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