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湖南省怀化市2014届高三3月第一次模拟考试数学(理科)试题


注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。 2.考生作答时,选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。考生在答题卡上按答题 卡中注意事项的要求答题。 3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。 4.本试题卷共 4 页,如有缺页,考生须声明,否则后果自负。

湖南省怀化市 2014 届高三 3 月第一次模拟

考试数学(理科)试题
试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分. 时量:120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题
合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上. 1. 复数 z ?

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符

2?i ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

2. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,将支出分 区间 [20, 30) 、 [30, 40) 、 [40, 50) 、 [50, 60) 进行统计, 现抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分布直方图如图所 示,其中支出在 [50, 60) 元的同学有 24 人,则 n 的值为 A.80 C.72 B.800 D.720

3. 在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 若

c cos B ? b cos C ? 2a cos A ,则角 A 为 ? ? A. B. 12 6

C.

? 4

D.

? 3

?x ? y ? 1 ? 0 ? 4. 若变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 2x-y 的最大值是 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
A. ?3 B. ?2 C. 1 D. 2 5. 函数 f ? x ? ? ln x 的图像与函数 g ? x ? ? x ? 1 的图像的交点个数为 A.3 B.2 C .1 D.0

6. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A(2,0) ,将向量 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转

??? ?

? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? OB ,若向量 a 满足 a ? OA ? OB ? 1 ,则 a 的最大值是
A. 2 3 ? 1 B. 2 3+1 C. 3 D. 6+ 2+1

? 后得向量 3

7.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图 都是腰长为 4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,
·1 ·

则此几何体的体积 V 为

32 3 16 C. 3
A.

B.

40 3

正视图

D. 40

8. 在等腰 Rt ?ABC 中, AB=AC ? 4 ,点 P 是边 AB 上异 于 A, B 的一点,光线从点 P 出发,经 BC , CA 反射后又回 到原来的点 P . 若 AP ? A.

4 ,则 ?PQR 的周长等于 3
4 5 3
C.

8 5 3

B.

8 3 3

D.

4 3 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 把答案填在答题卡上的相应 横线上. (一)选作题(请考生在 9、10、11 三题中任选 2 题作答,如果全做,则按前 2 题记分) 9. 以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 的极坐标方程为 ? cos ,它与抛物线 ? ?? 2

? x ? 8t 2 ? y ? 8t

( t 为参数)相交于两点 A 和 B ,则

AB =

.

10. 如图,⊙ o 的直径 AB ? 6 , P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙ o 的 切线 PC ,连接 AC ,若 ?CPA ? 30 ,则点 O 到 AC 的距离等于
?

. .

11. 已知函数 f ( x) ?

x ? 1 ? x ? 2 ? a 的定义域为 R,则 a 的取值范围是

(二)必作题(12~16 题) 12. 若二项式 ( x ?
T 1 6 ) 的展开式的常数项为 T, 则 ? 2 xdx ? 0 2x

.

13.右边程序运行的结果是 14.设 F1 , F2 是双曲线 C :

.

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的两个焦点, 16 b 2
.

P 是双曲线 C 上一点,若 ?F1 PF2 ? 90? 且 ?PF1 F2 的
面积为 9,则 C 的离心率为

15.设 S n 为数列 ? an 的前 n 项和,数列 ? an 满足 a1=1,a2=1,
n n 且? ?3 ? (?1) ? ? an ? 2 ? 2an ? 2 ? ?( ?1) ? 1? ? (n=1,2,3,…). 则 S100 ? ___________.

?

?

·2 ·

16. 将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A、B、C,其中

A ? {a1 , a2 ,..., an } , B ? {b1 , b2 ,..., bn } , C ? {c1 , c2 ,..., cn } ,若 A、B、C 中的元素满足条件: c1 ? c2 ? ... ? cn , ak ? bk ? ck , k = 1,2,…, n ,则称 M 为“完并集合”.
(1)若 M ? {2, x,3,5,6,7} 为“完并集合”,则 x 的一个可能值为 .(写出一个即可) . (2)对于“完并集合” M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} ,则集合 C 的个数是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos x,sin x) ,向量 b ? (cos x, ? sin x) , f ( x) ? a ? b (Ⅰ)求函数 g ( x) ? f ( x) ? sin 2 x 的最小正周期和对称轴方程; (Ⅱ)若 x 是第一象限角且 3 f ( x) ? ?2 f '( x) ,求 tan( x ?

?

?

? ?

?
4

) 的值.

18. (本小题满分 12 分) 为喜迎马年新春佳节,怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动,当日在该店消费满 500 元的 顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的 4 个小球,分别标有字“马”“上”“有”“钱”.顾客从中任 意取出 1 个球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规 定若取出“钱”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖; 不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球,为二等奖;取到的 4 个球中有标有“马”“上”“有”三个字 的球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 已知三棱锥 P ? ABC , ?PAC ? ?ABC ? 90 , PA ? AC ? 2BC ,
0

平面PAC ? 平面ABC , D、E 分别是 PB、PC 的中点.
(Ⅰ)求证: BC ? 平面PAB ; (Ⅱ) 求二面角 P ? ED ? A 的余弦值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 g ( x) ? (2 ? b) ln x , h( x) ? ln x ? bx (b ? R) ,令 f ( x) ? g ( x) ? h '( x)
2

.

(Ⅰ) 当 b ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 当 ?3 ? b ? ?2 时,若存在 ?1 , ?2 ? [1,3] , 使得 f (?1 ) ? f (?2 ) ? (m ? ln 3)b ? 2ln 3 成
·3 ·

立,求 m 的取值范围.

21. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 已知 F1 (?c, 0)、F2 (c, 0) 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,点 M 在椭圆 E 上. a b ? (Ⅰ)若 ?F1MF2 的最大值是 ,求椭圆 E 的离心率; 2 (Ⅱ)设直线 x ? my ? c 与椭圆 E 交于 P 、 Q 两点,过 P 、 Q 两点分别作椭圆 E 的切线 l1 , l 2 ,且 l1 与 l 2 交于点 R , 试问:当 m 变化时,点 R 是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,
并证明你的结论;若不是,说明理由.

22. (本小题满分 13 分)

??? ? B ? (b1 , b2 ,?, bn ) ? Tn ,定义; AB ? (b1 ? a1 , b2 ? a2 ,?, bn ? an ) ,

已知集合 Tn ? { X | X ? ( x1 , x2 ,?, xn ), xi ? N , i ? 1, 2,?, n} (n ? 2) .对于 A ? (a1 , a2 , ?, an ) ,
*

? (a1 , a2 ,?, an ) ? (? a1 , ? a2 ,?, ? an ) (? ? R) ; A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ? ? | ai ? bi | .
i ?1

n

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (1, 2,1, 2, a5 ) , B ? (2, 4, 2,1,3) .若 d ( A, B) ? 7 ,求 a5 ; (Ⅱ)证明:若 A, B, C ? Tn ,且 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ,则 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) ; (Ⅲ)记 I ? (1,1,?,1) ? Tn .若 A , B ? Tn ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,求 d ( A, B) 的最大值. 2014 年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷

??? ?

??? ?

高三数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题( 5 ? 8 ? 40 )
/ /

题号 答案

1 D

2 A

3 D

4 C

5 C

6 B

7 B

8 A

8 题提示:以 AB、AC 所在直线分别为 x、y 轴建立坐标系, 则点 P ?

?4 ? ? 8? ?4 ? , 0 ? 关于直线 BC 的对称点为 P ' ? 4, ? ,点 P ? , 0 ? 关于直线 AC 的对称点为 ?3 ? ? 3? ?3 ?

4 8 8 5 ? 4 ? P '' ? ? , 0 ? ,则 ?PQR 的周长等于 P ' P '' ? (4 ? ) 2 ? ( ? 0) 2 ? 3 3 3 ? 3 ?
二、填空题( 5 ? 6 ? 30 )
/ /

选做:9.8;

10. 3 ;
2

11. (??, ?1] ;

·4 ·

必做:12. 25 ;
4

13.21;

14.

5 ; 4

15. 2502 ? 2?49 ;

16. (1)9,13 中任一个, (2)3. 16 题提示: (2) 解:因为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? 12 ? 78 而 c1 ? c2 ? ... ? cn , ak ? bk ? ck , k = 1,2,…, n ,

所以 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? 39 ,且 c4 ? 12 , c1 的最小值为 6 所以 C ? {6,10,11,12} 或 C ? {8,9,10,12} 或 C ? {7,9,11,12}
三解答题: 17 解:(Ⅰ)∵ g ( x) ? cos x ? sin x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ?
2 2

∴最小正周期 T ?

2? k? ? ? ? ; 对称轴方程为 x ? ? (k ? Z ) ????6 分 2 2 8

2 sin(2 x ? ) ?4 分 4

?

(Ⅱ)由 3 f ( x) ? ?2 f '( x) ,得 3cos 2 x ? 4sin 2 x ????????8 分 又 x 是第一象限角

1 ???????10 分 3 1 ? 1? tan x ? tan ? 3 ? 2 ???????12 分 4 ? ∴ tan( x ? ) ? ? 1 4 1 ? tan x tan 1? 4 3
∴ cos x ? 3sin x ,故 tan x ? 18 解: (Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A,B,C. 则 P( A) ?

1 1 1 1 1 (列式正确,计算错误,扣 1 分)???2 分 ? ? ? ? 4 4 4 4 256
3

p( B) ? A

4

3 4

?1

?

5 (列式正确,计算错误,扣 1 分)???4 分 256

三等奖的情况有:“马,马,上,有”;“ 马,上,上,有”;“ 马,上,有,有”三种情况.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 2 2 2 ??6 分 P(C ) ? ( ? ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 )? 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 64
(Ⅱ)设摸球的次数为 ? ,则 ?的可能取值为 1、2、3、4.

1 P(? ? 1) ? , 4

3 1 3 P(? ? 2) ? ? ? , 4 4 16

3 3 1 9 , P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 4 64
27 ??????10 分 64

P(? ? 4) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?
故取球次数 ? 的分布列为

·5 ·

?
P

1

2

3

4

1 4

3 16

9 64

27 64

1 3 9 27 175 ????12 分 E? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 4 16 64 64 64
19 证明: (Ⅰ)?面 PAC ? 面 ABC ,且面 PAC ? 面 ABC ? AC , ?PAC ? 90
?

? PA ? 面ABC , 而 CB ? 面ABC ,故 CB ? PA .
又 ?ABC ? 90 ? CB ? AB ,
?

由此得 BC ? 面PAB ?????6 分

(Ⅱ) 因 D、E 分别是 PB、PC 的中点, ? DE / / BC 又 BC ? 平面PAB ,? DE ? 平面PAB

??PDA是二面角A ? ED ? P的平面角 ???9 分
令 PA ? AC ? 2BC =2a ,则 AB ?

3a, PB ? 7a, PD ? AD ?

7a 2

PD 2 ? AD 2 ? PA2 1 ?? 在 ?PDA 中, cos ?ADP ? 2 PD ? AD 7
所以二面角 P-ED-A 的余弦值 ? 20 解:(Ⅰ)依题意, h '( x) ?

1 ???12 分 7

1 ? 2bx ?????1 分 x 1 所以 f ( x) ? g ( x) ? h '( x) = (2 ? b) ln x ? ? 2bx ,定义域为 (0, ??) ???2 分 x 1 b(2 x ? 1)( x ? ) 2?b 1 2bx 2 ? (2 ? b) x ? 1 b ( x ? 0) ??4 分 又 f '( x) ? ? 2 ? 2b ? ? 2 2 x x x x 1 1 1 1 当 ?2 ? b ? 0 时, ? ? ,令 f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? ? ; b 2 2 b 1 1 令 f '( x) ? 0 ,得 ? x ? ? ; 2 b
当 b ? ?2 时, f '( x) ? ?

(2 x ? 1) 2 ?0; x2

·6 ·

当 b ? ?2 时, ?

1 1 1 1 ? ,令 f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? ? 或 x ? ; b 2 b 2 1 1 令 f '( x) ? 0 ,得 ? ? x ? ; b 2
1 2 1 b

综上所述: 当 ?2 ? b ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 (0, ) , (? , ??)

1 1 f ( x) 的单调递增区间为 ( , ? ) 2 b
当 b ? ?2 时, f ( x) 的单调递减区间为 (0, ??) 当 b ? ?2 时, f ( x) 的单调递减区间为 (0, ? ) , ( , ??)

1 1 b 2 1 1 f ( x) 的单调递增区间为 (? , ) ???8 分 b 2

(Ⅱ) 由(1)可知,当 ?3 ? b ? ?2 时, f ( x) 在区间 [1,3] 单调递减 所以 f ( x)max ? f (1) ? 2b ? 1; f ( x) min ? f (3) ? (2 ? b) ln 3 ? 所以 f (?1 ) ? f (?2 ) max ? f (1) ? f (3) ?

1 ? 6b . 3
??10 分

2 ? 4b ? (b ? 2) ln 3 . 3

因为存在 ?1 , ?2 ? [1,3] , 使得 f (?1 ) ? f (?2 ) ? (m ? ln 3)b ? 2ln 3 成立, 所以 (m ? ln 3)b ? 2ln 3 ? 整理得 mb ?

2 ? 4b ? (b ? 2) ln 3 3

2 ? 4b . 3

2 1 2 2 ? 4 ,又因为 ?3 ? b ? ?2 ,得 ? ? ?? , 3b 3 3b 9 13 2 38 38 所以 ? ? ? 4 ? ? , 所以 m ? ? ???????13 分 3 3b 9 9
又 b ? 0 ,所以 m ? 21 解:(Ⅰ)? MF1 ? MF2 ? 2a,? MF1 ? MF2 ? (

MF1 ? MF2 2 ) ? a2 2

? cos ?F1MF2 ?

MF12 ? MF2 2 ? 4c 2 2MF1 ? MF2
???3 分

?

4b 2 ? 2 MF1 ? MF2 2b 2 ? 2 ?1 2 MF1 ? MF2 a

·7 ·

因为 ?F1MF2 的最大值是

2b 2 ? ,所以 2 ? 1 ? 0 a 2

???4 分

因此椭圆 E 的离心率 e ?

c b2 2 ? 1? 2 ? a a 2

???5 分

a2 (Ⅱ)当 m 变化时,点 R 恒在一条定直线 x ? 上 c
证明:先证明:椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0)上一点M ( x0 , y0 )的切线方程是 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b
方 法 一 : 当 x0 y0 ? 0时, 设 切线方程为:y-y0 =k(x-x0 ) 与 椭 圆 E 方 程 联 立 得 :

(b2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 k ( y0 ? kx0 ) x ? a 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? a 2b 2 ? 0
由 ? ? 0及

x0 2 y0 2 ay bx ? 2 ? 1得:( 0 k ? 0 )2 ? 0 2 a b b a

b 2 x0 xx y y 所以 k ? ? 2 ,因此切线方程是 02 ? 02 ? 1 ???9 分 a y0 a b
方法二:不妨设 点M ( x0 , y0 ) 在第一象限,则由 y ? b 1 ?

x2 a2



y'? a
2

?bx x2 1? 2 a

,所以 k ? y '

x ? x0

b 2 x0 ?? 2 a y0

因此切线方程是

x0 x y0 y ? 2 ? 1 ???9 分 a2 b

设 P( x1 , y1 )、Q( x2 , y2 ), 则 l1的方程是

x1 x y1 y ? ?1 a 2 b2
a 2 ( y2 ? y1 ) x1 y2 ? x2 y1

l2的方程是

x2 x y2 y ? 2 ?1 a2 b

联立方程,解得 x ?

又 x1 ? my1 ? c, x2 ? my2 ? c ,
·8 ·

所以 x1 y2 ? x2 y1 ? (my1 ? c) y2 ? (my2 ? c) y1 ? c( y2 ? y1 )

a 2 ( y2 ? y1 ) a 2 a2 ? 因此 xR ? ,当 m 变化时,点 R 恒在一条定直线 x ? 上。?13 分 x1 y2 ? x2 y1 c c

22 解: (Ⅰ)当 n=5 时,由 d ( A, B) ?

?| a ? b | ? 7
i ?1 i i

5

得 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? a5 ? 3 ? 7, 即 a5 ? 3 ? 2

,或a5 =5 由 a5 ? N *, 得a5 =1

???3 分

(Ⅱ)证明:设 A ? (a1 , a2 , ?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ),C ? (c1 , c2 ,?, cn ) 因为 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC 所以 ?? ? 0 ,使得 (b1 ? a1 , b2 ? a2 ,?, bn ? an ) ? ? (c1 ? b1 , c2 ? b2 ,?, cn ? bn ), 即 ?? ? 0 ,使得 (bi ? ai ) ? ? (ci ? bi ), 其中i ? 1, 2,3,..., n.

??? ?

??? ?

( )同为非负数或同为负数. ???. 所以 bi ? ai与ci ? b i i ? 1, 2,3,..., n
所以 d ( A, B) ? d ( B, C ) ?
n

5分

? | a ? b | ?? | b ? c |
i ?1 i i i ?1 i i n i ?1

n

n

? ? (| bi ? ai | ? | ci ? bi |) ? ? | ci ? ai | ? d ( A, C ) ?????7 分
i ?1

(Ⅲ)解法一:因为 d ( A, B) ?

?| a ? b |
i ?1 i i

n

设 ai ? bi (i ? 1, 2,..., n) 中有 m( m ? n )项为非负数,n-m 项为负数, 不妨设 i=1,2,?,m 时 ai ? bi ? 0 ,i=m+1,m+2,?,n 时 ai ? bi ? 0 所以 d ( A, B) ?
m

?| a ? b |
i ?1 i i

n

=(

? ai ? ? bi )+ ( ? bi ?
i ?1 i ?1
i ? m ?1 n

m

n

i ? m ?1

? a)
i n n

n

因为 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p 所以

? (a ? 1) ? ? (b ? 1) ? p, 化简得? a ? ? b ? p+n
i ?1 i i ?1 i i ?1 i i ?1 i

n

所以 d ( A, B) ?
m n

? | ai ? bi | =2( ? ai ? ? bi )
i ?1

n

m

m

i ?1

i ?1

因为

? ai ? ? ai ?
i ?1 i ?1

i ? m ?1

?a

n

i

? p ? n ? ( n ? m) ? 1 ? p ? m
·9 ·



? b ? m ?1 ? m
i ?1 i

m

所以 d ( A, B) ?

? | ai ? bi | =2 (? bi ? ? ai ) ? 2[( p ? m) ? m] ? 2 p
i ?1 i ?1 i ?1

n

m

m

即 d ( A, B) ? 2 p ?????????12 分 对于 A ? (1,1,?,1, p ? 1) , B ? ( p ? 1,1,1,?,1) ,有 A , B ? Tn , 且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p , d ( A, B) ? 2 p . 综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p ?????????13 分 解法二:因为 x, y ? R ,有 | x ? y | ? | x | ? | y | 成立. 所以 d ( A, B) ?
n

?| ai ? bi | = ? | (ai ? 1) ? (bi ? 1) |
i ?1 i ?1

n

n

? ? (| ai ? 1 ? bi ? 1|) ? 2 p ????12 分
i ?1

对于 A ? (1,1,?,1, p ? 1) , B ? ( p ? 1,1,1,?,1) ,有 A , B ? Tn , 且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p , d ( A, B) ? 2 p . 综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p ???????13 分

·10·


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