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椭圆的焦点弦长公式推导


椭圆的焦点弦长公式推导
x2 y2 例:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,直线 l: y ? kx ? b 交椭圆于 A、B 两点,求 AB 长度。 a b
解:椭圆方程

x2 y2 ? 2 ? 1 可化为 b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2 ? 0 ……① , 2 a b
2

将直线 l: y ? kx ? t 带入① 得: b2 x 2 ? a 2 ?kx ? t ? ? a 2b2 ? 0 ,整理得,

?a k
2

2

? b2 x 2 ? 2a 2ktx ? a 2t 2 ? a 2b2 ? 0 ,
a 2t 2 ? a 2b 2 x1 x2 ? 2 2 , a k ? b2

?

2a 2 kt , ∴ x1 ? x2 ? ? 2 2 a k ? b2
2 2

∴ ?x1 ? x2 ? ? ?x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ∴ x1 ? x2 ? ∴ AB ?

?a k
2

4a 4 k 2 t 2
2

?b

2 2

?

a 2 t 2 ? a 2 b 2 4a 2 b 2 a 2 k 2 ? b 2 ? t 2 ? 4? 2 2 ? 2 a k ? b2 a 2k 2 ? b2

?

?

?

?

2ab a k 2 ? b2
2

a 2k 2 ? b2 ? t 2 2ab a k 2 ? b2
2

k 2 ? 1 x1 ? x2 ?

k 2 ? 1 a 2k 2 ? b2 ? t 2

若直线 AB 经过左焦点 F1 (- c,0) ,则 t ? kc ,带入上式可得到,

x1 ? x2 ?

2ab2 k 2 ?1 , 2 2 2 a k ?b

AB ?

2ab 2ab2 k 2 ? 1 a 2k 2 ? b2 ? t 2 ? 2 2 k 2 ? 1 ……焦点弦长公式① a 2k 2 ? b2 a k ? b2

?

?

若直线 l 的倾斜角为 ? ,即 k ? tan ? ,则有:

2ab2 2ab2 2ab2 2 2 AB ? 2 2 k ?1 ? 2 tan ? ? 1 ? 2 2 ……焦点弦长公式② a k ? b2 a tan2 ? ? b 2 a ? c cos2 ?

?

?

?

?



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