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山东省滕州市第一中学2016届高三数学12月阶段检测试题 文


2015-2016 学年度高三一轮复习 12 月份阶段检测 数学试卷(文)
2015.12 一.选择题:(每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知集合 A ? ? x | A. (0,1] 2. 设 f ( x) ? ? A.-1

? ?

x?2 1 ? ? ? ? 0? , B ? ? y | y ? 5 ? 4t ? ,

t ? 0 ? ,则 B I CR A ? ( ) x t ? ? ?
B. [1, 2) C. [0,1] D. [1, 2]

?1 ? x , x ? 0 ?
x ? ?2 ,

x?0
B.

,则 f ( f (-2))=( )

1 1 3 C. D. 4 2 2 3. 在 ?ABC中,已知 A ? 30? , C ? 45 ? , a ? 2 ,则 ?ABC的面积等于(
A.



2

B.

3 ?1

C. 2

2

D.

1 ( 3 ? 1) 2

4. “ m ? ?3 ”是“直线 l1 : mx ? (1 ? m) y ? 3 ? 0 与直线 l2 : (m ? 1) x ? (2m ? 3) y ? 2 ? 0 相 互垂直”的( ) A.充分必要条件 C.必要不充分条件 5. 函数 f ? x ? ? B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

1 ? ln x 的图象大致为( ) x

6.设首项为 1 ,公比为 A. S n ? 2an ? 1 D. S n ? 3 ? 2an

3 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则( 2
B. S n ? 3an ? 2 C.



S n ? 4 ? 3an

7. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几何 体的三视图,则此几何体的体积为( ) A.6 B.9 C.12 D.18
1

8. 已知函数 f ( x ) ? 3sin( ?x ? 则 f ( x) 的图象( )

? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? , 3

? ? 对称 B.关于点 ( , 0) 对称 4 4 ? ? C.关于直线 x ? 对称 D.关于点 ( , 0) 对称 12 12 2 2 x y 9. 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左焦点 F 的弦 AB ? x 轴, E 为双曲线的右顶点, 若 ?ABE a b
A.关于直线 x ? 为直角三角形,则双曲线的离心率为( A.2 B. 2 ) C.3 D. 3 )

10. f ( x ) 是定义域 R 上的减函数,且 f ( x) ? 0 ,则 g ( x) ? x 2 f ( x) 的单调情况一定是( A. 在 (??, 0) 上递增 B. 在 (??, 0) 上递减 C. 在R上递增 D. 在上R递减

二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.过点 M (1,3) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1的两条切线,切点为 A,B,则 MA? MB ?

???? ????

.

12 .正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线 y 2 ? x 上,则它的边长为

.

? x ? 2 ? 0, ? 13.已知点 P( x, y) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动, 则 z ? x ? y 的取值范围 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
是 . 时, 14.设 a ? b ? 4, a ? 0, b ? 0, 则 a ?

1 a ? 取得最大值. a b

15. 给出定义:若函数 f ( x ) 在 D 上可导,即 f ?( x ) 存在,且导函数 f ?( x ) 在 D 上也可导,则称

f ( x) 在 D 上存在二阶导函数,记 f ??( x) ? ( f ?( x))? ,若 f ??( x) ?0 在 D 上恒成立,则称 f ( x) 在

? ?? D 上为凸函数。以下四个函数在 ? 0, ? 上是凸函数的是 ? 2?
?x ① f ( x) ? sin x ? cos x ② f ( x) ? ? xe

.

③ f ( x) ? ln x ? 2 x

④ f ( x) ? ? x ? 2 x ?1
3

三.解答题(共 6 小题 ,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 给定两个命题:

p :关于 x 的不等式 ax 2 ? x ? 1 ? 0 的解集为 ? ;

q :函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? x ? 1 在区间 [1, ??) 上为减函数.
如果 p, q 至少一个为真,求实数 a 的取值范围.
2

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 . 2

(1)求函数 f ? x ? 在 x ? ?

?? ? ? 上的最值; , ?4 2? ?

(2)在 ?ABC 中, c ? 7, f (C) ? 1 ,若向量 m ? (1,sin A), n ? (3,sin B) 共线,求 a,b 的值

??

?

18. (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an . ( I ) 证明数列 ?an?1 ? an ?是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 设 bn ? log 2 (an ? 1) , ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证

1 1 1 1 ? ? ??? ?2 S1 S 2 S 3 Sn .

19. (本小题满分 12 分)

如图,四棱锥 P -ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 是 正三角形,且侧面 PAD⊥底面 ABCD,E 为侧棱 PD 的中点. (1)求证:PB//平面 EAC; (2)求证:AE⊥平面 PCD;

3

20.(本小题满分 13 分)

x2 y2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(2,0) ,离心率为 .过点 G (1,0) 的直线 l a b 2
与椭圆 C 相交于不同的两点 M , N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)当 ?AMN 的面积为

4 2 时,求直线 l 的方程. 5

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) ,a ? R . x ?1

(1) 若 x ? 2 是函数 f ( x ) 的极值点,求曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的 切线方程; (2) 若函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围; (3 ) 设 m, n 为正实数,且 m ? n ,求证:

m?n m?n ? . ln m ? ln n 2

4

2015-2016 学年度高三一轮复习 12 月份阶段检测 数学试卷(文)参考答案 2015.12 一、选择题:(每小题 5 分,共 50 分) 1-5 CCBBB 6-10 BBCAB 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.

36 5

12. 2 3

13. [-1,2]

14. -4

15. ① ③ ④

三.解答题(共 6 小题 ,共 75 分) 16 解: P 为真,即 ?x ? R, ax ? x ? 1 ? 0 恒成立,
2

?a ? 0 1 a ? 0 时,不成立; a ? 0 时,需满足 ? ,? a ? ????4 分 4 ?? ? 1 ? 4a ? 0
q 为真时, f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 对于任意的 x ? 1 恒成立,

2x ?1 2 1 ? ? 2 对于任意的 x ? 1 恒成立, x2 x x 1 2 令 t ? (0 ? t ? 1) ,则 3a ? 2t ? t 对于任意的 0 ? t ? 1 恒成立, x 3a ?
令 g (t ) ? 2t ? t ,则 g (t ) 在 (0,1) 上为减函数, g (t ) ? g (0) ? 0
2

所以 3a ? 0 ,即 a ? 0 ??????????????????????8 分

p, q 至少一个为真,则 a 的取值范围为 a ? 0 ,或 a ?
17. 解 (1) f ( x) ? sin(2 x ?

1 ?????? ?12 分 4

?

? ? ? 5? ? ?? ? ? ) 因为 x ? ? , ? ,所以 2 x ? ? ? , ? 6 6 ?3 6 ? ?4 2?

所以 sin ? 2 x ?

? ?

? ? ?1 ?

?1 ? ?? ? ,1? , 所以 f ? x ?? ? ,1? ,??????????4 分 6 ? ?2 ? ?2 ?
1 ?? ? ? , ? 上的最大值为1 ,最小值为 .???????6 分 2 ?4 2?

即函数 f ? x ? 在 x ? ? (2)

C?

?
3

, a ? 1, b ? 3. ????????????????????????????????

???12 分 18 解.⑴

an? 2 ? an?1 3an?1 ? 2an ? an?1 ? ?2 an ?1 ? an an ?1 ? an
n

∴ ?an?1 ? an ?为等比数列,公比为 2,首项为 a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ,∴ an?1 ? an ? 2

5

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
? 2n?1 ? 2n?2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2n ? 1
⑵ bn ? log2 (an ? 1) ? n , S n ? ??????????????6 分

n(n ? 1) 1 2 1 1 , ? ? 2( ? ), 2 S n n(n ? 1) n n ?1

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] S1 S 2 S 3 Sn 2 2 3 n n ?1
1 ) <2. n ?1
??????????????12 分

=2 (1 ?

19、解: (1)连结 BD 交 AC 于 O,连结 EO, 因为 O、E 分别为 BD、PD 的中点, 所以 EO//PB ???????????2 分

E 0 ? 平面EAC , PB ? 平面EAC ,所以 PB//平面 EAC.?????????6 分
(2)法一:

矩形ABCD ? CD ? AD ? ? ? CD ? 面PAD ? 面PAD ? 面ABCD=AD ? ? ? CD ? AE ?????8 分 AE ? 面 PAD ? 面ABCD ? 面PAD ? ? 正三角形 PAD 中,E 为 PD 的中点,所以, AE ? PD ,???????10 分 又 PD ? CD ? D ,所以,AE⊥平面 PCD. ????????????12 分
法二:

矩形ABCD ? CD ? AD ? ? ? CD ? 面PAD ? 面PAD ? 面ABCD=AD ? ? ? 面PDC ? 面PAD ??8 分 CD ? 面PDC ? ? 面ABCD ? 面PAD ? 正三角形 PAD 中,E 为 PD 的中点,所以, AE ? PD ,???????10 分
又 面PDC ? 面PAD ? PD ,所以,AE⊥平面 PCD.?????????12 分

20、解: (1) Q a ? 2,

c 2 ? ,? c ? 2 ???????????????2 分 a 2
???????????????????4 分

? b2 ? a 2 ? c 2 ? 2
所以所 求的椭圆方程是

x2 y 2 ? ? 1 ??????????????? 5 分 4 2

(2)当直线 l 斜率不存在时, l 的方程为 x ? 1 ,此时 MN ?

6, S?MNA ?

6 ,不合题意, 2

故 l 斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,代入 C 的方程得:

(2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 ???????????????6 分
6

Q ? ? 16k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(2k 2 ? 4) ? 8(3k 2 ? 2) ? 0
所以可设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 4 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

??????????????? 8 分

Q y1 ? k ( x1 ?1), y2 ? k ( x2 ?1),? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ????????9 分
? MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

16k 4 8(k 2 ? 2) 2 ? (1 ? k )[ 2 ? ]? 2 2(k 2 ? 1)(3k 2 ? 2) 2 2 (2k ? 1) 2k ? 1 2k ? 1
2

点 A 到直线 l 的距离为 d ?

k k 2 ?1

????????????????10 分

所以 S ?MNA ?

k 2(k 2 ? 1)(3k 2 ? 2) 1 4 2 MN d ? ? ? ,化简得 2 2 2k ? 1 5 k 2 ?1

11k 4 ?14k 2 ?16 ? 0,(k 2 ? 2)(11k 2 ? 8) ? 0 ???????????12 分

?k 2 ? 2,?k ? ? 2
所以所求的直线 l 的方程为 y ? ? 2( x ?1) ??????????????13 分 或解 Q S ?MNA ?

1 1 1 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? k 2 2 2

( x1 ? x2 ) 2 (下同)

21.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ( x ? 1)2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? ? ? . x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2 x( x ? 1)2

' 由题意知 f (2) ? 0 ,代入得 a ?

9 ,经检验,符合题意. 4

????????2 分

从而切线斜率 (Ⅱ) f ?( x) ?

1 k ? f ' (1) ? ? ,切点为 ?1,0 ? , 切线方程为 x ? 8 y ? 1 ? 0 ??4 分 8

x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 . 因为 f ( x)在(0, ??) 上为单调增 函数, x( x ? 1)2

所以 f ?( x) ? 0在(0, ??) 上恒 成立. ????????????????????6 分

7

所以2a ? 2 ? 2.所以a ? 2. 所以 a 的取值范围是 (??, 2].

??????????9 分

m m ?1 ?1 m?n m?n ? ? n (Ⅲ)要证 ,只需证 n , m ln m ? ln n 2 2 ln n

m m 2( ? 1) ? 1) m m n ? 0. ? n . 只需证 ln ? 即证 ln m m n n ?1 ?1 n n
2(
设h( x) ? ln x ?

??????????10 分

2( x ? 1) m . 由(Ⅱ)知 h( x)在(1, ??) 上是单调增函数,又 ? 1 , x ?1 n
m

2( ? 1) m?n m?n m m n ? ? 0 成立,所以 所以 h( ) ? h(1) ? 0 ,即 ln ? ?14 分 m ln m ? ln n 2 n n ?1 n

8


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