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2015高考数学二轮复习 专题辅导与训练 6.2 圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与曲线中的证明教学课件


第二讲 圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与

曲线中的证明

【主干知识】
1.必记公式 (1)三个定义式: ①椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); ②双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); ③抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M.

r /> (2)直线与圆锥曲线相交时的弦长: 设而不求,根据根与系数的关系,进行整体代入.即当直线与圆

1 ? k x1 ? x 2 锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=_______________
2

=

1 2 |y1-y2| _______. 1? ( ) k

(3)抛物线的过焦点的弦长: 抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则

x 1x 2=

,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.同样可得抛物线y2=

2 2 -2px,x p 2=2py,x =-2py类似的性质.

4

2.重要性质 (1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系:

c e? a2=b2+c2 离心率为______. ①在椭圆中:________; a c e? ②在双曲线中:________; c2=b2+a2 离心率为_______. a

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标:
2 2

b y?? x x y ? ①双曲线 2 焦点 a 2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为________; a b
(c,0) 坐标F1_______,F (-c,0) 2 ______.
2 2

a y ? ? x y x b 焦点 ②双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为________, a b
(0,-c) 2 ______. (0,c) 坐标F1 _______,F

(3)抛物线的焦点坐标与准线方程: ①抛物线y2=±2px(p>0)的焦点坐标为_______,准线方程为

p x ? ________. 2

p ( ? ,0) 2

p (0, ? ) 2 ②抛物线x =±2py(p>0)的焦点坐标为_______, 2 准线方程为 p y? ________. 2

3.易错提醒 (1)忽视定位条件:在圆锥曲线问题的研究中,应先定位,后定形, 缺少了定位往往会做无用功.定位条件是:焦点或准线,定形条

件是:a,b,p.
(2)搞清双曲线渐近线的斜率:在求双曲线的渐近线方程时,一

b a 定要注意双曲线渐近线的斜率是± 还是± . a b
(3)忽略一元二次方程的判别式致误:对于以直线与圆锥曲线相 交为前提的问题,应用直线与曲线的方程求参数值或探究问题 时,应注意判别式大于等于零这一条件.

【考题回顾】 1.(2014?安徽高考)抛物线y= 1 x2的准线方程是 A.y=-1 B.y=-2 ( )

4 C.x=-1 1 4

D.x=-2

【解析】选A.因为y= x2,所以x2=4y,所以抛物线的准线方程 是y=-1.

2 2 x y 2.(2014?浙江高考)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 ? 2 ?1 2 a b

(a>b>0)两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|, 则该双曲线的离心率是 .

【解析】由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为 y ? b x 与y=

a

b - x, 分别与x-3y+m=0(m≠0)联立方程组,解得 -am -bm A( , ), a a-3b a-3b 设AB的中点为Q, -am bm B( , ), -am -am -bm bm a ? 3b a ? 3b ? ? 则 Q( a-3b a ? 3b , a-3b a ? 3b ), 2 2
因为|PA|=|PB|,所以PQ与已知直线垂直,所以kPQ=-3, 解得a2=4b2=4(c2-a2),即 c2 答案:

5 c 5 ? ,? . 2 a 4 a 2

5 2

3.(2014?江西高考)过点M(1,1)作斜率为- 1 的直线与椭圆C:

2 x 2 y2 ? 2 =1(a>b>0)相交于A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆C的 2 a b
离心率为 .

? x12 y12 ? 2 ? 1, ? 2 【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).则 ? a b ? 2 2 ? x 2 ? y 2 ? 1, x1 ? x 2 ?? x1 ? x 2 ? ? y1 ? y 2 ?? y1 ? y 2 ? ? 2 2 ? a b ? 即 ? ? 0 , a2 b2 ? x1 ? x 2 ? 2, y 2 ? y1 1 因为 ? ?? , 2 ? y1 ? y 2 ? 2, x 2 ? x1
1 2 2 所以a ? 2b ,故c ? a ,即e ? . 2 2
2 2 2

答案:

2 2

4.(2014?北京高考)设双曲线C的两个焦点为

? ? 2,0?, ? 2,0?,

一个顶点是(1,0),则C的方程为__________.
【解析】由焦点坐标可得c= 且焦点在x轴上,由顶点坐标

(1,0)知a=1,所以b2=c2-a2=2-1=1, 所以C的方程为x2-y2=1. 答案:x2-y2=1

2

热点考向一
【考情快报】

圆锥曲线的定义、标准方程与性质

难度:基础题

命题指数:★★★

题型:以选择题、填空题为主 考查方式:主要考查圆锥曲线的定义、标准方程与几何性 质,在求椭圆、双曲线的标准方程、离心率时常应用方程 思想得出关于a,b,c之间的关系,在求解范围、参数值、 最值时经常应用转化与化归思想.

2 【典题1】(1)(2014?江西高考)设椭圆C: x

点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交 于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于 .

y 2 =1的左右焦 ? 2 2 a b

(2)(2014?北京模拟)若抛物线C:y2=2px的焦点在直线x+y-

2=0上,则p=

;C的准线方程为

.

【信息联想】(1)看到过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,想 到______________ A,B坐标的求法 . 该抛物线的焦点在x轴上 (2)看到抛物线y2=2px,想到______________________ .

【规范解答】(1)不妨令 A(c, b ),B(c, ? b ),F (?c,0), 1

2

2

a

a

所以直线F1B的方程为

b2 y ? ? ? x ? c ?, 2 b 2ac 令x=0可得 y ? ? , 2a 2 2 2 b 3b b 即 D(0, ? ), AD ? (?c, ? ), FB ), 1 ? (2c,- 2a 2a a
因为AD⊥F1B,所以 整理得 故 a 2- b2=2ac,

c2=2ac,

3b4 ?2c ? 2 ? 0, 2a
2

3 3 3



3

e2+2e-

3

=0,解得e=

答案: 3

3 (负值舍去). 3

p 0), (2)抛物线C:y2=2px的焦点坐标为 ( , 该点在直线x+y-2= 2 p

3

0上,则有 答案:4

2 -2=0,解得p=4,此时抛物线的准线方程为x=-2.
x=-2

【规律方法】圆锥曲线的定义、标准方程与性质的关注点 1.求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法 求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a,b,c的

c b2 e ? 1 ? ( ) , 故双曲线的渐近线与离心率密切相关. a a
2

等量关系,然后把b用a,c代换,求

的值;在双曲线中,由于

2.双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法:把双曲线标准方程等号的右边1改为零,分解因式可 得.

b a (2)用法:①可得 a 或 b 的值.
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.

3.焦点三角形的作用
借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构

建方程组,便于解决问题.

2 2 x y 【变式训练】1.椭圆C: ? =1的左、右顶点分别为A1,A2, 4 3

点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1 斜率的取值范围是( )

1 3 3 3 1 3 A.[ , ]??????????B.[ , ]??????????C.[ , 1]??????????D.[ , 1] 2 4 8 4 2 4
2 2 x0 y0 y0 【解析】选B.设P ? x 0 , y 0 ?,则 ? ? 1,k PA2 ? , 4 3 x0 ? 2

k PA1

y0 ? ,k PA1 k PA2 x0 ? 2

3 2 3 ? x0 2 y0 3 4 ? 2 ? 2 ?? , x0 ? 4 x0 ? 4 4

故k PA1 ? ?

3 1 3 3 .因为k PA2 ? [ ? 2, ?1] , 所以k PA1 ? [ , ]. 4 k PA2 8 4

2 2 x y 2.(2014?绍兴模拟)已知F1,F2是椭圆C1: ? ? 1 与双曲线 9 5 C2的公共焦点,点P是曲线C1与C2的一个公共点,且 61 OP ? 3 (其中点O为坐标原点),则双曲线C2的离心率为( )

A. 2

3 B. 2

C.2

2 3 D. 3

【解析】选B.设 PF ? m, PF ? n,且m>n, 曲线C2: 〈 PF , PF 〉 ? ? , 1 2 1 2

x 2 y2 2 1 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),由条件知 2 2 PO ? | PF ? PF | ? a b 1 2 2 1 2 2 61 2 及三角形PF1F2中余弦定理m2+n2m ? n ? 2mncos ? ? ( ), 4 3 4 2mncos θ=(2c)2=42,结合m+n=6,m-n=2a可得a= 从而 , 3 3 e? . 2

?

?

?

?

2 2 x y 【加固训练】1.(2014?郑州模拟)已知椭圆C1: ? ?1 m?2 n 与双曲线C2:x 2 y 2 =1有相同的焦点,则椭圆C1的离心率e的 ? 取值范围为( m ) n

2 2 1 A.( , 1)????????B.(0, )????????C.? 0, 1?????????D.(0, ) 2 2 2

2 2 2 2 x y x y 【解析】选A.因为椭圆C1: 与双曲线C2: ? =1 ? ?1 m n m?2 n

有相同的焦点,所以m>0,n<0.

所以m+2-(-n)=m-n,解得n=-1. 所以椭圆C1的离心率 e ? 1 ?

? ? ?1?

1 1 2 ? 1? ? 1? ? , m?2 m?2 2 2

又e<1,所以椭圆C1的离心率e的取值范围为(

2 ,1). 2

2.(2014?嘉峪关模拟)已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线

x 2 y 2 =1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A ? 7 9
在抛物线上且|AK|= |AF|,则△AFK的面积为( )

A.4

B.8

2

C.16

D.32
=1

【解析】选D.因为抛物线y2=2px的焦点F与双曲线

x 2 y2 的右焦点重合,所以p=8.设A(m,n),又|AK|= 2 |AF| ?,所以 7 9
m+4=|n|,又n2=16m,解得m=4,|n|=8,所以△AFK的面积为S=

1 〓8〓8=32. 2

热点考向二
【考情快报】

与圆锥曲线有关的证明问题

难度:中、高档题

命题指数:★★☆

题型:以解答题为主,大多出现在最后两个解答题中 考查方式:主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、逻辑推 理能力.

【典题2】(2014?北京模拟)已知椭圆W:x

的焦距为2,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为-1,O为 坐标原点. (1)求椭圆W的方程. (2)设斜率为k的直线l与W相交于A,B两点,记△AOB面积的最 大值为Sk,证明:S1=S2.

y 2 =1(a>b>0) ? 2 2 a b

2

2c ;看到右焦点和短轴一个端 【信息联想】(1)看到焦距,想到___ 两点连线的斜率. 点的直线的斜率,想到_______________ 直线方程与椭圆方程联 (2)看到直线l与W相交于A,B两点,想到_____________________ 立. ___

【规范解答】(1)由题意得W的半焦距c=1,右焦点F(1,0),上 顶点M(0,b),所以直线MF的斜率kMF= b ? 0 =-1,解得b=1, 由a2=b2+c2,得a2=2,所以W的方程为

x 2

2

0 ?1 2

+y =1.

(2)设直线l的方程为y=kx+m,其中k=1或k=2,A(x1,y1),

? y ? kx ? m, ? 2 2)x2+4kmx+2m2-2=0, B(x2,y2),由方程组 ? x 得 (1+2k 2 ? y ? 1, ? ?2
所以Δ=16k2-8m2+8>0(*),

?4km 2m2 ? 2 ,x1x 2 ? . 由根与系数的关系,得x1+x2= 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
2 2 ? 4km 2m ? 2 1 ? k 2 2 2 所以 AB ? 1 ? k 2 ( ) ? 4 ? ? 8 2k ? m ? 1? , ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k m 因为原点O到直线y=kx+m的距离d= , 2 1? k

所以S△AOB= |AB|d=

2 2 2 2 m 2k ? m ? 1?, ? 2 1 ? 2k

1 2

当k=1时,因为S△AOB= 有最大值,所以S1=

2 2 所以当m2= 3 时,S△AOB 2 m ? 3 ? m ?, 2 3

2 ,验证知(*)成立; 2 2 当k=2时,因为S△AOB= m2 ? 9 ? m2 ?, 9 9 2 所以当m = 时,S△AOB的最大值S2= 2 , 2 2
验证知(*)成立.所以S1=S2.

【规律方法】 1.直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系 将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量(如y)得出方程 Ax2+Bx+C=0. (1)若A=0,此时直线与圆锥曲线只有一个交点.

(2)若A≠0,则当Δ>0时,直线与圆锥曲线有两个交点(相交);当 Δ=0时,直线与圆锥曲线有一个交点(相切);当Δ<0时,直线与 圆锥曲线没有交点(相离). 注:当曲线为开口向上(下)的抛物线时,常用导数求解其切线问 题.

2.证明与圆锥曲线有关问题的思路 将待证问题转化为与点、线、向量等几何元素或斜率、长度等 与数量有关的计算问题求解. 3.直线与圆锥曲线问题中的巧设直线

若直线l过x轴上一点(a,0)时,可设直线l的方程为x=ty+a;这样
可避免对直线l斜率存在性的讨论.

【变式训练】(2014?郑州模拟)已知圆C:

x2+y2=3的半径等于椭圆E: x 2

y 2 =1(a> ? 2 2 a b F在圆C b>0)的短半轴长,椭圆E的右焦点
内,且到直线l:y=x- 6 的距离为

圆C的公共点,设直线l交椭圆E于不同的两点A(x1,y1), B(x2,y2). (1)求椭圆E的方程. (2)求证:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.

2 ,点M是直线l与 3? 2

【解析】(1)设点F(c,0)(c>0),则F到直线l的距离为

c? 6 2

|= -1,因为F在圆内,所以c< , 2 即|c? 3? , 2 2 3 6 6 x y 2 故c=1.因为圆 C:x2+y2=3的半径等于椭圆E: 2 ? 2 =1(a>b> a b 0)的短半轴长,所以b2=3,所以椭圆方程为

x 2 y 2 =1. ? 4 3

(2)连接OM,OA,因为圆心O到直线的距离为

? 6 2

? 3,所以直

线l与圆C相切,M是切点,故△AOM为直角三角形,所以|AM|=
2 2 x y 2 2 1 1 =1,可得|AM|= 1 x , 2 2 又因为 ? 1 OA ? OM ? x1 ? y1 ? 3. 4 3 2 2 2 1 y1 =1,可得|AF|=2- x1,所 |AF|= 2 2 又因为 x1 ? (x1 ? 1) ? y1 , 2 4 3

以|AM|+|AF|=2,同理|BF|+|BM|=2,所以|AM|+|AF|=|BF|+|BM|, 即|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.

【加固训练】(2014?天水模拟)已知椭圆C的中心在原点,焦 点在x轴上,长轴长为4,且点(1, 3 )在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程.

2

(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作方向向量d=(2,1)的 直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值.

【解析】(1)因为C的焦点在x轴上且长轴长为4,故可设椭圆C 的方程为 x 2

y 2 =1(b>0),因为点(1, 3 )在椭圆C上,所以 ? 2 2 4 b x 2 1 3 ? 2 =1,解得b2=1,所以椭圆C的方程为 +y2=1. 4 4 4b

(2)设P(m,0)(-2≤m≤2),由已知,直线l的方程是y= 1 (x-

? 1 y ? ? x ? m?, ? 2 2-2mx+m2-4=0(*). m),由 ? ? 2x ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?4
x1+x2=m,x1x2=

2

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根,所以

m2 ? 4 , 2

所以|PA|2+|PB|2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22 =(x1-m)2+ 1 (x1-m)2+(x2-m)2+ 1 (x2-m)2 =

=

5 (x -m)24 + (x2-m)2= [x124 +x22-2m(x1+x2)+2m2]= 1 5 5 4 5 [(x +x )2-2m(x 4 1x2+2m2] 1 2 4 1+x2)-2x 4 5
[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5(定值).

即|PA|2+|PB|2为定值.

4

热点考向三 【考情快报】

圆锥曲线中点、线、参数等存在性问题 高频考向

多维探究

难度:中、高档题

命题指数:★★★

题型:以解答题为主,通常为压轴题
考查方式:通常以圆锥曲线为载体,从不同角度考查,或 探究平分面积的线、平分线段的点,或探究使某解析式 成立的参数是否存在,常与距离、倾斜角、斜率、方程 恒成立问题综合,形成知识交汇问题.

命题角度一

与圆锥曲线有关的存在性问题

y 2 =1的左、 ? 2 2 a b 右焦点,D,E是椭圆上顶点、右顶点,椭圆的离心率e= 3 , 2 3 S DEF2=1 ? . 若点M(x0,y0)在椭圆C上,则点 N( x 0 , y0 ) 称为 2 a b
点M的一个“椭点”,直线l与椭圆交于A,B两点,A,B两点的 “椭点”分别为P,Q.

【典题3】(2014?温州模拟)F1,F2为椭圆C: x 2

(1)求椭圆C的标准方程. (2)问是否存在过左焦点F1的直线l,使得以PQ为直径的圆经过 坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理 由.

【现场答案】

【纠错析因】找出以上现场答案的错误之处,分析错因,并给 出正确答案. 提示:以上解题过程中出错之处是: 1.第(2)小题忽视对直线l的斜率存在性的讨论,原因是直线l的 斜率可能存在,也可能不存在;上述解答过程中,只考虑了斜 率存在的情况. 2.忽视题中“直线与椭圆交于两点”,从而Δ>0的约束.

【规范解答】(1)由题意得e= c

S DEF2

故a2=4,即a=2,所以b=1,c=

3 因此c= 3 a,b= 1 a, ? , 2 2 a 2 1 1 3 a 1 3 2 3 ? ? ? a ? c ? ? b ? (a ? a) ? ? ? (1 ? )a ? 1 ? . 2 2 2 2 4 2 2
3
,故椭圆C的标准方程为

x 2 +y2=1. 4

(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-

? x ? ? 3, ? x ? ? 3, ? x ? ? 3, ? 联立 ? 2 解得 ? 1 或 ? ? ?x 1 2 y ? ? ?y ? ? , ? ? y ? 1, 2 ? 2 ? ?4 不妨令 A(? 3, 1 ),B(? 3, ? 1 ), 2 2
所以对应的“椭点”坐标为 而

3,

1 OP OQ= ? 0. 2

P(?

所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点.

3 1 3 1 , ),Q(? , ? ), 2 2 2 2

②当直线l的斜率存在时,

设直线l的方程为y=k(x+

?y ? k x ? 3 , 联立方程得? 消去y得: ? x2 ? ? y 2 ? 1, ?4
(4k2+1)x2+8

?

?

3

).

3

k2x+12k2-4=0.

4k2+1≠0,Δ=(8 3 k2)2-4(4k2+1)(12k2-4)=16k2+16>0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则这两点的“椭点”坐标分别为

x1 x P( ,y1),Q( 2 ,y2), 2 2

?8 3k 2 12k 2 ? 4 ,x1x 2 ? 2 . 由根与系数的关系可得:x1+x2= 2 4k ? 1 4k ? 1
若使得以PQ为直径的圆经过坐标原点,则OP⊥OQ,

x x 而OP ? ( 1 , y1 ),OQ ? ( 2 , y 2 ),因此OP OQ ? 0, 2 2 x x xx 即 1 ? 2 ? y1 y 2 ? 1 2 ? y1 y 2 ? 0, 2 2 4 2k 2 ? 1 2 即 2 ? 0, 解得k ? ? . 4k ? 1 2 2 6 2 6 所以直线方程为y ? x ? 或y ? ? x ? . 2 2 2 2

【规律方法】存在性问题求解的思路及策略 (1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确, 则存在;若结论不正确,则不存在. (2)策略:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;

②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出
条件.

命题角度二

点的存在性问题

【典题4】(2014?湖州模拟)已知动点P到直线l:x+4=0的距离
与它到点M(2,0)的距离之差为2,记点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程.
(2)问直线l上是否存在点Q,使得过点Q且斜率分别为k1,k2的两 直线与曲线C相切,同时满足k1+2k2=0,若存在,求出点Q的坐标; 若不存在,请说明理由.

【信息联想】(1)看到动点到一定直线和定点的距离关系,想到 抛物线的定义 . _____________ (2)看到过Q的两直线与曲线C相切,且斜率满足k1+2k2=0,想到 方程思想求出 k1,k2 . _________________

【规范解答】(1)根据抛物线定义,曲线C是以(2,0)为焦点, x=-2为准线的抛物线, 所以p=4, 故曲线C的方程为y2=8x.

(2)假设存在.设Q(-4,y0),过Q与C相切的直线设为y-y0=
k(x+4)(k≠0)
2 ? y ? ? 8x, 联立 ? 得:ky2-8y+8y0+32k=0, ? ? y ? y0 ? k ? x ? 4 ? ,

因为相切,故Δ=64-4k(8y0+32k)=0,即4k2+y0k-2=0,

所以

y0 ? k ? k ? ? , 1 2 ? ? 4 ? ?k k ? ? 1 . 1 2 ? 2 ?

因为k1,k2是两切线的斜率且满足k1=-2k2,

y0 ? 所以有 ?k ? k ? ? y 0 , 即 ? k1 ? ? , ? ? 1 2 2 4 ? ? y0 ? ? k2 ? , ?k1 ? ?2k 2 , ? ? 2. 4 又因为k1?k2=- 1 ,得y0=〒
故存在点Q(-4,2)和(-4,-2)使得过点Q的两直线与曲线C相切,
且满足k1+2k2=0.

2

2 【变式训练】(2014?青岛模拟)已知点P在椭圆C: x

>b>0)上,以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2,且 tan∠OPF2= 2 ,其中O为坐标原点. OP OF2 ? 2, (1)求椭圆C的方程.

y 2 =1(a ? 2 2 a b

(2)已知点M(-1,0),设Q是椭圆C上的一点,过Q,M两点的直线l
交y轴于点N,若

NQ ? 2QM,

求直线l的方程.

(3)作直线l1与椭圆D: x 2

交于不同的两点S,T,其中S 2y 2 ? 2 ?1 2 a G(0b 点的坐标为(-2,0),若点 ,t)是线段ST垂直平分线上一点, 且满足 GS GT ? 4,求实数t的值.

【解析】(1)由题意知,在△OPF2中,PF2⊥OF2,

? ?

6 又因为tan∠OPF2= 2 ,所以cos∠POF2= . 3 设r为圆P的半径,c为椭圆的半焦距,因为 OP OF2 ? 2, 所以 c 6 又因为 tan?OPF2 ? ? 2, 解得:c= 2 ,r=1, c2 ? r 2 c ? 2, r 3 x 2 y2 则点P的坐标为 2, ? 1 . 因为点P在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,所以有 a b 2 2 2 ?1? 2-b2=c2=2.所以a2=4,b2=2,即椭圆C ? 又因为 a ? 2 ? 1, 2 a b 的方程为: x 2 y2 ? ? 1. 4 2

?

?

2 2 x y (2)由题意知椭圆C的方程为: 依题意知直线l的斜率 ? ? 1. 4 2

存在,设为m,故直线方程为y=m(x+1),N(0,m),设Q(x1,y1),

2 ? 因为NQ ? 2QM , 所以(x1,y1-m)=2(-1-x1,-y1),解得x1= 3 , m y1 ? , 又Q是椭圆C上的一点, 3 22 m2 (? ) ( ) 则 3 ? 3 ? 1. 解得m=〒4,所以直线l的方程为4x-y+4=0 4 2
或4x+y+4=0.

2 x (3)依题意知D: ? y 2 ? 1. 由S(-2,0),设T(x2,y2),根据题意可 4

知直线l1的斜率存在,可设直线斜率为k,则直线l1的方程为y=

k(x+2),把它代入椭圆D的方程,消去y,整理得(1+4k2)x2+16k2x +(16k2-4)=0,1+4k2≠0,Δ=(16k2)2-4(1+4k2)(16k2-4)=16>0.
2 2 ? 8k 由根与系数的关系得 则 x ? 16k ,y 2 ? ?2 ? x 2 ? ? , 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 4k k ? x2 ? 2? ? , 所以线段ST的中点坐标为 2 2 8k 2k 1 ? 4k (? , ). 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

①当k=0时,则有T(2,0),线段ST垂直平分线为y轴,于是

解得:t=〒2

GS ? ? ?2, ?t ?, GT ? ? 2, ? t ?,



=-4+t2=4,

2

.

GS GT

②当k≠0时,则线段ST垂直平分线为:

2k 1 8k 2 y? ?? (x ? t= 2 ), 2 因为点G(0,t)是线段ST垂直平分线上的一点,令 x=0 得: 1 ? 4k k 1 ? 4k 6k 于是 GS ? ? ?2, ? t ?, 由 =-2x2GT ? x , y ? t , ? ? ? , 2 2 GS GT 1 ? 4k 2 4 2 t(y2-t)=4 16k ? 15k ? 1 ? 4, 2 2 1 ? 4k

?

?

?

?

解得:

2 14 14 代入t= ? 6k ,解得: t?? , k?? , 2 1 ? 4k 5 7
2 14 ?2 2或 ? . 5

综上可知,满足条件的实数t的值为

2 2 x y 【加固训练】(2014?西安模拟)已知椭圆 =1(a>b>0) ? 2 2 a b 2

的一个焦点F与抛物线y =4x的焦点重合,且截抛物线的准线所

得弦长为

2 ,倾斜角为45°的直线l过点F.

(1)求该椭圆的方程. (2)设椭圆的另一个焦点为F1,问抛物线y2=4x上是否存在一点 M,使得M与F1关于直线l对称,若存在,求出点M的坐标,若不 存在,说明理由.

【解析】(1)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1, 所以a2-b2=1,① 又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为

2 ,所以椭圆与抛物

1 2 1 2 线的准线的上交点为 (?1, ),所以 2 ? 2 ? 1,② 2 a b 1 将①代入②得2b4-b2-1=0,解得b2=1或b2=(舍去),从而 2 2 a2=b2+1=2.所以该椭圆的方程为 x +y2=1. 2

(2)因为倾斜角为45°的直线l过点F, 所以直线l的方程为y=tan 45°(x-1),即y=x-1, 由(1)知椭圆的另一个焦点为F1(-1,0),

? y0 ? 0 ? x ? 1 ?1 ? ?1, ? x 0 ? 1, ? 0 解得 ? ? ? y0 ? ?2, ? y0 ? 0 ? x 0 ? ? ?1? ? 1, ? 2 ? 2 2

设M(x0,y0)与F1关于直线l对称,则得

即M(1,-2),又M(1,-2)满足y =4x, 故点M在抛物线上.所以抛物线y2=4x上存在一点M(1,-2),使得 M与F1关于直线l对称.

分类讨论思想 ——解决圆锥曲线中的参数问题 【思想诠释】 与圆锥曲线有关的参数问题中应用分类讨论思想的常见类型 1.判断曲线的类型:判断曲线的类型,常依据二元方程对其参 数进行分类讨论,分类标准一般考虑二次项系数的正负、大小 关系.

2.参数方程、不等式的求解:如求离心率、渐近线方程时对圆 锥曲线焦点位置的讨论,或者对方程系数的讨论,或者求解过 程中分母是否为0的讨论. 3.直线与圆锥曲线位置关系的判定:对于含参数的直线与圆锥 曲线位置关系问题的求解,如对直线斜率存在与否的讨论、消 元后二次项系数是否为0的讨论,判别式与0的大小关系的讨论 等.

【典例分析】
【典题】(2014?天水模拟)已知椭圆C:x 2

过点M(

,1),离心率为

(1)求椭圆C的方程.

2

2 2

.

y 2 =1(a>b>0)经 ? 2 2 a b

(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,点P(4,3),记直 线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当k1?k2最大时,求直线l的方程.

【思想联想】知道直线l过点Q(1,0),应用直线l的方程时,联 想到分类讨论思想,分斜率为0与斜率不为0两种情况求解.

【规范解答】

【能力迁移】 (2014?吉林模拟)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上 且过点

1 P( 3, ), (1)求椭圆C的标准方程 . 2

离心率是

3 2

.

(2)直线l过点E(-1,0)且与椭圆C交于A,B两点,若|EA|=

2|EB|,求直线l的方程.

【思想联想】根据直线l过点(-1,0),因此可联想到分类讨论

思想,分斜率存在与不存在两种情况讨论求解.
【解析】(1)设椭圆C的标准方程为

?c x y 3 + 2 ? ? , 2 a b ?a 2 ?3 1 由已知可得 ? 2 ? 2 ? 1, 解得a2=4,b2=1.故椭圆C的标准方 ? a 4b ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? 2 ? x 程为 +y2=1. 4
2 2

=1(a>b>0).

(2)由已知,若直线l的斜率不存在,则过点E(-1,0)的直线l的

3 3 方程为x=-1,此时可得 A(?1, ),B(?1, ? ),显然|EA|= 2 2
2|EB|不成立. 若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x+1).

? x2 2 则 ? ? y ? 1, 整理得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0. ?4 ? y ? k ? x ? 1? , ?

由Δ=(8k2)2-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),

8k 2 故x1+x2= - 2 ,① 4k ? 1 2 4k ?4 x 1x 2= .② 2 4k ? 1
因为|EA|=2|EB|,
即x1+2x2=-3.③

15 . ①②③联立解得k= ? 6
所以直线l的方程为 15 x+6y+ 15 =0和 15 x-6y+ 15 =0.


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