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高考数学查缺补漏


高考数学查缺补漏
第一部分 集合与简易逻辑
1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是 ..... 因变量的取值?还是曲线上的点?? ; 2.数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图 .... 等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决, 特别是在集合的交、并、补的运算之中。注意 ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子 集。注意补集思想的应用(反证法,对立事件,排除法等) 。 n n 3. (1)含 n 个元素的集合的子集数为 2 ,真子集数为 2 -1;非空真子集的数为 2n-2; (2) A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B; 注意:讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况; (3) C I ( A ? B) ? (C I A) ? (C I B); C I ( A ? B) ? (C I A) ? (C I B) 。 4.四种命题: ⑴原命题:若 p 则 q; ⑵逆命题:若 q 则 p; ⑶否命题:若 ? p 则 ? q;⑷逆否命题:若 ? q 则 ? p 注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。判断命题真假时常常借助判断其逆否命 题的真假 5.充要条件的判断: (1)定义法----正、反方向推理; (2)利用集合间的包含关系:例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条 件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; 6.逻辑连接词: ⑴且(and) :命题形式 p ? q; p q p?q p?q ⑵或(or) :命题形式 p ? q; 真 真 真 真 ⑶非(not) :命题形式 ? p . 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 7.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”“任意一个”等,用 ? 表示; 、

?p
假 假 真 真

全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词--------“存在一个”“至少有一个”等,用 ? 表示; 、 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

第二部分

函数、导数与不等式

(一)函数 1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。 2.函数定义域的求法:函数解吸式有意义;符合实际意义;定义域优先原则

函数解析式的求法:代入法,凑配法,换元法,待定系数法,函数方程法 函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ; ⑤换元法 ; ⑥利用均值不等式

ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 ; ⑦利用数形结合或几何意义 (斜率、 2
x

距离、绝对值的意义等) ;⑧利用函数有界性( a 、 sin x 、 cos x 等) ;⑨导数法 3.分段函数:值域(最值) 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 4.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法:① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函 数 f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域, 相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值域。 (2)复合函数单调性的判定:①首先将原函数 y ? f [ g ( x)] 分解为基本函数:内函数

u ? g (x) 与外函数 y ? f (u) ;②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根据“同
性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意:外函数 y ? f (u ) 的定义域是内函数 u ? g (x) 的值域。 5.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; .... ⑵ f (x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f (? x) ? ?1 ;
f ( x)

⑶ f (x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f (? x) ? 1 ;
f ( x)

⑷奇函数 f (x) 在原点有定义,则 f (0) ? 0 ; ⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; (6)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,等价变形,再判断其奇偶性; 6.函数的单调性 ⑴单调性的定义: f (x) 在区间 M 上是增(减)函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x2 时

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0(? 0) ? ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0(? 0)
? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0(? 0) ; x1 ? x 2

⑵单调性的判定定义法:注意:一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式, 以利于判断符号;②导数法(见导数部分) ;③复合函数法(见 4(2)同增异减) ;④图像法。 注:证明单调性要用定义法或导数法;求单调区间,先求定义域;多个单调区间之间不能用“并 集”“或” 、 ;单调区间不能用集合或不等式表示。 7.函数的周期性 (1)周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 f ( x ? T ) ? f ( x) (其中 T 为非零常数) ,则

称函数 f (x) 为周期函数, T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。 如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期 ① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cos x : T ? 2? ;③ y ? tan x : T ? ? ;④

y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ) : T ?

? 2? ;⑤ y ? tan ?x : T ? ; |? | |? |

⑶函数周期的判定:①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论) ⑷与周期有关的结论: f ( x ? a) ? f ( x ? a) 或 f ( x ? 2a) ? f ( x)(a ? 0) ? f (x) 的周期 ① 为 2a ;② y ? f (x) 的图象关于点 (a,0), (b,0) 中心对称 ? f (x) 周期 2 a ? b ;③ y ? f (x) 的图象关于直线 x ? a, x ? b 轴对称 ? f (x) 周期为 2 a ? b ; ④ y ? f (x) 的图象关于点 (a,0) 中心对称,直线 x ? b 轴对称 ? f (x) 周期 4 a ? b ; 8.幂、指、对的运算法则: 9.基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数: y ? x
?

( ? ? R) ;⑵指数函数: y ? a (a ? 0, a ? 1) ;
x

⑶对数函数: y ? log a x(a ? 0, a ? 1) ;⑷正弦函数: y ? sin x ; ⑸余弦函数: y ? cos x ; (6)正切函数: y ? tan x ;⑺一元二次函数: y ? ax ? bx ? c ;
2

⑻其它常用函数: ①正比例函数:y ? kx(k ? 0) ; ②反比例函数:y ? 函数 y ? x ?

k 1 特别的 y ? , (k ? 0) ; x x

a (a ? 0) ; x
2 2

10.二次函数:⑴解析式:①一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c ;②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) ? k ,

(h, k ) 为顶点;③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判 别式;⑥两根符号。⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。 11.函数图象 ⑴图象作法 :①描点法(注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法 ⑵图象变换: ① 平移变换:ⅰ y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) , (a ? 0) ———左“+”右“-” ; ⅱ y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k , (k ? 0) ———上“+”下“-” ;

② 伸缩变换: ⅰ y ? f ( x) ? y ? f (?x) , ( ? ? 0) ———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的

1

?

倍;

ⅱ y ? f ( x) ? y ? Af ( x) , ( A ? 0) ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 A 倍; ③ 对称变换:ⅰ y ? f (x) ?? ? y ? ? f (? x) ;ⅱ y ? f (x) ??? y ? ? f (x) ; ?
( 0, 0 ) y ?0

ⅲ y ? f (x) ??? y ? f (? x) ; ⅳ y ? f (x) ??? x ? f ( y) ; ? ④ 翻转变换: ⅰ y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ———右不动,右向左翻( f (x) 在 y 左侧图象去掉) ; ⅱ y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | ———上不动,下向上翻(| f (x) |在 x 下面无图象) ; (3) .函数图象(曲线)对称性的证明: ⅰ证明函数 y ? f (x) 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对 称点仍在图像上; ⅱ证明函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 图象的对称性,即证明 y ? f (x) 图象上任意点关于对 称中心(对称轴)的对称点在 y ? g (x) 的图象上,反之亦然; 注:①曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x,2b-y)=0; ②曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=a 的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x, y)=0; ③曲线 C1: f(x,y)=0,关于 y=x+a(或 y=-x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(y-a,x+a)=0(或 f(-y+a, -x+a)=0);④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) ? ?? y=f(x)图像关于直线 x=

x ?0

y ?x

a?b 对称; 2

特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) ? ?? y=f(x)图像关于直线 x=a 对称; ⑤函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x=

a?b 对称; 2

12.函数零点的求法:⑴直接法(求 f ( x) ? 0 的根) ;⑵图象法;⑶二分法. (二)导数 13.导数: ⑴导数定义:f(x)在点 x0 处的导数记作 y ? ⑵常见函数的导数公式: ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx
'
n ' ' x ' x x '
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim
'

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x

n ?1

;③ (sin x) ? cos x ;
x

' ④ (cos x) ? ? sin x ;⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;⑦ (log a x) ?

1 ; x ln a

⑧ (ln x) ?
'

1 。 x

⑶导数的四则运算法则: (u ? v)? ? u ? ? v?; (uv)? ? u ?v ? uv ?; ( )? ?

u v

u ?v ? uv? ; v2

? x ⑷(理科)复合函数的导数: y ? ? yu ? u ? ; x
⑸导数的应用: ① 利用导数求切线:注意:ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线? ② 利用导数判断函数单调性:ⅰ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 是增函数; ⅱ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数;ⅲ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为常数; 注:反之,成立吗?求单调区间,先求定义域。 ③利用导数求极值:ⅰ求导数 f ?(x) ;ⅱ求方程 f ?( x) ? 0 的根;ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有) ;ⅲ得最值。 ⑤利用导数处理恒成立问题,证明不等式,解决实际应用问题 14. (理科)定积分 ⑴定积分的定义:

?

b

a

f ( x)dx ? lim ?
n ?? i ?1

n

b?a f (? i ) n

⑵定积分的性质:① ② ③

?

b

a b

; kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx ( k 常数)
a 1 2

b

? [ f ( x) ? f
a

( x)]dx ? ? f 1( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ;
a a c b a c

b

b

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a ? c ? b) 。

⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式) : ⑷定积分的应用:①求曲边梯形的面积: S ? ① 求变速直线运动的路程: S ?

?

b

a
b

f ( x)dx ? F ( x) |b ? F (b) ? F (a) a

? | f ( x) ? g ( x) | dx ;
a b a

?

b

a

v(t )dt ;③求变力做功: W ? ? F ( x)dx 。
不等式

15.均值不等式: ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2
a ? b 2 a2 ? b2 。 ) ? 2 2

注意:①积定和最小,和定积最大,一正二定三相等;②变形, ab ? ( 16.一元二次不等式 绝对值不等式: || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 3.不等式的性质:

⑴ a ? b ? b ? a ;⑵ a ? b, b ? c ? a ? c ;⑶ a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d

? a ? c ? b ? d ;⑷ a ? b, c ? 0 ? ac ? bd ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b ? 0,
(6) a ? b ? 0 ? c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑸ a ? b ? 0 ? a n ? b n ? 0(n ? N ? ) ;
n

a ? n b (n ? N ? ) 。

4.不等式等证明(主要)方法:⑴比较法:作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。

第三部分

三角函数、三角恒等变换与解三角形
?

1.⑴角度制与弧度制的互化: ? 弧度 ? 180 , 1? ?

?

180 1 2 1 ⑵弧长公式: l ? ?R ;扇形面积公式: S ? ?R ? Rl 。 2 2

弧度, 1 弧度 ? (

180

?

) ? ? 57 ?18 '

2.三角函数定义:角 ? 中边上任意一点 P 为 ( x, y ) ,设 | OP |? r 则:

sin ? ?

y x y , cos? ? , tan? ? r r x

3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦; 4.诱导公式记忆规律: “函数名不(改)变,符号看象限” ; 5.⑴ y ? A sin(?x ? ? ) 对称轴: x ?
k? ?

?
2

??

?

;对称中心: (
k? ?

k? ? ? ,0)(k ? Z ) ; ?
?? ,0)( k ? Z ) ;

?
2

⑵y?

A cos( x ? ? ) 对称轴: x ? k? ? ? ;对称中心: ( ?
?
2 2

?

6.同角三角函数的基本关系: sin x ? cos x ? 1;

sin x ? tan x ; cos x

7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; ② cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ③ tan(? ? ? ) ? ? 8.二倍角公式:① sin 2? ? 2 sin ? cos? ; ② cos 2? ? cos
2

tan? ? tan ? 。 1 ? tan? tan ?

? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;③ tan 2? ?

2 tan? 。 1 ? tan 2 ?

9.正、余弦定理⑴正弦定理

a b c ? ? ? 2 R ( 2R 是 ?ABC 外接圆直径) sin A sin B sin C

注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ;③

a b c a?b?c 。 ? ? ? sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
⑵余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A 等三个;注: cos A ?
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 等三个。 2bc

10。几个公式:⑴三角形面积公式:

S ?ABC ?

1 1 ah ? ab sin C ? 2 2
a?b?c

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) , ( p ?

1 (a ? b ? c)) ; 2

⑵内切圆半径 r= 2S ?ABC ;外接圆直径 2R= 11.已知 a, b, A 时三角形解的个数的判定: C b h A a

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

其中 h=bsinA,⑴A 为锐角时:①a<h 时,无解; ②a=h 时, 一解(直角) ;③h<a<b 时,两解(一锐角, 一钝角) ;④a ? b 时,一解(一锐角) 。 ⑵A 为直角或钝角时:①a ? b 时,无解;②a>b 时, 一解(锐角) 。

第四部分

立体几何

1.三视图与直观图:注:原图形与直观图面积之比为 2 2 : 1 。 2.表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体:①表面积:S=S 侧+2S 底;②侧面积:S 侧= 2?rh ;③体积:V=S 底 h

1 S 底 h: 3 1 ' ' ' ⑶台体: ①表面积: 侧+S 上底 S 下底; S=S ②侧面积: 侧= ? (r ? r )l ; S ③体积: (S+ SS ? S ) V= 3 4 3 2 h;⑷球体:①表面积:S= 4?R ;②体积:V= ?R 。 3
⑵锥体:①表面积:S=S 侧+S 底;②侧面积:S 侧= ?rl ;③体积:V= 3.位置关系的证明(主要方法) : ⑴直线与直线平行:①公理 4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行 ? 线面平行。 ⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 注:理科还可用向量法。 4.求角: (步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角) ⑴异面直线所成角的求法:①平移法:平移直线,构造三角形; ②补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,发现两条异面直线间的关系。 注:理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角。 ⑵直线与平面所成的角:①直接法(利用线面角定义) ;②先求斜线上的点到平面距离 h,与 斜线段长度作比,得 sin ? 。 注:理科还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。 ⑶二面角的求法:①定义法:在二面角的棱上取一点(特殊点) ,作出平面角,再求解; ②三垂线法:由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线,用三垂线定理或逆定 理作出二面角的平面角,再求解;③射影法:利用面积射影公式: S ? S cos? ,其中 ? 为
'

平面角的大小; 注:对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法; 理科还可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角。 5.求距离: (步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离)⑴两异面直线间的距离:一般先作 出公垂线段,再进行计算;⑵点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线段,再求解;⑶ 点到平面的距离:①垂面法:借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键) ,再 求解;②等体积法;理科还可用向量法: d ?

| AB ? n | |n|



⑷球面距离: (步骤) (Ⅰ)求线段 AB 的长; (Ⅱ)求球心角∠AOB 的弧度数;(Ⅲ)求劣弧 AB 的长。 6.结论:⑴从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平面∠ BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上; ⑵立平斜公式(最小角定理公式): ? ? cos?1 cos? 2; cos ⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等记为 ? ,则 S 侧 cos ? =S 底; ⑷长方体的性质①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? , 则: cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =1;sin2 ? +sin2 ? +sin2 ? =2 。 ②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 ? , ? , ? , 则有 cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =2;sin2 ? +sin2 ? +sin2 ? =1 。 ⑸正四面体的性质:设棱长为 a ,则正四面体的:

h ① 高: ?

6 2 6 1 a; ②对棱间距离: a ; ③相邻两面所成角余弦值: ; ④内切球半径: a ; 3 2 12 3

外接球半径:

6 a; 4

第五部分

直线与圆
x a y ?1 ; b

y 1. 直线方程⑴点斜式: ? y? ? k ( x ? x? ) ; ⑵斜截式: ? kx ? b ; ⑶截距式: ? y
⑷两点式:

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

;⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 , (A,B 不全为 0)(直线 。

的方向向量: B,? A) ,法向量( A, B) ( 2.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件; (2)作可行域,写目标函数; (3)确定目标函数的最优解。 3.两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

l1 : y ? k1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b2

k1 ? k2 , b1 ? b2

k1 ? k 2 ? ?1
A1 A2 ? B1 B2 ? 0

l1 , l 2 有斜率
不可写成 分式

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

A1 B2 ? A2 B1 , 且

l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 B1C2 ? B2 C1 (验证)

4.直线系 直线方程 平行直线系 垂直直线系 相交直线系

y ? kx ? b y ? kx ? m

Ax ? By ? C ? 0 Ax ? By ? m ? 0 Bx ? Ay ? m ? 0

y??

1 x?m k

A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0

5.几个公式 ⑴设 A(x1,y1) 、B(x2,y2)、C(x3,y3) ,⊿ABC 的重心 G: x1 ? x 2 ? x3 , y1 ? y 2 ? y3 ) ( ; 3 3 ⑵点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: d ?
Ax 0 ? By 0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C 2 A2 ? B 2
2 2 2



⑶两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 d ?



6.圆的方程:⑴标准方程:① ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

;② x ? y ? r



⑵一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

( D ? E ? 4 F ? 0)
2 2

注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆 ? A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2-4AF>0; 7.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。 8.圆系:⑴ x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E 2 y ? F2 ) ? 0, (? ? ?1) ;
2 2 2 2

注:当 ? ? ?1 时表示两圆交线。 ⑵ x ? y ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0, (? ? ?1) 。
2 2

9.点、直线与圆的位置关系: (主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系: d 表示点到圆心的距离) ( ① d ? R ? 点在圆上;② d ? R ? 点在圆内;③ d ? R ? 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系: d 表示圆心到直线的距离) ( ① d ? R ? 相切;② d ? R ? 相交;③ d ? R ? 相离。

⑶圆与圆的位置关系: d 表示圆心距, R, r 表示两圆半径,且 R ? r ) ( ① d ? R ? r ? 相离;② d ? R ? r ? 外切;③ R ? r ? d ? R ? r ? 相交; ④ d ? R ? r ? 内切;⑤ 0 ? d ? R ? r ? 内含。 10.与圆有关的结论: ⑴过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2; 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; ⑵以 A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。

第六部分

圆锥曲线

1.定义:⑴椭圆: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ; ⑵双曲线: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ;⑶抛物线:略 2.结论 ⑴焦半径:①椭圆: PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 (e 为离心率) (左“+”右 ; “-”;②抛物线: PF ? x0 ? )

p 2
(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

⑵弦长公式: AB ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ?
? 1? 1 ? y2 ? y1 ? k2 (1 ?

1 ) ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ; 2 k

注: (Ⅰ)焦点弦长:①椭圆:| AB |? 2a ? e( x1 ? x2 ) ;②抛物线: AB =x1+x2+p= (Ⅱ)通径(最短弦) :①椭圆、双曲线: 2b ;②抛物线:2p。
a
2

2p ; sin 2 ?

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: mx ? ny ? 1 ( m, n 同时大于 0 时表示椭圆,
2 2

; mn ? 0 时表示双曲线) ⑷椭圆中的结论:①内接矩形最大面积 :2ab; ②P,Q 为椭圆上任意两点,且 OP ? 0Q,则 ③椭圆焦点三角形:<Ⅰ>.S ?PF1F2 ? b tan
2

1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ; 2 2 | OP | | OQ | a b

?
2

, ? ? ?F1 PF2 ) ( ;<Ⅱ>. M 是 ?PF1 F2 内 点

心, PM 交 F1 F2 于点 N ,则

| PM | a ? | MN | c



④当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 ?F1 PF2 最大; ⑸双曲线中的结论:
2 2 2 2 ①双曲线 x ? y ? 1 (a>0,b>0)的渐近线: x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2

②共渐进线 y ? ?

b x2 y2 ; x 的双曲线标准方程为 2 ? 2 ? ? (? 为参数, ? ≠0) a a b

③双曲线焦点三角形: <Ⅰ>. ?PF1F2 ? b 2 cot S

?
2

, ? ? ?F1 PF2 ) <Ⅱ>. 是双曲线 ( ; P

x2 y2 - 2 =1(a a2 b

>0,b>0)的左(右)支上一点,F1、F2 分别为左、右焦点,则△PF1F2 的内切圆的圆心横坐标 为 ? a, ( a ) ; ④双曲线为等轴双曲线 ? e ? (6)抛物线中的结论:
2 ①抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 AB 性质:<Ⅰ>. x1x2= p ;y1y2=-p2; 4

2 ? 渐近线为 y ? ? x ? 渐近线互相垂直;

<Ⅱ>.

1 1 2 ;<Ⅲ>.以 AB 为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以 AF(或 BF) ? ? | AF | | BF | p p2 。 2 sin ?

为直径的圆与 y 轴相切;<Ⅴ>. S ?AOB ?

②抛物线 y2=2px(p>0)内结直角三角形 OAB 的性质: <Ⅰ>. x1 x2 ? 4 P , y1 y 2 ? ?4 P ;
2 2 2

<Ⅱ>. l AB 恒过定点 (2 p,0) ;

<Ⅲ>. A, B 中点轨迹方程: y ? p( x ? 2 p) ;<Ⅳ>. OM ? AB ,则 M 轨迹方程为:

( x ? p) 2 ? y 2 ? p 2 ;<Ⅴ>. ( S ?AOB ) min ? 4 p 2 。
③抛物线 y2=2px(p>0),对称轴上一定点 A(a,0) ,则: <Ⅰ>.当 0 ? a ? p 时,顶点到点 A 距离最小,最小值为 a ;<Ⅱ>.当 a ? p 时,抛物线上 有关于 x 轴对称的两点到点 A 距离最小,最小值为 2ap ? p 。
2

3.直线与圆锥曲线问题解法: ⑴直接法(通法) :联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。 注意以下问题:①联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程? ②直线斜率不存在时考虑了吗?③判别式验证了吗? ⑵设而不求(代点相减法) :--------处理弦中点问题 步骤如下:①设点 A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 k AB ?

y1 ? y 2 ? ?? ;③解决问题。 x1 ? x 2

4.求轨迹的常用方法: (1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式)(3)代入法(相关点法或转 ; 移法) ;⑷待定系数法; (5)参数法; (6)交轨法。

第七部分

平面向量

⑴设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:① a∥b(b≠0) ? a= ? b ( ? ? R) ? x1y2-x2y1=0; ② a⊥b(a、b≠0) ? a·b=0 ? x1x2+y1y2=0 . ⑵a· b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2; 注: ①|a|cos<a,b>叫做 a 在 b 方向上的投影; |b|cos<a,b> 叫做 b 在 a 方向上的投影;②a·b 的几何意义:a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影 |b|cos<a,b>的乘积。⑶cos<a,b>=

a ?b ; | a || b |

⑷三点共线的充要条件 P,A,B 三点共线 ? OP ? xOA ? yOB (且x ? y ? 1) ; 附: (理科)P,A,B,C 四点共面 ? OP ? xOA ? yOB ? zOC (且x ? y ? z ? 1) 。

第八部分
1.定义:

数列

⑴等差数列 {a n} a n ?1 ? a n ? d (d为常数) 2a n ? a n ?1 ? a n ?1 (n ? 2, n ? N *) ? ?

? a n ? kn ? b ? s n ? An 2 ? Bn ;
⑵等比数列 {a n } ?

a n ?1 2 ? q(q ? 0) ? a n ? a n -1 ? a n ?1 (n ? 2, n ? N) an

? a n ? cq n (c, q均为不为0的常数) Sn ? k ? kq n (q ? 0, q ? 1, k ? 0) ; ?
2.等差、等比数列性质 等差数列 通项公式 等比数列

a n ? a1 ? (n ? 1)d

a n ? a1 q n ?1

1.q ? 1时,S n ? na1 ;
前 n 项和

Sn ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

2.q ? 1时,S n ? ? a1 ? a n q 1? q

a1 (1 ? q n ) 1? q

性质

①an=am+ (n-m)d, ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ③ S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k ,? 成 AP ④ a k , a k ? m , a k ? 2m ,?成 AP, d ' ? md

①an=amqn-m; ②m+n=p+q 时 aman=apaq ③ S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k ,? 成 GP ④ a k , a k ? m , a k ? 2m ,? 成 GP, q' ? q
m

等差数列特有性质:①项数为 2n 时:S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n); S 偶 ? S奇 ? nd ;

S奇 S偶

?

an ; a n ?1

②项数为 2n-1 时:S2n-1=(2n-1) a中 ; S 奇 - S偶 ? a中 ;

S奇 S偶

?

n ; n -1

③若 a n ? m, a m ? n, (m ? n),则a m?n ? 0 ;若 S n ? m, S m ? n, 则S m? n ? ?(m ? n) ; 若 S n ? S m , (m ? n),则S m?n ? 0 。 3.数列通项的求法: S1 (n=1) an= ⑴分析法;⑵定义法(利用 AP,GP 的定义) ;⑶公式法:累加法( a n ?1 ? (n≥2) n ; Sn-Sn-1 a n ? c ⑷叠乘法(

a n ?1 ? c n 型) ;⑸构造法( a n ?1 ? kan ? b 型)(6)迭代法; ; an

⑺间接法(例如: a n ?1 ? a n ? 4a n a n ?1 ?

1 1 ? ? 4) ;⑻作商法( a1 a 2 ? a n ? c n 型) ; a n a n ?1

⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。 注:当遇到 a n ?1 ? a n ?1 ? d或

a n ?1 ? q 时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。 a n ?1

4.前 n 项和的求法:⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。 5.等差数列前 n 项和最值的求法: ⑴ ?a n ? 0 ? 或 ?a n ? 0 ? ? ? ? ? ? ?
?a n ?1 ? 0? ?a n ?1 ? 0 ?

;⑵利用二次函数的图象与性质。

第九部分 第十部分

不等式 复数

1.概念: ⑴z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z2≥0; ⑵z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈R); ⑶z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠0) ? z2<0; ⑷a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷ z2 =

(a ? bi)(c ? di) ? ac ? bd ? bc ? ad i (z2≠0) ; (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2 c2 ? d 2
1? i 1? i ? i; ? ?i; 1? i 1? i

3.几个重要的结论:
2 (1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2( z1 ? z2 ); (2) z ? z ? z ? z ;⑶ (1 ? i) ? ?2i ;⑷
2 2 2 2 2 2

⑸ i 性质:T=4; i

4n

? 1, i 4 n?1 ? i, i 4 n? 2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i ; i 4n ? i 4n ?1 ? i 4? 2 ? i 4n ?3 ? 0;

(6) ? ? ?

1 3 ? i 以 3 为周期,且 ? 0 ? 1, ? 2 ? ? ,? 3 ? 1 ; 1 ? ? ? ? 2 =0; 2 2

(7) z ? 1 ? z z ? 1 ? z ? 4.运算律: (1) z ? z ? z
m n m? n

1 。 z

; (2)( z m ) n ? z mn ; (3)( z1 ? z 2 ) m ? z1 z 2 (m, n ? N );
m m

5.共轭的性质:⑴ ( z1 ? z 2 ) ? z1 ? z 2 ;⑵ z1 z 2 ? z1 ? z 2 ;⑶ (

z1 z ) ? 1 ;⑷ z ? z 。 z2 z2

6.模的性质:⑴ || z1 | ? | z 2 ||?| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | ;⑵ | z1 z 2 |?| z1 || z 2 | ;⑶ | ⑷ | z |?| z | ;
n n

z1 |z | |? 1 ; z2 | z2 |

第十一部分

概率

1.事件的关系: ⑴事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 A ? B ; ⑵事件 A 与事件 B 相等:若 A ? B, B ? A ,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B; ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或 B 发生,记作 A ? B (或 A ? B ) ; ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生且 B 发生,记作 A ? B (或 AB ) ; ⑸事件 A 与事件 B 互斥:若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ) ,则事件 A 与互斥; ﹙6﹚对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵古典概型: P( A) ?

A包含的基本事件的个数 ; 基本事件的总数 构成事件A的区域长度(面积或体积等) ; 试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)

⑶几何概型: P( A) ?

第十二部分

统计与统计案例

1.抽样方法 ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为

n ; N

②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的 规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 l ;

④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况, 将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 ? 2.总体特征数的估计:
n ⑴样本平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? x i ;

n N

n

n

i ?1

n ⑵样本方差 S 2 ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( xi ? x ) 2 ;

n

n

i ?1

n ⑶样本标准差 S ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] = 1 ? ( x ? x ) 2 ; i

n

n

i ?1

3.相关系数(判定两个变量线性相关性) r ? :

? (x
i ?1 n i ?1

n

i

? x)( y i ? y )
n

? ( xi ? x) 2 ? ( y i ? y ) 2
i ?1

注:⑴ r >0 时,变量 x, y 正相关; r <0 时,变量 x, y 负相关; ⑵① | r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强;② | r | 接近于 0 时,两个变量之间几乎 不存在线性相关关系。 4.回归分析中回归效果的判定: ⑴总偏差平方和:

? ( yi ? y) 2 ⑵残差: ei ? yi ? yi ;⑶残差平方和: ? ( yi ? yi) 2 ;⑷
i ?1 i ?1

n

?

?

n

?

回归平方和:

?(y
i ?1

n

i

? y ) 2 - ? ( yi ? yi) 2 ;⑸相关指数 R 2 ? 1 ?
i ?1

n

?

?(y ?(y
i ?1 i ?1 n

n

i

? yi ) 2


?

i

? yi )

2

注:① R 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好; ② R 越接近于 1, ,则回归效果越好。 5.独立性检验(分类变量关系) : 随机变量 K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。
2

2

2

第十三部分
1.程序框图: ⑴图形符号: ① 终端框(起止况) ;② ③

算法初步

输入、输出框;⑥

连接点。

处理框(执行框) ;④ ⑵程序框图分类: ①顺序结构:
输入 n

判断框;⑤

流程线 ;

②条件结构: r=0? 是
n 不是质素

③循环结构: 否
n 是质数 求 n 除以 i 的余数 i=i+1

i=2 i ? n 或 r=0?否 是 注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while 型)——先判断条件,再执行循环体; Ⅱ.直到型(until 型)——先执行一次循环体,再判断条件。 2.基本算法语句: ⑴输入语句: INPUT “提示内容” ;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容” ;表达式 赋值语句: 变量=表达式 ⑵条件语句:① ② IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句体 语句体 1 END IF ELSE 语句体 2 END IF ⑶循环语句:①当型: ②直到型: WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 3.算法案例: ⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数; ⑵秦九韶算法------求多项式的值; ⑶进位制----------各进制数之间的互化。

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 第十五部分 推理与证明
1.推理: ⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归 纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些 特征的推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提---------所 研究的特殊情况;⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

二.证明⒈直接证明
⑴综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) ,这种证明的方法叫分析法。分析 法又叫逆推证法或执果索因法。 2.间接证明------反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原 命题成立,这种证明方法叫反证法。 附:数学归纳法(仅限理科) 一般的证明一个与正整数 n 有关的一个命题,可按以下步骤进行: ⑴证明当 n 取第一个值 n 0 是命题成立; ⑵假设当 n ? k (k ? n0 , k ? N ) 命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立。 那么由⑴⑵就可以判定命题对从 n 0 开始所有的正整数都成立。 注:①数学归纳法的两个步骤缺一不可,用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行; ② n 0 的取值视题目而定,可能是 1,也可能是 2 等。
?

第十六部分
1. 排列、组合和二项式定理 ⑴排列数公式: An =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)=
n An =n(n-1)(n-2)?3.2.1=n!;
m

理科选修部分
n! ( n ? m )!

(m≤n,m、n∈N*),当 m=n 时为全排列

m 0 n m ⑵组合数公式: C n ? An ? n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) (m≤n), C n ? C n ? 1 ; m! m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1

⑶组合数性质: C n

m

? C nn?m ; C nm ? C nm?1 ? C nm?1 ;
n 0 n 1 n ?1 1 k n b ? ? ? C n a n ? k b k ? ? ? C n b n (n ? N ? )

⑷二项式定理: (a ? b) ? C n a ? C n a ①通项: Tr ?1 ? C n a
r n?r

b r (r ? 0,1,2,..., n); ②注意二项式系数与系数的区别;

⑸二项式系数的性质: ①与首末两端等距离的二项式系数相等;②若 n 为偶数,中间一项(第 数最大;若 n 为奇数,中间两项(第

n ?1 n ?1 和 +1 项)二项式系数最大; 2 2

n +1 项)二项式系 2

③ Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2 ; Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2
0 1 2 n n 0 2 1 3

n ?1

;

(6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用赋值法。 2. 概率与统计 ⑴随机变量的分布列: ①随机变量分布列的性质:pi≥0,i=1,2,?; p1+p2+?=1; ②离散型随机变量: X P x1 P1 X2 P2 ? ? xn Pn ? ?

期望:EX= x1p1 + x2p2 + ? + xnpn + ? ; 方差:DX= ( x1 ? EX ) p1 ? ( x 2 ? EX ) p 2 ? ? ? ? ? ( x n ? EX ) p n ? ? ? ? ;
2 2 2

注: E (aX ? b) ? aEX ? b; D(aX ? b) ? a DX ;
2

③两点分布: X P 0 1-p 1 p 期望:EX=p;方差:DX=p(1-p).

① 超几何分布: 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则

P( X ? k ) ?
称分布列 X P

k n C M C N? kM ? , k ? 0,1, ? m, m ? min{ M , n}, 其中, n ? N , M ? N 。 n CN

0
0 n C M C N?0M ? n CN

1
1 n C M C N?1M ? n CN

? ?

m
m n C M C N? m ?M n CN

为超几何分布列, 称 X 服从超几何分布。 ⑤二项分布(独立重复试验) : 若 X~B(n,p),则 EX=np, DX=np(1- p);注: P( X ? k ) ? C n p (1 ? p)
k k n?k



⑵条件概率:称 P( B | A) ?

P( AB) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率。 P( A)

注:①0 ? P(B|A) ? 1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ⑶独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B) 。 ⑷正态总体的概率密度函数: f ( x) ? 的平均数(期望值)与标准差;

1 2? ?

?

( x?? )2 2? 2

e

, x ? R, 式中 ? , ? 是参数,分别表示总体

(6)正态曲线的性质: ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交;②曲线是单峰的,关于直线 x= ? 对称; ③曲线在 x= ? 处达到峰值

1

? 2?

;④曲线与 x 轴之间的面积为 1;

② 当 ? 一定时,曲线随 ? 质的变化沿 x 轴平移; ③ 当 ? 一定时,曲线形状由 ? 确定: ? 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体分布越集中; ,表示总体分布越分散。 ? 越小,曲线越“高瘦” 注:P ( ? ? ? ? x ? ? ? ? ) =0.6826;P (? ? 2? ? x ? ? ? 2? ) =0.9544 P (? ? 3? ? x ? ? ? 3? ) =0.9974



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