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2015年全国高中数学联赛模拟试卷三


2015 年全国高中数学联赛模拟试卷三
1. 设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数, 且满足下列关系 f(10+x)=f(10?x), f(20?x)=?f(20+x), 则 f(x)是( ) (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 解:f(20-x)=f[10+(10-x)]=f[10-(

10-x)]=f(x)=-f(20+x). ∴f(40+x)=f[20+(20+x)]=-f(20+x)=f(x).∴ 是周期函数; ∴f(-x)=f(40-x)=f(20+(20-x)=-f(20-(20-x))=-f(x).∴ 是奇函数.选 C. 2.若实数 x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142,则 x2+y2 的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C)

3

(D)

2

1 3. 如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=x+ 2在同一点取相同的最小值,那么 f(x) x 在该区间上的最大值是( 11 3 3 (A) 4+ 2+ 4 2 对 1 1 1 1 解: g(x)= x+ 2= x+ x+ 2≥3 x 2 2 x
3

) 53 3 (B) 4- 2+ 4 2 13 3 (C) 1- 2+ 4 2 (D)以上答案都不

1 33 1 1 3 = 2. 当且仅当 x= 2即 x= 2时 g(x)取得最小值. 4 2 2 x

4q-p2 3 3 p 3 3 3 3 ∴ - = 2, = 2,?p=-2 2,q= 3 2+ 4. 2 4 2 2 53 3 3 3 由于 2-1<2- 2.故在[1.2]上 f(x)的最大值为 f(2)=4- 2+ 4.故选 B. 2 4.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一块中种同一种植物, 相邻的两块种不同的植物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有 【解】 种栽种方案.

A F E D B C

考虑 A、C、E 种同一种植物,此时共有 4× 3× 3× 3=108 种方法.

考虑 A、C、E 种二种植物,此时共有 3× 4× 3× 3× 2× 2=432 种方法. 考虑 A、C、E 种三种植物,此时共有 P43× 2× 2× 2=192 种方法. 故总计有 108+432+192=732 种方法. 5. 已知直线 ax ? by ? c ? 0 中的 a , b , c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素, 并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是______. 设 倾 斜 角 为 θ , 则 tgθ =- >0. 不 妨 设 a>0, 则 b<0. (1)c=0,a 有 三 种 取 法 , b 有三种取法, 排 除 2 个 重 复 (3x-3y=0,2x-2y=0 与 x-y=0 为 同 一 直 线 ), 故 这 样 的 直 线 有 3×3-2=7 条 ; (2)c≠ 0, 则 a 有 三 种 取 法 , b 有 三 种 取 法 , c 有 四 种 取 法 , 且 其 中 任 两 条 直 线 均 不 相 同 , 故 这 样 的 直 线 有 3×3×4=36 条 . 从 而 , 符 合 要 求 的 直 线 有 7+36=43 条 .
1

6. 在正方体的 8 个顶点, 12 条棱的中点, 6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中, 共线的 三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 解: 8 个顶点中无 3 点共线, 故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心. ⑴ 体中心为中点:4 对顶点,6 对棱中点,3 对面中心;共 13 组; ⑵ 面中心为中点:4× 6=24 组; ⑶ 棱中点为中点:12 个.共 49 个,选B. 7. 从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 10 个数中取出 3 个数, 使其和为不小于 10 的偶数, 不同的取 法有________种. 解:从这 10 个数中取出 3 个偶数的方法有 C5种,取出 1 个偶数,2 个奇数的方法有 C5 C5种,而取出 3 个数的和为小于 10 的偶数的方法有(0,2,4),(0,2,6),(0,1,3),(0, 1,5),(0,1,7),(0,3,5),(2,1,3),(2,1,5),(4,1,3),共有 9 种,故应答 10+50 -9=51 种. 8.设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之 一.若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也停止 跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 解:青蛙跳 5 次,只可能跳到 B、D、F 三点(染色可证). 青蛙顺时针跳 1 次算+1,逆时针跳 1 次算-1,写 5 个“□1”,在□中填“+”号或“-”号: □1□1□1□1□1 规则可解释为:前三个□中如果同号,则停止填写;若不同号,则后 2 个□中继续填写 符号. 前三□同号的方法有 2 种;前三个□不同号的方法有 23-2=6 种,后两个□中填号的方法 有 22 种. ∴ 共有 2+6× 4=26 种方法. 5 4 9.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( 3 5 (A) 34 170 (B) 34 85 (C) 1 20 (D) 1 30 )
2 3 1

|25x-15y+12| |5(5x-3y+2)+2| 解:直线即 25x-15y+12=0.平面上点(x,y)到直线的距离= = . 5 34 5 34 ∵ 5x-3y+2 为整数,故|5(5x-3y+2)+2|≥2.且当 x=y=-1 时即可取到 2.选 B. 10.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 972,则这样的 数列共有( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 1 解:设首项为 a,公差为 d,项数为 n,则 na+ n(n-1)d=972,n[2a+(n-1)d]=2× 972, 2 即 n 为 2× 972 的大于 3 的约数. ∴⑴n=972,2a+(972-1)d=2,d=0,a=1;d≥1 时 a<0.有一解; ⑵ n=97,2a+96d=194,d=0,a=97;d=1,a=a=49;d=2,a=1.有三解; ⑶ n=2× 97,n=2× 972,无解.n=1,2 时 n<3..选 C 11. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c, 若 c?a 等于 AC 边上的高 h, 则 sin C-A 2

2

C+A +cos 的值是______. 2 解:2R(sinC-sinA)=csinA=2RsinCsinA,?sinC-sinA=sinCsinA, C-A C+A C-A 1 1 C+A ?2cos sin =- [cos(C+A)-cos(C-A)]= [1-2sin2 -2cos2 +1]. 2 2 2 2 2 2 ?(sin C-A C-A C+A 2 C+A +cos ) =1,但 sin +cos >0,故 1. 2 2 2 2

11.已知正整数 n 不超过 2000,并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和,那么,这样 的 n 的个数是___________.

解 析 : 6 .首 项 为 a 为 的 连 续 k 个 正 整 数 之 和



由 Sk≤2000, 可 得 60≤k≤62. 当 k = 6 0 时 , S k = 6 0 a + 3 0 ×5 9 , 由 S k ≤ 2 0 0 0 , 可 得 a ≤ 3 , 故 Sk=1830,1890,1950; 当 k = 6 1 时 ,S k = 6 1 a + 3 0 ×6 1 ,由 S k ≤ 2 0 0 0 ,可 得 a ≤ 2 ,故 S k = 1 8 9 1 ,1 9 5 2 ; 当 k = 6 2 时 , S k = 6 2 a + 3 1 ×6 1 , 由 S k ≤ 2 0 0 0 , 可 得 a ≤ 1 , 故 S k = 1 9 5 3 . 于是,题中的 n 有 6 个.

1 2 .已知点 P 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到 16 9

这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么, P 的横坐标是_____.

解析:

. 记 半 实 轴 、 半 虚 轴 、 半 焦 距 的 长 分 别 为 a、 b、 c, 离 心 率 , 右准线 l

为 e, 点 P 到 右 准 线 l 的 距 离 为 d, 则 a=4, b=3, c=5, 为

. 如 果 P 在 双 曲 线 右 支 , 则 |P F1|=|P F2|+2a=ed+2a. 从 而 ,

|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d, 这 不 可 能 ; 故 P 在 双 曲 线 的 左 支 , 则 |P F2|-|P F1|=2a,|P F1|+|P F2|=2d. 两 式 相 加 得 2|P F2|=2a+2d.

又 | P F 2 | = e d , 从 而 e d = a + d .故

.P 的 横 坐 标 为



13.设双曲线 xy?1 的两支为 C1,C2(如图),正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上. (1)求证:P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上; (2)设 P(?1,?1)在 C2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的坐标. 1 1 解:设某个正三角形的三个顶点都在同一支上.此三点的坐标为 P(x1, ),Q(x2, ), x1 x2 1 1 1 1 R(x3, ).不妨设 0<x1<x2<x3,则 > > >0. x3 x1 x2 x3 kPQ= y2-y1 1 1 =- ;k =- ; x1x2 QR x2x3 x2-x1
O
3

y
Q R

x

P

1 1 - + x1x2 x2x3 tan∠ PQR= <0,从而∠ PQR 为钝角.即△ PQR 不可能是正三角形. 1 1+ x1x3x22 1 ⑵P(-1,-1),设 Q(x2, ),点 P 在直线 y=x 上.以 P 为圆心,|PQ|为半径作圆,此 x2 圆与双曲线第一象限内的另一交点 R 满足|PQ|=|PR|,由圆与双曲线都是 y=x 对称,知 Q 与 1 R 关于 y=x 对称. 且在第一象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线的交点个数). 于是 R( , x2 x2). 3 3 ∴PQ 与 y=x 的夹角=30° ,PQ 所在直线的倾斜角=75° .tan75° = =2+ 3. 3 1- 3 1+ PQ 所在直线方程为 y+1=(2+ 3)(x+1), 代入 xy=1, 解得 Q(2- 3, 2+ 3), 于是 R(2+ 3, 2- 3). 积化和差与和差化积公式

1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]. 2 1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]. 2 1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]. 2 1 sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]. 2
. 2 2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin . 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos . 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2sin sin . 2 2 sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??

cos

? ??

4


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