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2015年全国高中数学联赛模拟试卷三


2015 年全国高中数学联赛模拟试卷三
1. 设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数, 且满足下列关系 f(10+x)=f(10?x), f(20?x)=?f(20+x), 则 f(x)是( ) (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 解:f(20-x)=f[10+(10-x)]=f[10-(

10-x)]=f(x)=-f(20+x). ∴f(40+x)=f[20+(20+x)]=-f(20+x)=f(x).∴ 是周期函数; ∴f(-x)=f(40-x)=f(20+(20-x)=-f(20-(20-x))=-f(x).∴ 是奇函数.选 C. 2.若实数 x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142,则 x2+y2 的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C)

3

(D)

2

1 3. 如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=x+ 2在同一点取相同的最小值,那么 f(x) x 在该区间上的最大值是( 11 3 3 (A) 4+ 2+ 4 2 对 1 1 1 1 解: g(x)= x+ 2= x+ x+ 2≥3 x 2 2 x
3

) 53 3 (B) 4- 2+ 4 2 13 3 (C) 1- 2+ 4 2 (D)以上答案都不

1 33 1 1 3 = 2. 当且仅当 x= 2即 x= 2时 g(x)取得最小值. 4 2 2 x

4q-p2 3 3 p 3 3 3 3 ∴ - = 2, = 2,?p=-2 2,q= 3 2+ 4. 2 4 2 2 53 3 3 3 由于 2-1<2- 2.故在[1.2]上 f(x)的最大值为 f(2)=4- 2+ 4.故选 B. 2 4.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一块中种同一种植物, 相邻的两块种不同的植物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有 【解】 种栽种方案.

A F E D B C

考虑 A、C、E 种同一种植物,此时共有 4× 3× 3× 3=108 种方法.

考虑 A、C、E 种二种植物,此时共有 3× 4× 3× 3× 2× 2=432 种方法. 考虑 A、C、E 种三种植物,此时共有 P43× 2× 2× 2=192 种方法. 故总计有 108+432+192=732 种方法. 5. 已知直线 ax ? by ? c ? 0 中的 a , b , c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素, 并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是______. 设 倾 斜 角 为 θ , 则 tgθ =- >0. 不 妨 设 a>0, 则 b<0. (1)c=0,a 有 三 种 取 法 , b 有三种取法, 排 除 2 个 重 复 (3x-3y=0,2x-2y=0 与 x-y=0 为 同 一 直 线 ), 故 这 样 的 直 线 有 3×3-2=7 条 ; (2)c≠ 0, 则 a 有 三 种 取 法 , b 有 三 种 取 法 , c 有 四 种 取 法 , 且 其 中 任 两 条 直 线 均 不 相 同 , 故 这 样 的 直 线 有 3×3×4=36 条 . 从 而 , 符 合 要 求 的 直 线 有 7+36=43 条 .
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6. 在正方体的 8 个顶点, 12 条棱的中点, 6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中, 共线的 三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 解: 8 个顶点中无 3 点共线, 故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心. ⑴ 体中心为中点:4 对顶点,6 对棱中点,3 对面中心;共 13 组; ⑵ 面中心为中点:4× 6=24 组; ⑶ 棱中点为中点:12 个.共 49 个,选B. 7. 从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 10 个数中取出 3 个数, 使其和为不小于 10 的偶数, 不同的取 法有________种. 解:从这 10 个数中取出 3 个偶数的方法有 C5种,取出 1 个偶数,2 个奇数的方法有 C5 C5种,而取出 3 个数的和为小于 10 的偶数的方法有(0,2,4),(0,2,6),(0,1,3),(0, 1,5),(0,1,7),(0,3,5),(2,1,3),(2,1,5),(4,1,3),共有 9 种,故应答 10+50 -9=51 种. 8.设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之 一.若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也停止 跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 解:青蛙跳 5 次,只可能跳到 B、D、F 三点(染色可证). 青蛙顺时针跳 1 次算+1,逆时针跳 1 次算-1,写 5 个“□1”,在□中填“+”号或“-”号: □1□1□1□1□1 规则可解释为:前三个□中如果同号,则停止填写;若不同号,则后 2 个□中继续填写 符号. 前三□同号的方法有 2 种;前三个□不同号的方法有 23-2=6 种,后两个□中填号的方法 有 22 种. ∴ 共有 2+6× 4=26 种方法. 5 4 9.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( 3 5 (A) 34 170 (B) 34 85 (C) 1 20 (D) 1 30 )
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|25x-15y+12| |5(5x-3y+2)+2| 解:直线即 25x-15y+12=0.平面上点(x,y)到直线的距离= = . 5 34 5 34 ∵ 5x-3y+2 为整数,故|5(5x-3y+2)+2|≥2.且当 x=y=-1 时即可取到 2.选 B. 10.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于