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2015-2016学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 8椭圆的简单几何性质课时作业 新人教A版选修2-1


课时作业(八)
x2 y2

椭圆的简单几何性质
A 组 基础巩固 )

1 1.以椭圆 + =1 的短轴顶点为焦点,离心率为 e= 的椭圆方程为( 25 9 2 A. + =1 27 36

x2

y2 x2

B. + =1 36 27

/>x2

y2

C. + =1 100 75

x2

y2

D. + =1 75 100

x2

y2

解析: + =1 的短轴顶点为(0,-3),(0,3), 25 9 ∴所求椭圆的焦点在 y 轴上,且 c=3. c 1 又 e= = ,∴a=6. a 2 2 2 2 ∴b =a -c =36-9=27. ∴所求椭圆方程为 + =1. 27 36 答案:A 2.曲线 + =1 与曲线 + =1(k<9)的( ) 25 9 25-k 9-k A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 解析:可知两个方程均表示焦点在 x 轴上的椭圆,前者焦距为 2c=2 25-9=8,后者焦 距为 2c=2 ?25-k?-?9-k?=8,故选 D. 答案:D 3.设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ) 2 2-1 A. B. C.2- 2 D. 2-1 2 2 解析:由已知|PF2|=2c,∴|PF1|=2 2c.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,即 2 2c+ c 1 2c=2a,∴e= = = 2-1. a 2+1 答案:D 4.已知 F1、F2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦 AB,若△AF1B 的周 长为 16,椭圆离心率 e= A. + =1 4 3 3 ,则椭圆的方程是( 2 )

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2 y2 a b

x2 y2

B. + =1 C. + =1 D. + =1 16 3 16 12 16 4 3 2 ,∴c=2 3,∴b =4. 2 )

x2

y2

x2

y2

x2

y2

解析:∵△AF1B 的周长为 16,∴4a=16,∴a=4,∵e= 答案:D

x2 y2 1 5.若焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 等于( 2 m 2
3 8 2 B. C. D. 2 3 3 解析:∵椭圆焦点在 x 轴上, A. 3 ∴0<m<2,a= 2,c= 2-m,e= =

c a

2- m 1 = . 2 2

-1-

2-m 1 3 = ,∴m= . 2 4 2 答案:B 故

x2 y2 6.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴, a b
→ → 直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是( 3 2 A. B. 2 2 1 1 C. D. 3 2 )

1 → → 解析:对于椭圆,因为AP=2PB,则 OA=2OF,所以 a=2c.所以 e= . 2 答案:D 1 7.一个顶点为(0,2),离心率 e= ,坐标轴为对称轴的椭圆方程为__________. 2 解析: c 1 (1)当椭圆焦点在 x 轴上时,由已知得 b=2,e= = , a 2 2 2 16 3 x y 2 2 ∴a = ,b =4,∴方程为 + =1. 3 16 4 c 1 (2)当椭圆焦点在 y 轴上时,由已知得 a=2,e= = , a 2 ∴a =4,b =3,∴方程为 + =1. 4 3 2 2 3x y y2 x2 答案: + =1 或 + =1 16 4 4 3 8.已知椭圆 C: +y =1 的两焦点为 F1,F2,点 P(x0,y0)满足 0< +y0<1,则|PF1|+ 2 2 |PF2|的取值范围是________. 解析:由于 0< +y0<1, 2 所以点 P(x0,y0)在椭圆 +y =1 内部,且不能与原点重合. 2 根据椭圆的定义和几何性质知,|PF1|+|PF2|<2a=2 2,且|PF1|+|PF2|的最小值为点 P 落在线段 F1F2 上,此时|PF1|+|PF2|=2. 故|PF1|+|PF2|的取值范围是[2,2 2). 答案:[2,2 2) 9.椭圆 2+ =1(a 为定值,且 a> 5)的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆交于点 A,B,△ a 5 FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是________.
2 2

y2 x2

x2

2

x2 0

2

x2 0

2

x2

2

x2 y2

解析:如图所示,设椭圆右焦点为 F1,AB 与 x 轴交于点 H,则|AF|=2a-|AF1|,△ABF 的周长为 2|AF|+2|AH|=2(2a-|AF1|+|AH|), ∵△AF1H 为直角三角形,∴|AF1|>|AH|,仅当|AF1|=|AH|,即 F1 与 H 重合时,△AFB 的 周长最大,即最大周长为 2(|AF|+|AF1|)=4a=12,∴a=3,而 b= 5,∴c=2,离心率 e
-2-

c 2 = = . a 3
2 答案: 3 10.求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 A(2,0); (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解:(1)若椭圆的焦点在 x 轴上, 设方程为 2+ 2=1(a>b>0), 4 ∵椭圆过点 A(2,0),∴ 2=1,a=2.

x2 y2 a b

a

∵2a=2·2b,∴b=1,∴方程为 +y =1. 4 若椭圆的焦点在 y 轴上, 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 0 4 ∵椭圆过点 A(2,0),∴ 2+ 2=1,
2

x2

2

y2 x2 a b

a

b

∴b=2,2a=2·2b,∴a=4,∴方程为 + =1. 16 4 综上所述,椭圆方程为 +y =1 或 + =1. 4 16 4 (2)由已知?

y2

x2

x2

2

y2

x2

?a=2c, ?a-c= 3,
x
2

∴?

?a=2 3, ?c= 3.
y2 x2 y2

从而 b =9,

2

∴所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 12 9 9 12 B 组 能力提升

x2 y2 11. 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右顶点分别是 A, B, 左、 右焦点分别是 F1, F2.若|AF1|, a b |F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
1 5 B. 4 5 1 C. D. 5-2 2 解析:因为 A,B 为左,右顶点,F1,F2 为左,右焦点, 所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c. 又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列, 2 2 2 所以(a-c)(a+c)=4c ,即 a =5c . c 5 所以离心率 e= = ,故选 B. a 5 答案:B A. 12.如图所示,将椭圆 + =1 的长轴(线段 AB)分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂 25 16 线, 分别交椭圆于 P1, P2,P3,…, P7 七个点, F 是椭圆的一个焦点, 则|P1F|+|P2F|+…+|P7F| =________.

x2

y2

-3-

解析:由椭圆的对称性及定义易知|P1F|+|P7F|=2a,|P2F|+|P6F|=2a,|P3F|+|P5F|= 2a,|P4F|=a, ∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a, ∵a=5,∴所求式子的值为 35,故填 35. 答案:35 13.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右顶点是 A(a,0),其上存在一点 P,使∠APO=90°,求 椭圆的离心率的取值范围. 解:设 P(x,y),由∠APO=90°知:P 点在以 OA 为直径的圆上. 圆的方程是?x- ? +y =? ? ,∴y =ax-x .① ? 2? ?2?
2 2 2

x2 y2 a b

?

a?2

?a?2

x2 y2 又 P 点在椭圆上,故 2+ 2=1.② a b 2 x ax-x2 2 2 2 3 2 2 把①代入②得 2+ 2 =1,∴(a -b )x -a x+a b =0. a b 2 2 2 故(x-a)[(a -b )x-ab ]=0. ab2 又 x≠a,x≠0,∴x= 2 . a -b2 ab2 又 0<x<a,∴0< 2 <a, a -b2 2 2 2 2 ∴2b <a ,∴a <2c .
∴e> 2 .又∵0<e<1, 2 2 <e<1. 2

故所求的椭圆离心率的取值范围是

14.如图,椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 为其上的动点,当∠F1PF2 为 9 4 钝角时,求点 P 的横坐标的取值范围. 解:设 P 的坐标为(x0,y0), 由椭圆 + =1 得 F1(- 5,0),F2( 5,0), 9 4 则|PF1| =(x0+ 5) +y0,|PF2| =(x0- 5) +y0, ∵∠F1PF2 为钝角, 2 2 2 ∴|PF1| +|PF2| -|F1F2| <0. 2 2 2 2 ∴(x0+ 5) +y0+(x0- 5) +y0-20<0. 2 2 ∴x0+y0<5. 2 x2 y2 5 2 0 0 ? x0? 2 又 + =1,∴x0+4?1- ?<5,∴ x0<1, 9 4 9 ? 9?
2 2 2 2 2 2

x2 y2

x2 y2

-4-

3 5 3 5 ∴- <x0< , 5 5

? 3 5 3 5? ∴P 的横坐标的取值范围是?- , ?. 5 ? ? 5

15.如图,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上 顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; → → → → 3 (2)若AF2=2F2B,AF1·AB= ,求椭圆的方程. 2 解析: (1)若∠F1AB=90°,则△AOF2 为等腰直角三角形,所以有 OA=OF2,即 b=c. c 2 所以 a= 2c,e= = . a 2 (2)由题知 A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中,c= a -b ,设 B(x,y). b? 3c b → → ?3c 由AF2=2F2B?(c,-b)=2(x-c,y),解得 x= ,y=- ,即 B? ,- ?. 2? 2 2 ?2 2 9 2 b c 2 4 4 x2 y2 9c 1 2 2 将 B 点坐标代入 2+ 2=1,得 2 + 2=1,即 2+ =1,解得 a =3c .① a b a b 4a 4 3b? 3 → → ?3c 2 2 2 2 又由AF1·AB=(-c,-b)·? ,- ?= ? b -c =1,即有 a -2c =1.② 2? 2 ?2 2 2 2 由①,②解得 c =1,a =3,从而有 b =2. 所以椭圆方程为 + =1. 3 2
2 2

x2 y2 a b

x2 y2

-5-


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