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立体几何单元测试卷含参考答案


立体几何单元测试卷
(限时 90 分钟) 1. 已知某个几何体的三视图如下图,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体 的体积是( ) A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm

3

D. 40

00cm

3

2. 如下图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱线长为 1,线段 B 1D 1 上有两个动点 E,F,且

EF ?

2 ,则下列结论中错误的是 ( 2

) B. EF ∥平面 ABCD D.异面直线 AE, BF 所成的角为定值 ) D.80

A. AC ? BE C.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值

3. 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( A. 48 B.32+8 ?? C.48+8 ??

4. l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( A. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 ∥ l 2 C. l1 ∥ l 2 ∥ l 3 ? l1 , l2 , l3 共面

)

B. l1 ? l2 , l 2 ∥ l 3 ? l1 ? l3 D. l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面 )

5. 若某几合体的三视图如右图,则这个几何体的直观图可以是 (

6. 下列命题中错误 的是 .. A.如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? C.如果平面 ? ? 平面? ,平面 ? ? 平面? , ? ? ? ? l ,那么 l ? 平面? D.如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 7. 如右图所示,点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PD⊥平面 ABCD, PD=AD,则 PA 与 BD 所成角的度数为 ( A.30° B.45° C.60° ( ) ) D.90°

8. 对于直线 m, n 和平面 ? ,下面问题中的真命题是

A.如果 m ? ? , n ? ? , m, n 是异面直线,那么 n // ? B.如果 m ? ? , n ? ? , m, n 是异面直线,那么 n 与 ? 相交 C.如果 m ? ? , n // ? , m, n 共面,那么 m // n D.如果 m // ? , n // ? , m, n 共面,那么 m // n 9. 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.

10. 如图,已知点 P 在正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的对角线 BD? 上, ?PDA ? 60? . (Ⅰ)求 DP 与 CC ? 所成角的大小; (Ⅱ)求 DP 与平面 AA?D ?D 所成角的大小.

11.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍,P 为侧 棱 SD 上的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE:EC 的值;若不存在,试说明理由。

12. 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB CD,AC ? BD,垂足为 H,PH 是 四棱锥的高 ,E 为 AD 中点 (Ⅰ)证明:PE ? BC (Ⅱ)若 ? APB= ? ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值

CD 是 AB 边上的高,E , F 分别是 AC 和 BC 边的中点, 13. 正△ ABC 的边长为 4, 现将△ ABC
沿 CD 翻折成直二面角 A ? DC ? B . (Ⅰ)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并 说明理由; (Ⅱ)求二面角 E ? DF ? C 的余弦值; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使 AP ? DE ?证明你的结论.
A E

D F B

C

14. 如图,在多面体 ABCDE 中, DB ? 平面ABC , AE // DB , 且?ABC 是边长为 2 的等 边三角形, AE ? 1 , CD 与平面 ABDE 所成角的正弦值为

6 . 4

(I)在线段 DC 上存在一点 F ,使得 EF⊥面DBC ,试确定 F 的位置; (II)求二面角 D ? EC ? B 的平面角的余弦值.

参考答案
1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.D 7.C 8.C 9.证明: (Ⅰ)由题设 AB= AC = SB= SC ? SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形, 所 以 O A? O B ? OC ?

2 2

, S A且 A O ? B C, 又

△S B C 为等腰三角形, 故 SO ? BC , 且S O ?
从而 OA ? SO =SA .
2 2 2

2 S A 2



所以 △ SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC . SA ? AC ,得 (Ⅱ)解法一:取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC, OM ? SC,AM ? SC .

∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,AO ? SO,SO BC ? O 得 AO ? 平面 SBC .
所以 AO ? OM ,又 AM ?

3 SA , 2

故 sin ?AMO ?

AO 2 6 . ? ? AM 3 3
3 . 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

解法二:以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、

y 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系 O ? xyz .

, 0, 0) ,则 C (?1 , 0,, 0) A(0, 1 ,, 0) S (0, 0, 1) . 设 B(1

1? ? 1 1? ?1 SC 的中点 M ? ? , 0, ? ,则 MO ? ? , 0, ? ?, 2? ? 2 2? ?2

1? ?1 MA ? ? , 1, ? ? , SC ? (?1 , 0, ?1) . 2? ?2

∴MO · SC ? 0, MA · SC ? 0 .
故 MO ? SC,MA ? SC,< MO, MA ? 等于二面角 A ? SC ? B 的平面角.

cos ? MO , MA ??

MO · MA MO· MA

?

3 , 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

3 . 3

10.解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 DA ? (1 , 0, 0) , CC? ? (0, 01) , .连结 BD , B ?D ? . 在平面 BB ?D ?D 中,延长 DP 交 B ?D ? 于 H . 设 DH ? (m,m, DA ?? 60 , 1)(m ? 0) ,由已知 ? DH,

, DH ? 由 DA DH ? DA DH cos ? DA
可得 2m ? 2m2 ?1 .解得 m ?

2 , 2

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ? 2 2 ? 2 2 2 ? , , 1 cos ? DH , CC ?? ? 所以 DH ? ? . (Ⅰ)因为 , ? ? 2 2 ? 2 1? 2 ? ?

CC? ?? 45 .即 DP 与 CC ? 所成的角为 45 . 所以 ? DH,
(Ⅱ)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0, 1, 0) .

2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 1 2 2 DC ?? ? , 所以 ? DH, DC ?? 60 . 因为 cos ? DH, 2 1? 2
可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30 .

11.解法一: AC ? BD , (Ⅰ) 连 BD, 设 AC 交 BD 于 O, 由题意 SO ? AC 。 在正方形 ABCD 中, 所以 AC ? 平面SBD ,得 AC ? SD . (Ⅱ)设正方形边长 a ,则 SD ? 又 OD ?

2a 。

2 a ,所以 ?SOD ? 600 , 2
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

连 OP ,由(Ⅰ)知 AC ? 平面SBD ,所以 AC ? OP ,

且 AC ? OD ,所以 ?POD 是二面角 P ? AC ? D 的平面角。 由 SD ? 平面PAC ,知 SD ? OP ,所以 ?POD ? 30 ,
0

即二面角 P ? AC ? D 的大小为 30 。
0

(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 由(Ⅱ)可得 PD ?

2 a ,故可在 SP 上取一点 N ,使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的平行 4

线与 SC 的交点即为 E 。连 BN 。在 BDN 中知 BN // PO ,又由于 NE // PC , 故平面

1 ,故 SE:EC ? 2: 1. BEN // 平面PAC ,得 BE // 平面PAC ,由于 SN:NP ? 2:
解法二: (Ⅰ) ; 连 BD ,设 AC 交于 BD 于 O , 由题意知 SO ? 平面ABCD .以 O 为坐标原点,

OB, OC, OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向,建立坐标系 O ? xyz 如图。
设底面边长为 a ,则高 SO ?

6 a。 2

于是 S (0,0,

6 2 2 a), D(? a,0,0) , C (0, a, 0) 2 2 2 2 a, 0) , 2
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

OC ? (0,

SD ? (?

2 6 a, 0, ? a) 2 2
从而

OC ? SD ? 0 故 OC ? SD

A C? S D

(Ⅱ)由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS ? (

2 6 a, 0, a) ,平面 DAC 的一个 2 2

法向量 OS ?)0, 0,

OS ? DS 3 6 ,所求二面角的 a) ,设所求二面角为 ? ,则 cos ? ? ? 2 2 OS DS

大小为 30

0

(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE // 平面PAC . 由(Ⅱ)知 DS 是平面 PAC 的一个法向量, 且 DS ? (

2 6 2 6 a,0, a), CS ? (0, ? a, a) 2 2 2 2
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

设 CE ? tCS ,

则 BE ? BC ? CE ? BC ? tCS ? (? 而 BE ? DC ? 0 ? t ?

2 2 6 a, a(1 ? t ), at ) 2 2 2

1 3
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

即当 SE : EC ? 2 :1 时, BE ? DS

而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE // 平面PAC 12. 【解析】以 H 为原点, HA, HB, HP 分别为 x, y, z 轴,线段 HA 的长为单位长,建立 空间直角坐标系如图, 则 A(1,0,0), B(0,1,0) (Ⅰ)设 C (m,0,0), P(0,0, n)(m ? 0, n ? 0)

1 m D( 0 m , , 0E ), ( , , 0). 2 2 1 m ,n ) BC , ? m( ? , 1 , 0 ) . 可得 PE ? ( , ? 2 2 m m 因为 PE ? BC ? ? ? 0 ? 0 2 2 所以 P E ? B C
则 (Ⅱ)由已知条件可得 m = ?

3 , n =1, 故 3

C( ?

3 1 3 3 ,0), E ( , ? ,0), P(0,0,1) ,0,0), D(0, ? 3 2 6 3 设面 PEH 的法向量为 n ? ( x, y, x)
则 n ? HE =0 且 n ? HP =0 则 n ? (1, 3,0) , 即

1 3 x? y ? 0 且 z =0,取 x =1,则 y = 3 , z =0, 2 6

2 , 4 2 所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 4
由 PA ? (1,0, ?1) ,可得

c o s PA n, ?

13.

∴ tan∠ MNE=

2 3 21 ,cos∠ MNE= 3 7

………………………8 分

(Ⅲ )在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥ DE……………………10 分 证明如下:在线段 BC 上取点 P。使 BP ?

1 BC ,过 P 作 PQ⊥ CD 与点 Q, 3

21 cos ? DA , n ?? ? 所以二面角 7 | DA || n |
E—DF—C 的余弦值为

DA ? n

z A E

21 …8 分 7
B x

D F P

C

(Ⅲ )在平面坐标系 xDy 中,直线 BC 的方程为

y

y ? ? 3x ? 2 3
设 P( x,2 3 ? 3x,0),则AP ? ( x,2 3 ? 3x,?2)

? AP ? DE ? AP ? DE ? 0 ? x ?

4 1 ? BP ? BC …………………10 分 3 3
…………………………12 分

所以在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥ DE 另解:设 P( x, y,0),则 AP ? DE ?

3y ? 2 ? 0? y ?

2 3 3

又 BP ? ( x ? 2, y,0), PC ? (?x,2 3 ? y,0)

……………………10 分

? BP // PC ?( x ? 2)(2 3 ? y) ? ?xy ? 3x ? y ? 2 3
把y?

4 1 2 3 代入上式得, x ? ,∴ BP ? BC , 3 3 3
………12 分

所以在线段 BC 上存在点 P 使 AP⊥ DE 14.解: (Ⅰ )取 AB 的中点 G,连结 CG,则 CG ? AB , 又 DB ? 平面ABC ,可得 DB ? CG , 所以 CG ? 面ABDE , 所以 sin ?CDG ?

CG 6 ? ,CG= 3 , CD 4

故 CD= 2 2 DB ? CD2 ? CB2 ? 2 ………3 分 取 CD 的中 点为 F,BC 的中点为 H,因为 FH // BD , AE // BD ,所以 AEFH 为平
? ?

1 2

1 2

行四边形,得 EF // AH , ………………………5 分

AH ? BC ? ? ? AH ? 平面 BCD AH ? BD ?

∴EF ? 面DBC

存在 F 为 CD 中点,DF= 2 时,使得 EF ? 面DBC …6 分 (Ⅱ )如图建立空间直角坐标系,则 C (1, 3 , 0) 、 B(0 , 0 , 0) 、
[来源:Zxxk.Com]

E (2 , 0 ,1) 、 D ? 0 , 0 , 2? ,从而 BE ? (2 , 0 ,1) ,

EC ? (?1, 3 , ? 1) , DE ? (2, 0, ?1) 。………8 分
设 n1 ? ( x , y , z ) 为平面 BCE 的法向量,

? ? n1 ? BE ? 2 x ? z ? 0 ? 则? ? ? n1 ? EC ? ? x ? 3 y ? z ? 0
可以取 n1 ? (1 , ?

3 , ? 2) 3

……………………10 分

设 n2 ? ( x , y , z ) 为平面 CDE 的法向量,

? ? n1 ? DE ? 2 x ? z ? 0 ? 取 n2 ? (1, 3,2 ) 则? ? ? n1 ? EC ? ? x ? 3 y ? z ? 0
因此, cos ? n1 ? n2 ??

……10 分

?4 6 , ?? 4 8 6 3
6 ……………12 分 4

故二面角 D ? EC ? B 的余弦值为


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