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《圆锥曲线新题型及定点问题分析》


高三冲刺讲义:《圆锥曲线新题型及定点问题分析》 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一, 也是高考重点考查的内容合热点, 知识综合性较 强, 对学生逻辑思维能力、 计算能力要求很高, 这些问题重点考查学生方程思想、 函数思想、 转化思想与划归思想的应用。 定点问题与定值问题是这类题目的典型代表, 下面我们就着重 研究这些 2 类问题; 在圆锥曲线中,有一类曲线系方程,对其参数取值不同时

,曲线本身的性质不变,或形 态发生某些变化,但其某些固有的共同性质始终保持着,这就是我们所指的定值定点问题。 圆锥曲线中的几何量,有些与参数无关,这就构成了定值定点问题,她涵盖两类问题,一是 懂曲线景观定点问题;二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数 问题。在几何问题中,有些几何量与参变数无关,即定值问题,这类问题求解策略是通过应 有赋值法找到定值,然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形。 所以在圆锥曲线的综合性问题里,定点定值问题往往是我们学习的一个难点.对于这类 问题的学习,通常有两种处理方法: ①从特殊人手,求出定点或定值,再证明这个点(值)与变量无关. ②直接推理、计算,并在计算中消去变量,从而得到定点(定值). 而第二个方法又是我们深入且归纳的重点方法,其中又包括: 1、通过定义代入化简;2、通过平面几何知识或三角知识代入;3、通过韦达定理化简; 下面我们就来介绍这些题型: 题型一:通过代入化简得定值 例 1:已知 P( x0 , y0 ) 为椭圆 求证: PF1 ? a ?

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,其中 F1、F2 为椭圆的左右焦点; a 2 b2

c c x0 , PF1 ? a ? x0 。 a a
2 2 2 0 2 0 2 2

b2 2 c ? c ? ? ( x ? c ) ? y ? x ? 2 cx ? c ? b ? x ? ? a ? x0 ? ? a ? x0 证明: PF 1 0 0 2 0 a a ? a ?
同理得证: PF1 ? a ?

c x0 a

题型二:通过平面几何知识化简得到 例 2:已知椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,右焦点为 F ,直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 相切于点 Q , 4 3

且 Q 在 y 轴的右侧,设直线 l 交椭圆 E 于不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . (1)若直线 l 的倾斜角为

? ,求直线 l 的方程; 4
y

(2)求证: | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | .

提示:用代入法转化 AF, y1 ? 3 ?

3 2 x1 4

O F Q A

l B

x

AQ= OA2 ? r 2 ;从而化简出 AF ? AQ 是一个常值。 解](1)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,则有

|m| ? 3 ,得 m ? ? 6 2

又切点 Q 在 y 轴的右 侧,所以 m ? ? 6 , 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 6 (2)因为 ?AOQ 为直角三角形,所以 | AQ |? OA ? OQ ?
2 2

x12 ? y12 ? 3

[ 来 K]



1 x12 y12 ? ? 1 得 | AQ |? x1 2 4 3


| AF |? ( x1 ? 1) 2 ? y12

1 x12 y12 ? ? 1 得 | AF |? 2 ? x1 2 4 3

所以 | AF | ? | AQ |? 2 ,同理可得 | BF | ? | BQ |? 2 所以 | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | 题型三:通过定义化简得到: 例 3:某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中 AC 、 BD 是过抛 物线 ? 焦点 F 的两条弦,且其焦点 F ( 0 ,1) , AC ? BD ? 0 ,点 E 为 y 轴上一点,记

?EFA ? ? ,其中 ? 为锐角.
(1)求抛物线 ? 方程; (2)求证: AF ?

2(cos ? ? 1) . sin 2 ? 2(cos ? ? 1) 2(1 ? sin ? ) , DF ? ; 2 cos 2 ? sin ?

(3)如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求 ? 的大小? 第(3)问提示: AF ?

想想 BF 和 DF 如何参加他们也可以写出来。 之后面积问题就转化为三角求最值问题了。 解析:(1) 由抛物线 ? 焦点 F ( 0 ,1) 得,抛物线 ? 方程为 x ? 4 y
2

(2) 设 AF ? m ,则点 A(?m sin ? , m cos? ? 1)
2 所以, (?m sin ? ) ? 4(1 ? m cos? ) ,既 m sin ? ? 4m cos? ? 4 ? 0
2 2

2(cos ? ? 1) ; sin 2 ? 2(1 ? sin ? ) 2(1 ? sin ? ) (3)同理: BF ? , DF ? , 2 cos 2 ? cos ?
解得

AF ?

CF ?

2(1 ? cos ? ) sin 2 ?

“蝴蝶形图案”的面积 S ? S ?AFB ? S ?CFD ?

1 1 4 ? 4 sin ? cos? AF ? BF ? CF ? DF ? 2 2 (sin? cos? ) 2

令 t ? sin ? cos? , t ? ? ? 0 , 2 ? , ? t ? ?2,?? ? ? ? 则S ?4

?

1?

1

1 ? 1? t ?1 1 ? ? 4? ? ? ? 1 , ? ? 2 时,即 ? ? “蝴蝶形图案”的面积为 8 2 t 4 t ?t 2?

2

题型四:通过韦达化简得到 例 4、已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O ,焦点在坐标轴上,且经过 M (2,1)、N (2 2,0) 两 点, P 是 E 上的动点. (1)求 OP 的最大值; ( 2 )若平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 b(b ? 0) ,直线 l 交椭圆 E 于两个不同点

A、B ,求证:直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补.
[解](1)设椭圆 E 的方程为 mx2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 将 M (2,1), N (2 2,0) 代入椭圆 E 的方程,得 ?

?4m ? n ? 1 ???2 分 ? 8m ? 1
????2 分

1 1 x2 y 2 ? ?1 解得 m ? , n ? ,所以椭圆 E 的方程为 8 2 8 2
2 2 ? y0 设点 P 的坐标为 . (x0 , y0 ) ,则 OP ? x0 2

又 P( x0 , y0 ) 是 E 上的动点,所以
2

2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,得 x0 , ? 8 ? 4 y0 8 2

2 2 2 代入上式得 OP ? x0 ? y0 ? 8 ? 3 y0 , y0 ? ? ? 2, 2 ?

?

?

故 y0 ? 0 时, OP max ? 2 2 . OP 的最大值为 2 2 . (2)因为直线 l 平行于 OM ,且在 y 轴上的截距为 b ,又 kOM ?

1 ,所以直线 l 的方程为 2

y?

1 x?b. 2

1 ? y ? x?b ? ? 2 2 2 由? 2 得 x ? 2bx ? 2b ? 4 ? 0 2 x y ? ? ?1 ? 2 ?8
设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2b, x1x2 ? 2b2 ? 4 . 又 k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 , x1 ? 2 x2 ? 2 y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) . ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

故 k1 ? k2 ? 又 y1 ?

1 1 1 1 x1 ? b, y2 ? x2 ? b , 所以上式分子 ? ( x1 ? b ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? b ? 1)( x1 ? 2) 2 2 2 2

k ?0. ? x1 x2 ?( b ?2 ) ( x b ? 1) ?2 b 2 ? 4 ? b( ? 2 ) ?( b 2 ?) b 4? ( 故? 1) 1 ? k20 1 ? x 2 )? 4(
所以直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补. 题型五、通过类比结论得到 例 5:椭圆 T 的中心为坐标原点 O ,右焦点为 F (2, 0) ,且椭圆 T 过点 E (2, 2) .

N、 P. 若 ?ABC 的三个顶点都在椭圆 T 上,设三条边的中点分别为 M 、
(1)求椭圆 T 的方程; (2)设 ?ABC 的三条边所在直线的斜率分别为 k1 、 k 2 、k3 ,且 ki ? 0, i ? 1, 2,3 .

ON 、OP 的斜率之和为 0,求证: 若直线 OM 、

1 1 1 ? ? 为定值. k1 k2 k3

x2 y 2 ' 解:(1)设椭圆 T 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,由题意知:左焦点为 F (?2, 0) a b
所以 2a ?| EF | ? | EF ' | ?

2 ?3 2 ,

解得 a ? 2 2 , b ? 2 .故椭圆 T 的方程为 (方法 2、待定系数法)

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) , M ( s1 , t1 ), N ( s2 , t2 ), P ( s3 , t3 ) , 由: x1 ? 2 y1 ? 8 , x2 ? 2 y2 ? 8 ,
2 2 2 2

两式相减,得到 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 所以 k1 ?

y1 ? y2 1 x ?x 1s t 1 ? ? 1 2 ? ? 1 ,即 ? ?2 1 , x1 ? x2 2 y1 ? y2 2 t1 k1 s1

t t 1 1 ? ?2 2 , ? ?2 3 k2 s2 k3 s3 t t t 1 1 1 ? ? ?2( 1 ? 2 ? 3 ) ,又因为直线 OM , ON , OP 的斜率之和为 0, 所以 ? k1 k2 k3 s1 s2 s3 1 1 1 ? ?0 所以 ? k1 k2 k3
同理 方法 2、(可参照方法 1 给分) 设直线 AB : y ? t1 ? k1 ( x ? s1 ) ,代入椭圆 x ? 2 y ? 8 ,得到
2 2

(1 ? 2k12 ) x 2 ? 4(t1 ? k1s1 )k1 x ? 2(t1 ? k1s1 ) 2 ? 8 ? 0 ?4(t1 ? k1s1 )k1 1s x1 ? x2 ? ? 2 s1 ,化简得 k1 ? ? 1 (以下略) 2 1 ? 2k1 2 t1
题型六:其他综合问题
2 例 6:已知抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 交此抛物线于不同的两个点 A( x1 ,

y1 ) 、

B( x2 ,

y2 ) . 0) 时,证明 y1 ? y 2 为定值;

(1)当直线 l 过点 M ( p,

(2)当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说 明理由; (3)如果直线 l 过点 M ( p,

0) ,过点 M 再作一条与直线 l 垂直的直线 l ? 交抛物线 C 于两

个不同点 D 、 设线段 AB 的中点为 P , 线段 DE 的中点为 Q , 记线段 PQ 的中点为 N . 问 E. 是否存在一条直线和一个定点,使得点 N 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这 个定点;若不存在,请说明理由.
2 答案:(1) y1 ? y 2 ? ?2 p ;(2) ( ,

1 2

0) .(3)存在直线 x ?

15 p 17 p , 0) , ,点 ( 8 8

点 N 到它们的距离相等. 例 7: 在平面直角坐标系 xOy 中, 方向向量为 d ? (1, k ) 的直线 l 经过椭圆 的右焦点 F ,:与椭圆相交于 A 、 B 两点 (1)若点 A 在 x 轴的上方,且 | OA |?| OF | ,求直线 l 的方程; (2)若 k ? 0 , P(6,0) 且△ PAB 的面积为 6 ,求 k 的值;

x2 y2 ? ?1 18 9 y

O
(3)当 k ( k ? 0 )变化时,是否存在一点 C ( x0 ,0) ,使得直线 AC 和 BC 的

F

x

斜率之和为 0 ,若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由. 答案:(1) x ? y ? 3 ? 0 ;(2) k ? 1 ;(3)存在一点 (6,0) 。 例 8: 动圆 C 过定点 F ? 为 F ( x, y) ? 0 . (1)求 F ( x, y) ? 0 ; (2)曲线 ? 上的一定点 p ? x0 , y0 ? ( y0 ? 0) 方向向量 d ? ( y0 , ? p) 的直线 l (不过点 P )与 曲线 ? 交于 A 、 B 两点,设直线 PA 、 PB 斜率分别为 k PA 、 k PB ,计算 kPA ? kPB ;
' ' (3)曲线 ? 上的两个定点 P 0 ( x0 , y0 ) 、 Q0 ( x0 , y0 ) 分别过点 P0 、 Q0 做倾斜角互补的两条直

p ?p ? , 0 ? 且与直线 x ? 相切,其中 P ? 0 .设圆心 C 的轨迹 ? 的方程 2 ?2 ?

? ?

N 两点,求证直线 MN 的斜率为定值. 线P 0 M 、 Q0 N 分别与曲线 ? 交于 M 、
答案:(1) y ? 2 px? p ? 0? ;
2

(2) k AP ? k BP ?

y1 ? y 0 y 2 ? y 0 y ? y0 y ? y0 2p 2p ? = 21 = ? 22 ? 2 2 x1 ? x0 x2 ? x0 y1 y y 2 y 0 y1 ? y 0 y 2 ? y 0 ? 0 ? 2p 2p 2p 2p

=

2 p( y1 ? y 2 ? 2 y0 ) =0. ( y1 ? y 0 )( y 2 ? y0 )
MN

(3)? k

??

2p y0 ? y0

?

例:9: 已知椭圆 C 的方程为 一点. (1)求该椭圆的标准方程;

x2 y 2 2 7 ? ? 1 (a ? 0) ,其焦点在 x 轴上,点 Q ( , ) 为椭圆上 2 a 2 2 2

??? ? ???? ? ???? (2) 设动点 P ( x0 , y0 ) 满足 OP ? OM ? 2ON , 其中 M 、N 是椭圆 C 上的点, 直线 OM 与 ON

1 2 2 ? 2 y0 的斜率之积为 ? ,求证: x0 为定值; 2
(3)在(2)的条件下探究:是否存在两个定点 A, B ,使得 PA ? PB 为定值? 若存在, 给出证明;若不存在,请说明理由 . 答案:(1)

x2 y2 2 2 ? ? 1 ;(2) x0 ? 2 y0 ? ( x1 ? 2x2 ) 2 ? 2( y1 ? 2 y2 ) 2 4 2

? ( x1 ? 2 y1 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4x1 x2 ? 8 y1 y2 ? 20 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 )
? 20 (定值)
(3)存在点 A( 10,0 )、B( ? 10,0 ),使得 | PA | ? | PB | = 4 5 (定值) 例 10:设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的动直线 l 交抛物线 C 于点

2

2

2

2

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 且 y1 y2 ? ?4 .
(1)求抛物线 C 的方程; (2)若 OE ? 2(OA ? OB) ( O 为坐标原点),且点 E 在抛物线 C 上,求直线 l 倾斜角; (3)若点 M 是抛物线 C 的准线上的一点,直线 MF , MA, MB 的斜率分别为 k0 , k1 , k2 .求 证:当 k 0 为定值时, k1 ? k2 也为定值. 答案:(1) y 2 ? 4 x .(2)直线 l 的倾斜角为 arctan 2 或 π ? arctan 2 . (3) k0 ?

??? ?

??? ? ??? ?

yM y ? M ,可得 yM ? ?2k0 , xM ? 1 ?2

由(2)知 y1 ? y2 ? 4a, 又 y1 y2 ? ?4 , ∴ k1 ? k2 ?

y1 ? 2k0 y2 ? 2k0 y1 ? 2k0 y2 ? 2k0 ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ay1 ? 2 ay2 ? 2 ? y 2) 8 0k

?
?

2a 1 y 2 y ? 2 0 k ( a?1 y ) ? 2 y 2 (? 1 y 2 a 1 y 2 y ? 2 (a 1 ?y ) y 4 2?

?8a ? 8k0 a 2 ? 8a ? 8k0 8k0 (a 2 ? 1) ? ? 2k0 ,又 k 0 为定值, ?4a 2 ? 8a 2 ? 4 4(a 2 ? 1)

所以 k1 ? k2 也为定值. 例 11:已知双曲线 C 的中心在原点, D ?1,0 ? 是它的一个顶点, d ? (1, 2) 是它的一条渐 近线的一个方向向量. (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若过点( ?3, 0 )任意作一条直线与双曲线 C 交于 A, B 两点 ( A, B 都不同于点 D ), 求证: DA ? DB 为定值; (3) 对于双曲线?:

? ?

??? ? ??? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) , E 为它的右顶点, M , N 为双曲线? a 2 b2

上的两点(都不同于点 E ),且 EM ? EN ,那么直线 MN 是否过定点?若是,请求 出此定点的坐标;若不是,说明理由.然后在以下三个情形中选择一个,写出类似结

论(不要求书写求解或证明过程).情形一: 双曲线 它的左顶点; 情形二:抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 及它的顶点;

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 及 a 2 b2

情形三:椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 及它的顶点. a 2 b2

??? ? ??? ? y2 ? 1 ;(2) DA ? DB =0 为定值; 答案:(1) x ? 2
2

(3) MN 过定点(

a (a 2 ? b 2 ) ,0). a 2 ? b2

情形一:在双曲线? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 中,若 E? 为它的左顶点, M , N 为 a 2 b2

? N , 则 直 线 MN 过 定 点 双 曲 线 ? 上 的 两 点 ( 都 不 同 于 点 E? ) , 且 E ? M ? E

a(a 2 ? b 2 ) (? ,0). a 2 ? b2
情形二:在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 中,若 M , N 为抛物线上的两点(都不同于原点 O ),且
2

OM ?ON ,则直线 MN 过定点 (2 p, 0) .
情形三:(1)在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中,若 E 为它的右顶点, M , N 为椭圆上的 a 2 b2 a (a 2 ? b 2 ) ,0); a 2 ? b2

两点(都不同于点 E ), 且 EM ? EN ,则直线 MN 过定点(

(2)在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中,若 E? 为它的左顶点, M , N 为椭圆上的两点(都不 a 2 b2 a (b 2 ? a 2 ) ,0) ; a 2 ? b2

同于点 E? ),且 E ?M ? E ?N ,则直线 MN 过定点(

x2 y 2 (3)在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 中,若 F 为它的上顶点, M , N 为椭圆上的两点(都不 a b
同于点 F ), 且 FM ? FN ,则直线 MN 过定点(0,

b(b 2 ? a 2 ) ); a 2 ? b2

(4)在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中,若 F? 为它的下顶点, M , N 为椭圆上的两点(都不 a 2 b2 b( a 2 ? b 2 ) ). a 2 ? b2

同于点 F? ), 且 F ?M ? F ?N ,则直线 MN 过定点(0, 【课后作业】

1.A、B 是抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)上的两点,且 OA⊥OB,求证: (1)A、B 两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值; (2)直线 AB 经过一个定点。 证明:(1)设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ),则 y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 。 ∵ y12 ? y22 ? 2 px1 ? 2 px2 = 4 p2 x1x2 ? ?4 p2 y1 y2 ,∴ y1 y2 ? ?4 p2 为定值,

x1 x2 ? ? y1 y2 ? 4 p2 也为定值。
(2)∵ y22 ? y12 ? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 2 p( x1 ? x2 ) ,∵ x1 ? x2 ,∴

y2 ? y1 2p ? x2 ? x1 y1 ? y2

∴直线 AB 的方程为: y ? y1 ?

y2 2p 2p 4 p2 x ? 1 ? y1 ? x? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

?

2p ( x ? 2 p) ,∴直线 AB 过定点(2p,0)。 y1 ? y2
1 2 x ? h ,点 A、B 及点 P(2,4)都在抛物线上,直线 PA 与 PB 的 2

2.已知抛物线方程为 y ? ? 倾斜角互补。

(1)试证明直线 AB 的斜率为定值; 解析:(1)证明:把 P(2,4)代入 y ? ?

1 2 x ? h ,得 h=6。 2

? y ? 4 ? k ( x ? 2) ? 所以抛物线方程为:y-4=k(x-2),由 ? ,消去 y,得 1 y ? ? x2 ? 6 ? ? 2
x2 ? 2kx ? 4k ? 4 ? 0 。

?4k ? 4 ? ? ?2k ? 2 ? xA ? 所以 ? ,因为 PA 和 PB 的倾角互补,所以 kPB ? ?kPA ? ?k ,用 2 ? y ? ?2k 2 ? 4k ? 4 ? A

-k 代 k,得 ?

? xB ? 2k ? 2 ? yB ? ?2k ? 4k ? 4
2

,所以 k AB ?

yB ? y A x A ? xB

?

8k ?2k 2 ? 4k ? 4 ? 2。 = 2k ? 2 ? (?2k ? 2) 4 k

3、设抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴,证明:直线 AC 经过原点。 方法 1:设直线方程为 y ? k ( x ?

p ?p ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,C ( , y2 ) ,∴ 2 2

p ? 2 py y y 2p ? y ? k(x ? ) 2 ? p 2 ? 0 ,∴ y1 y2 ? ? p 2 , kOA ? 1 , kOC ? 2 ? ,又 2 ,y ? ? p k x y 2 1 1 ? y ? 2 px ? ? 2
∵ y12 ? 2 px1 ,∴ kOC ?

y1 ? kOA ,即 k 也是直线 OA 的斜率,所以 AC 经过原点 O。 x1

当 k 不存在时,AB⊥x 轴,同理可证 kOC ? kOA 。 方法 2:如图 2 过 A 作 AD⊥l,D 为垂足,则: AD∥EF∥BC 连结 AC 与 EF 相交于点 N,则 D y A

| EN | | CN | | BF | | NF | | AF | ? ? ? , , 由抛物线 | AD | | AC | | AB | | BC | | AB |
的定义知:|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,∴

O E C N B 图3 F x

| EN |?

| AD | ? | BF | | AF | ? | BC | ? ?| NF | . | AB | | AB |

4、已知点 A(1,0) , P1 、 P2 、 P3 是平面直角坐标系上的三点,且 AP 1 、 AP 2 、 AP 3 成等 差数列,公差为 d , d ? 0 . (1)若 P1 坐标为 ?1, ?1? , d ? 2 ,点 P3 在直线 3x ? y ? 18 ? 0 上时,求点 P3 的坐标;
2 2 2 (2) 已知圆 C 的方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? r (r ? 0) , 过点 A 的直线交圆于 P 1、P 3 两点,

P2 是圆 C 上另外一点,求实数 d 的取值范围;
(3)若 P1 、 P2 、 P3 都在抛物线 y ? 4 x 上,点 P2 的横坐标为 3 ,求证:线段 P 1P 3 的垂直平
2

分线与 x 轴的交点为一定点,并求该定点的坐标. 答案:(1) P3 的坐标为 ? 5, ?3? 或 ? 6, 0 ? (2)当 0 ? r ? 13 时, ? r ? d ? 0 或 0 ? d ? r ;当 r ? 13 时, ? 13 ? d ? 0 或

0 ? d ? 13
(3)直线 l 与 x 轴的交点为定点 ? 5,0 ? 5、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A, B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 答案:(1)?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
2 7

(2):直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 6、已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值 为 2 ? 1 ,且

c 2 ? ﹒ a 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过点 ?1 , 0 ? 作直线 ? 交 E 于 P 、 Q 两点,试问:在 x 轴上是否存在一个定点 M , ???? ???? ? MP ? MQ 为定值?若存在,求出这个定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由﹒

???? ???? ? x2 5 7 ? y 2 ? 1 ;(2)所以 M( ,0),MP ? MQ ? ? ; 答案:(1) 4 16 2
7、已知椭圆的焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 x ? 4 y 的焦点,且
2

c 2 ? , a 5

过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l ,交椭圆于 A 、 B 两点。 (I)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 M (m, 0) 是线段 OF 上的一个动点,且 (MA ? MB) ? AB ,求 m 的取值范围; (Ⅲ) 设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点, 在 x 轴上是否存在一个定点 N , 使得 C 、B 、N 三点共线?若存在,求出定点 N 的坐标,若不存在,请说明理由。

???? ????

??? ?

???? ???? ??? ? 8 x2 ? y 2 ? 1;(2)? 当 0 ? m ? 时,有 (MA ? MB) ? AB 成立。 答案:(1) 5 5
(3)在 x 轴上存在定点 N ( , 0) ,使得 C B N 三点共线。

5 2


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