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2017浙江单招数学模拟试卷II(附答案)


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根据历年单招考试大纲出题

2017 浙江单招数学模拟试卷 II(附答案)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,在答题卡上的相应题目的答题区域内填上。) 1. 复数 z ? (a ? i)(3 ? 4i) ? R ,则

实数 a 的值是( )

A. ?

3 3 B. 4 4

C.

4 4 D.- 3 3

2.根据右边程序框图,若输出 y 的值是 4,则输入的实数 x 的 值为( A. 1 ) B. ?2 第 2 题图

C. 1 或 2 D. 1 或 ?2

π π 3.函数 y=log3cos x(- <x< )的图象是( 2 2

)

A

B

C

D

? ? ? ? 4. 已知向量 a ? ? 2cos? ,2sin? ? , b ? ? 3cos? ,3sin? ? ,若 a 与 b 的夹角为 60? ,则直线
2 xcos? ? 2 ysin? ? 1 ? 0 与圆 ? x ? cos? ? ? ? y ? sin? ? ? 1 的位置关系是( )
2 2

A.相交但不过圆心

B.相交且过圆心

C.相切

D.相离

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5.如图,函数 y ? f ? x ? 的图象在点 P 处的切线方程是

y ? ? x ? 8 ,则 f ?5? ? f ? ?5? ? ( )
1 2

A.

B. 1

C.2

D.0

6.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;

? =3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位; ②设有一个回归方程 y ? =bx+a 必过 ( x , y ) ; ③线性回归方程 y
④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系; ⑤在一个 2× 2 列联表中,由计算得 k2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90%; 其中错误 的个数是( ) .. A.1 D.4 7.三视图如右图的几何体的全面积是( ) A. 2 ? B.2 C.3

2

B. 1 ? 2

考单招上高职单招网---C. 2 ? 3 8. 下列命题错误的是( )

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D. 1 ? 3 第 7 题图

A. ?? , ? ? R, cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? B. ?x , k ? R, sin( x ? k ? 2? ) ? sin x

C. ?x ? ?0,

? ? ?? ? , sin( x ? ) ? sin x 2 3 ? ?

D. ?x ? R+, ?k ? R, sin x ? kx

1 ? ? 4 9、在 ? x ? ? 的展开式中, x 的系数为( 2 x ? ?
A. ?120 B. 120 C. ?15

10



D. 15

与AB 的夹角为 θ,则 10.设点 A 是圆 O 上一定点,点 B 是圆 O 上的动点, AO

??

?
6

的概

率为( )

A.

1 6
D.

B.

1 4

C.

1 3

1 2

11.设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点。若双曲线上存在点 A,使∠ a 2 b2
)

F1AF2=90?,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为(

考单招上高职单招网---A.

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C.

5 2


B.

10 2

15 2

D.

5

12.下列结论(

①命题“ ?x ? R, x 2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? x ? 0 ”; ②当 x ? (1,??) 时,函数 y ? x , y ? x 2 的图象都在直线 y ? x 的上方; ③定义在 R 上的奇函数 f ?x ? ,满足 f ?x ? 2? ? ? f ?x ? ,则 f ?6? 的值为 0. ④若函数 f ?x? ? mx2 ? ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为 1 m≥ . 2 其中,正确结论的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1 2

第Ⅱ卷(90 分) 二、填空题(本大题 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,只填结果,不要过程。)

13.

? ? 2x ? e ? dx ? .
2 x 0

14.极点到直线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 3 的距离是_____________。 15.已知 x、 y 的取值如下表所示: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

? ? 0.95x ? a ,则 a=_______________; 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且 y
16.设 100 件产品中有 70 件一等品,25 件二等品,规定一.二等品为合格品.从中 任取 1 件,已知取得的是合格品,则它是一等品的概率为

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三.解答题(本大题共 6 个小题,共 12+12+12+12+12+14=74 分,解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。) 17(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? a(2 cos 2

x ? sin x) ? b. 2

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 a ? 0 ,且 x ?[ 0 , ? ] 时, f ( x) 的值域是 [ 3 , 4 ] ,求 a、b 的值.

18、最近,李师傅一家三口就如何将手中的 10 万块钱投资理财,提出了三种方案: 第一种方案:将 10 万块钱全部用来买股票.据分析预测:投资股市一年可能获利 40%,也可能亏损 20%(只有这两种可能),且获利的概率为 .

第二种方案:将 10 万块钱全部用来买基金.据分析预测:投资基金一年可能获利 20%,也可能损失 10%,也可能不赔不赚,且三种情况发生的概率分别为 . , ,

考单招上高职单招网---5%.

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第三种方案:将 10 万块钱全部存入银行一年,现在存款利率为 4%,存款利息税率为

针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方法,并说明理由.

19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与 底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,N 是 PB 中点,截面 DAN 交 PC 于 M. (1)求 PB 与平面 ABCD 所成角的大小; (2)求证:PB⊥平面 ADMN; (3)求以 AD 为棱,PAD 与 ADMN 为面的二面角的大小.

2 20.已知正项数列 ?an ? 中, a1 ? 6 ,点 An an , an ?1 在抛物线 y ? x ? 1 上;数列 ?bn ? 中,

?

?

点 Bn ? n, bn ? 在过点 ? 0,1? ,以方向向量为 ?1,2? 的直线上.

考单招上高职单招网---(1)求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式;
? ?an , ( 2 )若 f ? n ? ? ? ? ?bn ,

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? n为奇数? ,问是否存在 k ? N ? n为偶数?

,使 f ? k ? 27 ? ? 4 f ? k ? 成立,

若存在,求出 k 值;若不存在,说明理由;
a n ?1 ? 1 ?? 1? ? 1? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? b1 ?? b2 ? ? bn ? an n ? 2 ? an

(3)对任意正整数 n ,不等式

?

? 0 成立,求正数 a

的取值范围.

21、在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C (0,p) 作直线与抛物线 x2 ? 2 py ( p ? 0 ) 相交于 A,B 两点. (1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值; (2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值? 若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由.

y B

C A O N

x

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22、(14 分)已知 F(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0)

(1)、讨论 F(x)的单调性;(6 分) (2)、证明: ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ? 1 ? 1 ? 4 ???1 ? 4 ? ? e 4 ?? 2 ?? 3 ? ? n ?

(n 是大于 1 的正整数)(8 分)

安徽龙亢农场中学 09 年高三高考预测卷(二)

参考答案
一、选择题:1-6 B D A C C C 7-12 A D CC B C 二、填空题 13. 5 ? e ; 14. d ?
2

3 2

?

6 ; 15.2.6; 2

16. 14
19

三.解答题 17. 解(1) ? f ( x) ? 1 ? cos x ? sin x ? b ? 2 sin( x ?

?
4

) ? b ?1 ,

考单招上高职单招网---∴递增区间为 [2k? ?

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3? ? ,2k? ? ], k ? Z . ----------------------6 分 4 4
?

(2) ? f ( x) ? a(sin x ? cos x) ? a ? b ? 2a sin( x ? 4 ) ? a ? b,

而 x ?[0, ? ], x ?

?

? 5? ? 2 ?[ , ], sin( x ? ) ?[? ,1] , 4 4 4 4 2
? ?a ? 2 ? 1 ?? --------------- 12 分 ? ?b ? 3.

? 2a ? a ? b ? 4, ? 故? 2 ) ? a ? b ? 3, ? 2 a( ? 2 ?

18、

19.解:解法一:(1)取 AD 中点 O,连结 PO,BO. △ PAD 是正三角形,所以 PO⊥AD,…………………1 分 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,

考单招上高职单招网---所以 PO⊥平面 ABCD,…………2 分 BO 为 PB 在平面 ABCD 上的射影,

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所以∠PBO 为 PB 与平面 ABCD 所成的角……………3 分 由已知△ ABD 为等边三角形,所以 PO=BO= 3 , 所以 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°.…………4 分 (2)△ ABD 是正三角形,所以 AD⊥BO,所以 AD⊥PB,……………………… 5 分 又,PA=AB=2,N 为 PB 中点,所以 AN⊥PB,…………………………………… 6 分 所以 PB⊥平面 ADMN.……………………………………………………………… 8 分 (3)连结 ON,因为 PB⊥平面 ADMN,所以 ON 为 PO 在平面 ADMN 上的射影, 因为 AD⊥PO,所以 AD⊥NO,…………………………………………………… 9 分 故∠PON 为所求二面角的平面角.………………………………………………… 10 分 因为△ POB 为等腰直角三角形,N 为斜边中点,所以∠PON=45°, 即所求二面角的大小为 45°…………………………………………………………12 分 解法二:(1)同解法一 (2)因为 PO⊥平面 ABCD, 所以 PO⊥BO,△ ABD 是正三角形,所以 AD⊥BO, 以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,……………………………………5 分

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由已知 O(0,0,0),B(0, 3 ,0,),P(0,0,

3 ),
A(1,0,0),D(-1,0,0),N(0, 3 , 3 ),
2 2

所以 AD ? (?2,0,0), BP ? (0, ? 3, 3),
???? 3 3 AN ? (?1, , ) ,………………………… 6 分 2 2

??? ?

??? ?

所以 AD ? BP ? 0, AN ? BP ? 0 ,…………… 7 分 所以 AD⊥PB,AN⊥PB,所以 PB⊥平面 ADMN,………………………… 8 分 (3)因为 AD⊥PB,AD⊥BO,所以 AD⊥平面 POB, 所以 ON⊥AD, 又 PO⊥AD,所以故∠PON 为所求二面角的平面角. …………………………10 分
3 3 , ) 2 2
3 2 6 3? 2

因为 OP ? (0,0, 3 ), ON ? (0,

设所求二面角为 ? ,则 cos? ? OP ? ON ?
| OP || ON |

?

2 ,…………………… 11 分 2

所以 ? =45°,即所求二面角的大小为 45°.…………………………………………12 分
2 20.解:(1)将点 An an , an ?1 代入 y ? x ? 1 中得

?

?

an ?1 ? an ? 1 ?

an ? a1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ? 5

? an ?1 ? an ? d ? 1

…………………………………………(4 分)

直线l : y ? 2 x ? 1, ? bn ? 2n ? 1

考单招上高职单招网---? ?n ? 5, (2) f ? n ? ? ? ? ?2n ? 1,

根据历年单招考试大纲出题

? n为奇数 ? ………………………………(5 分) ? n为偶数 ?
? f ? k ? 27 ? ? 4 f ? k ?

当k为偶数时,k ? 27为奇数, ? k ? 27 ? 5 ? 4 ? 2k ? 1? , 2 ? k ? 27 ? ? 1 ? 4 ? k ? 5 ? , 当k为奇数时,k ? 27为偶数, ?

? k ?4

……………………(8 分)
? k? 35 ? 舍去? 2

综上,存在唯一的k ? 4符合条件。
a n ?1 ? 1 ?? 1? ? 1? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? b b b 1 ?? 2 ? n ? ? ? an n ? 2 ? an

(3)由

?

?0

即a ?

? 1 ?? 1? ? 1? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? 2n ? 3 ? b1 ?? b2 ? ? bn ? 1 ? 1 ?? 1? ? 1? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? 2n ? 3 ? b1 ?? b2 ? ? bn ? 1 ? 1 ?? 1? ? 1 ?? 1 ? ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ??1 ? 2n ? 5 ? b1 ?? b2 ? ? bn ?? bn ?1 ? 1 2n ? 3 ? 1 ? 2n ? 3 2n ? 4 2n ? 4 ? ?1 ? ? ? ?? 2n ? 5 ? bn ?1 ? 2 n ? 5 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 3

记f ? n ? ? ? ? ? ? ? ?

f ? n ? 1? ? f ? n ? 1? f ?n? ?

?1 4n 2 ? 16n ? 15 f ? n ? 1? ? f ? n ? , 即f ? n ? 递增, f ? n ?min ? f ?1? ? 0?a? 4 5 15 1 4 4 5 ? , 5 3 15 ?

4n 2 ? 16n ? 16

? p) ,可设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) , 21、解法 1:(1)依题意,点 N 的坐标为 N (0,

? x 2 ? 2 py, 直线 AB 的方程为 y ? kx ? p ,与 x ? 2 py 联立得 ? 消去 y 得 ? y ? kx ? p. x2 ? 2 pkx ? 2 p2 ? 0 .
2
2 由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 p .

考单招上高职单招网---1 2

根据历年单招考试大纲出题
y B

于是 S△ ABN ? S△ BCN ? S△ ACN ? · 2 p x1 ? x2 .

? p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2
? p 4p k ?8p ? 2p
2 2 2 2

C A O N

k ?2 ,
2

∴ 当 k ? 0 时, (S△ABN )min ? 2 2 p .
2

x

(2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,

AC 的中点为 O? , l 与 AC 为直径的圆相交于点 P , Q,PQ 的中点为 H ,
则 O?H ? PQ , Q? 点的坐标为 ?

? x1 y1 ? p ? , ?. 2 ? ?2

∵ O?P ?

1 1 2 1 AC ? x1 ? ( y1 ? p ) 2 ? y12 ? p 2 , 2 2 2

O?H ? a ?
2

y1 ? p 1 ? 2a ? y1 ? p , 2 2
2 2

∴ PH ? O?P ? O?H

?

1 2 1 ( y1 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p) 2 4 4

p? 2 ? p? ? ? ? ? a ? ? y1 ? a( p ? a) ,∴ PQ ? (2 PH ) 2 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? . ? 2? 2? ? ?? ?
令a?

p p ? 0 ,得 a ? ,此时 PQ ? p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 2 2

y?

p , 2

即抛物线的通径所在的直线. 解法 2:(1)前同解法 1,再由弦长公式得

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2· ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2· 4 p 2 k 2 ? 8 p 2

? 2 p 1 ? k 2· k 2 ? 2 ,

考单招上高职单招网---又由点到直线的距离公式得 d ?

根据历年单招考试大纲出题


2p 1? k 2

· AB ? · 2 p 1 ? k 2· k 2 ? 2 · 从而 S△ ABN ? · d

1 2

1 2

2p 1? k
2

? 2 p2 k 2 ? 2 ,

∴ 当 k ? 0 时, (S△ABN )min ? 2 2 p2 .
(2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,则以 AC 为直径的圆的方程为

( x ? 0)( x ? x1 ) ? ( y ? p)( y ? y1 ) ? 0 ,
2 将直线方程 y ? a 代入得 x ? x1 x ? (a ? p)(a ? y1 ) ? 0 ,

则 △? x12 ? 4(a ? p)(a ? y1 ) ? 4 ?? a ?

?? ??

p? ? ? y1 ? a( p ? a) ? . 2? ?

设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P( x3,y3 ),Q( x4,y4 ) ,则有

?? p? ? p? ? PQ ? x3 ? x4 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? ? 2 ? a ? ? y1 ? a ( p ? a) . 2? 2? ? ?? ?
令a?

p p ? 0 ,得 a ? ,此时 PQ ? p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 2 2

y?

p , 2

即抛物线的通径所在的直线.
/ (1)⑴ f ( x) ?

2x ax2 ? 2 x ? a ? a ? 1? x2 1? x2

(2 分)

2x ? 0 ? x ? 0, f / ( x) ? 0 ? x ? 0 2 1? x ①:若 a=0 时, ? f ( x)在 (0, ? ?) 上单调递增, 在( ? ?, 0) 上单调递减 f / ( x) ?
分) ②:

(4

令g ( x) ? ax2 ? 2 x ? a, 若

?

a ?0 ? ?0

? a ? ?1时,g ( x) ? 0, 也即f / ( x) ? 0, 对x ? R恒成立。

f / ( x)在R上单调递减 。

考单招上高职单招网---③: 若 ? 1 ? a ? 0,由

根据历年单招考试大纲出题

1? 1? a2 1? 1? a2 f /( x) ? 0 ? ax ? 2 x ? a ? 0 ? ?x? a a
2

f /( x) ? 0 ? x ?

1? 1? a2 1? 1? a2 或x> a a

f ( x)在(

1? 1? a2 1? 1? a2 , ) 上单调递增: a a

1? 1? a2 1? 1? a2 在( ? ?, ) 和( ,? ?) 上单调递减 a a
时,f ( x)在R上单调递减 ⑵:由⑴当 a ? ?1
当 x ? (0,??)时f ( x) ? f (0),?ln( 1 ? x 2 ) ? x ? 0即ln(1 ? x2 ) ? x

(9 分)

(11 分)

?(1 ? 214 )(1 ? 214 )?(1 ? 214 ) ? e
ln[(1 ? 214 )(1 ? 314 )?(1 ? n14 )] ? ln(1 ? 214 ) ? ln(1 ? 314 ) ??? ln(1 ? ?
1 2
2

(14 分)
1 n4

) ? 1? 1 n ?1

?

1 3
2

1 1 ??? n12 ? 1? 2 ? 2?3 ???

1 n ( n?1)


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