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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第二章 2.3(二)


§ 2.3
一、基础过关

数学归纳法(二)

?n+3??n+4? 1. 用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= (n∈N*),验证 n=1 时,左 2 边应取的项是 A.1 C.1+2+3 B.1+2 D.1+2+3+4 ( )

2. 用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的

自然数 n 都成立”时,第一步证明中的起始 值 n0 应取 ( A.2 ) B.3 C.5 D.6

1 1 1 n + 3. 已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N+),证明不等式 f(2n)> 时,f(2k 1)比 f(2k)多的项数是 2 3 n 2 ( A.2
k-1

)



B.2

k+1



C.2k 项 4. 用数学归纳法证明不等式

D.以上都不对 1 1 1 11 + +?+ > (n∈N*)的过程中,由 n=k 递推到 n 2n 24 n+1 n+2

=k+1 时,下列说法正确的是 ( ) 1 A.增加了一项 2?k+1? 1 1 B.增加了两项 和 2k+1 2?k+1? 1 C.增加了 B 中的两项,但又减少了一项 k+1 1 D.增加了 A 中的一项,但又减少了一项 k+1 5. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n2an (n∈N*).依次计算出 S1,S2,S3, S4 后,可猜想 Sn 的表达式为________________. 二、能力提升 6. 用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n =k+1 时的情况,只需展开 ( ) B.(k+2)3 A.(k+3)3

C.(k+1)3

D.(k+1)3+(k+2)3 ( )

7. k(k≥3,k∈N*)棱柱有 f(k)个对角面,则(k+1)棱柱的对角面个数 f(k+1)为 A.f(k)+k-1 C.f(k)+k B.f(k)+k+1 D.f(k)+k-2

8. 对于不等式 n2+n≤n+1 (n∈N*),某学生的证明过程如下:①当 n=1 时, 12+1≤1 +1,不等式成立. ②假设 n=k (n∈N*)时, 不等式成立, 即 k2+k≤k+1, 则 n=k+1 时, ?k+1?2+?k+1? = k2+3k+2< k2+3k+2+?k+2?= ?k+2?2=(k+1)+1, 所以当 n=k+1 时, 不等式 成立,上述证法 A.过程全部正确 B.n=1 验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 1 1 1 1 1 9. 用数学归纳法证明 2+ 2+?+ > - .假设 n=k 时,不等式成立.则当 n=k 2 3 ?n+1?2 2 n+2 +1 时,应推证的目标不等式是____________________________________________. 10.证明:62n 1+1 能被 7 整除(n∈N*).


(

)

1 1 1 5 11.求证: + +?+ > (n≥2,n∈N*). 3 n 6 n+1 n+2 2 1 12.已知数列{an}中,a1=- ,其前 n 项和 Sn 满足 an=Sn+ +2(n≥2),计算 S1,S2,S3, 3 Sn S4,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法加以证明. 三、探究与拓展 13.试比较 2n+2 与 n2 的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.

答案
1.D 2.C 3.C 4.C 2n n+1 8.D 5.Sn= 6.A

7.A

1 1 1 1 1 1 1 9. 2+ 2+?+ 2+ + > - 2 3 k ?k+1?2 ?k+2?2 2 k+3 10.证明 (1)当 n=1 时,62 1+1=7 能被 7 整除.
- -

(2)假设当 n=k(k∈N*)时,62k 1+1 能被 7 整除. 那么当 n=k+1 时,62(k =36(62k 1+1)-35.
- +1)-1

+1=62k

-1+2

+1

∵62k 1+1 能被 7 整除,35 也能被 7 整除,


∴当 n=k+1 时,62(k

+1)-1

+1 能被 7 整除.

由(1),(2)知命题成立. 1 1 1 1 5 11.证明 (1)当 n=2 时,左边= + + + > ,不等式成立. 3 4 5 6 6 (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立, 即 1 1 1 5 + +?+ > . 3k 6 k+1 k+2

则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +?+ + + + = + +?+ + 3k 3k+1 3k+2 3?k+1? k+1 k+2 3k ?k+1?+1 ?k+1?+2 ( 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 + + - )> +( + + - )> +(3× - ) 6 6 3k+1 3k+2 3k+3 k+1 3k+1 3k+2 3k+3 k+1 3k+3 k+1

5 = , 6 所以当 n=k+1 时不等式也成立. 由(1)和(2)可知,原不等式对一切 n≥2,n∈N*均成立. 1 12.解 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=Sn+ +2. Sn 1 ∴Sn=- (n≥2). Sn-1+2 2 则有:S1=a1=- , 3 1 3 S2=- =- , 4 S1+2 1 4 S3=- =- , 5 S2+2

1 5 S4=- =- , 6 S3+2 n+1 由此猜想:Sn=- (n∈N*). n+2 用数学归纳法证明: 2 (1)当 n=1 时,S1=- =a1, 3 猜想成立. (2)假设 n=k(k∈N*)猜想成立, k+1 即 Sk=- 成立, k+2 那么 n=k+1 时, 1 1 Sk+1=- =- Sk + 2 k+1 - +2 k+2 k+2 ?k+1?+1 =- =- . k+3 ?k+1?+2 即 n=k+1 时猜想成立. 由(1)(2)可知,对任意正整数 n, 猜想结论均成立. 13.证明 当 n=1 时,21+2=4>n2=1, 当 n=2 时,22+2=6>n2=4, 当 n=3 时,23+2=10>n2=9, 由 n=4 时,24+2=18>n2=16, 由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N*)成立. 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,左边=21+2=4,右边=1, 所以左边>右边,所以原不等式成立. 当 n=2 时,左边=22+2=6,右边=22=4, 所以左边>右边; 当 n=3 时,左边=23+2=10,右边=32=9, 所以左边>右边. (2)假设 n=k(k≥3 且 k∈N*)时, 不等式成立, 即 2k+2>k2. 那么当 n=k+1 时,

2k 1+2=2· 2k+2=2(2k+2)-2>2· k2-2.


又因:2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0, 即 2k2-2≥(k+1)2,故 2k 1+2>(k+1)2 成立.


根据(1)和(2),原不等式对于任何 n∈N*都成立.


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