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2013-2014学年高中数学(人教实验A版选修2-1)第二章《圆锥曲线与方程》本章练测


第二章

本章检测
实际用时 满分 150 分 实际得分

建议用时 120 分钟 项正确) 1. 若椭圆 A.

一、选择题(本题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只有一个选

x2 y 2 x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离

心率是 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率是( 2 2 a b a b
B.
5 2



5 4

C.

3 2

D.

5 4

2. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) , 直线 y = x - 1 与其交于 M 、N 两点,MN 中 点的横坐标为 -

2 ,则此双曲线的方程是( 3



A.

x2 y 2 =1 3 4

B.

x2 y 2 =1 4 3

x2 y 2 =1 C. 5 2
2

x2 y 2 =1 D. 2 5
)

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 3. 若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 6 2
A.-2 C.-4 4.设双曲线 B.2 D.4

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点,则双 a 2 b2
) B.5

曲线的离心率为( 5 A. 4 C. 5 2

D. 5

5.以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点,椭圆的左焦点为,且直线与此圆 相切,则椭圆的离心率为( A. )

2 3 B. C. 2 - 3 D. 3 -1 2 2 6. 已知△ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0), △ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨
迹方程是( A. ) B.

x2 y 2 ? ?1 9 16

x2 y 2 ? ?1 16 9

C.

x2 y 2 ? ? 1 (x>3) 9 16

D.

x2 y 2 ? ? 1 (x>4) 16 9

??? ? ??? ? 2 7.已知 A,B 为抛物线 C:y =4x 上的两个不同的点,F 为抛物线 C 的焦点,若 FA ? ?4 FB ,则直

线 AB 的斜率为( A.± C.± 2 3 3 4

) 3 B.± 2 4 D.± 3

8. 若点 P 到 A(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等,且点 P 到直线 l:x-y=0 的距离等于 5 2,则满足条件的点 P 的个数是 8 A.1 C.3
2

(

)

B.2 D.4
2

9.已知双曲线 C:x -

y =1,过点(1,1)作直线 l,使直线 l 与双曲线 C 只有一个交点,满足 4
) B.2 条 D.4 条

这个条件的直线 l 共有( A.1 条 C.3 条 10. 双曲线

x2

a b2 圆位置关系为(
A.相交 C.相离
2

2

y2

= 1 的左焦点为,顶点为,是双曲线上任意一点,则分别以线段、为直径的两
) D.以上情况都有可能 )

B.相切

11. 已知方程 ax + by2 = ab 和 ax + by + c = 0 ,其中,ab≠0,a≠b,c>0,它们所表示的曲线可能是 下列图象中的(

A

B

C

D

12. 已知抛物线上一点 0 到其焦点的距离为 5,双曲线的左顶点为,若双曲线的一条渐近线与直 线平行,则实数的值是( A. B. C. ) D.

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将正确的答案填到横线上)

13. 已知椭圆 则

x2 y2 x2 y 2 - 有共同的焦点,是椭圆和双曲线的一个交点, + = 1 与双曲线 p q m n

. .

14.若点 O 和点 F 分别为椭圆的中心和左焦点, P 为椭圆上的任意一点, 点 则的最大值为 15. 平面上有三个点 A(-2, B ? 0, y),

? ?

???? ?? y? C C(x, 若 B B ? , y), A ⊥ 2?

, 则动点 C 的轨迹方程是________.

16.已知双曲线方程是 x -

2

y2 =1,过定点 P(2,1)作直线交双曲线于 P1,P2 两点,并使 P(2,1) 2

为 P1P2 的中点,则此直线方程是________. 三、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知圆 C1:(x+3) +y =1 和圆 C2:(x-3) +y =9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相 外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程
2 2 2 2

18. (12 分)设 A,B 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长 a 2 b2

为 4 3,焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= 3 x-2 与双曲线的右支交于 M,N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使 3

→ → → OM+ON=tOD,求 t 的值及点 D 的坐标.

19. (12 分)如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1), B(x2,y2)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率.

20.(12 分)已知定点 A(0,-1),点 B 在圆 F:x +(y-1) =16 上运动,F 为圆心,线段 AB 的 垂直平分线交 BF 于 P. 2 2 2 (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程;若曲线 Q:x -2ax+y +a =1 被轨迹 E 包围着,求实数 a 的 最小值. (2)已知 M(-2,0),N(2,0),动点 G 在圆 F 内,且满足|MG|·|NG|=|OG| (O 为坐标原点),求
2

2

2

???? ??? ? ? MG· 的取值范围. NG

21.(12 分)已知椭圆

x2 a
2

+

y2 b
2

= 1 (a > b > 0) 的离心率 e =

6 ,过点和的直线与原点的距离为 3

3 . 2 (1)求椭圆的方程.
(2)已知定点,若直线 与椭圆交于两点.问:是否存在,使以为直径的圆过点?请说明理由

22.(12 分)设分别为椭圆:

= 1 (a > b > 0) 的左、右两个焦点. a 2 b2 (1)若椭圆上的点到两点的距离之和等于,写出椭圆的方程和焦点坐标. +

x2

y2

(2)设点是(1)中所得椭圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程. (3)已知椭圆具有性质:若是椭圆上关于原点对称的两个点,点是椭圆上任意一点,当直线、 的斜率都存在,并记为、时,那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线 似的性质,并加以证明

x2 a

2

y2 b2

= 1 写出类

一、选择题 1. B 2. D 解析:由椭圆

= 1( a > b > 0) 的离心率为,得.设,则,.又双曲线中,. a 2 b2 解析:设双曲线方程为.将代入, +

x2

y2

整理得.由根与系数的关系得,则. 又,解得, ,所以双曲线的方程是 3.D =4. 解析:因为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y2=2px 的焦点为(2,0),则 p 6 2

4.D

解析:双曲线

b ? b x2 y 2 ? y ? x, 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y= x,由方程组 ? a 消去 y 得,x 2 a a b ? y ? x2 ? 1 ?
2
2

b c a 2 ? b2 ?b? ?b? -x+1=0 有唯一解,所以 Δ = ? ? -4=0, =2,e= = = 1 ? ? ? = 5. a a a ?a? ?a?
5. D 解析:由题意得, ,. 在直角三角形中,,即,整理得. 等式两边同除以,得,即,解得或(舍去). 故 6. C 解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,

所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是:以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支, 方程为 7.D

x2 y 2 ? ? 1 (x>3). 9 16
解析:由题意知焦点 F(1,0),

直线 AB 的斜率必存在且不为 0, 故可设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 y =4x 中化简得 ky -4y-4k=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= → → 又由FA=-4FB 可得 y1=-4y2,③ 4 联立①②③式解得 k=± . 3 8.B
2 2 2

4 ,① y1y2=-4.② k

解析: P 的轨迹方程为 y =4x, P(t , 点 设 2t), 则点 P 到直线 x-y=0 的距离为

2

2

|t -2t| , 2

2



|t -2t| 5 1 5 2 = 2,解得 4t -8t±5=0,∴ t=- 或 t= ,共 2 个.故选 B. 8 2 2 2 解析:数形结合可知过点(1,1),当斜率不存在时和与两条渐近线平行时所在的直线都符

9.D

合. 除此之外还应考虑设直线方程 y=kx+1-k 与双曲线方程联立消元利用判别式为 0 可求得 k 5 = 也符合.所以有 4 条. 2 10.B 解析:如图所示,设的中点为,若在双曲线左支上,则,即圆心距为两 圆半径之和,此时两圆外切;若在双曲线右支上,同理可求得,此时两圆内 切,所以两圆位置关系为相切. 11. B 解析:方程可化成,可化成. 对于 A:由双曲线图象可知:,∴,即直线的斜率应大于 0,故错; , 对于 C:由椭圆图象可知:,∴ ,即直线的斜率应小于 0,故错;同理错. , 所以选 B. 12. B 解析:依题意知,所以,所以,所以,点的坐标为.

又,所以直线的斜率为.由题意得,解得. 二、填空题

13.

解析:因为椭圆

x2 y 2 x2 y 2 = 1 有共同的焦点, + = 1 与双曲线 p q m n

所以其焦点位于轴上,由其对称性可设在双曲线的右支上,左、右焦点分别为, 由椭圆以及双曲线的定义可得, , 由①②得, .所以. 14. 6 解析:由题意,得F(-1,0), 设点,,则有 =1,解得=. 因为=,,=,, 所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为=-2, 因为-2≤≤2,所以当=2时,取得最大值 +2+3=6. 15. y =8x
2

解析:

??? ? y ? ? y? ? AB = ? 0, ? -(-2,y)= ? 2, ? ? , 2? ? 2? ?

??? ? ? y? ? y? BC =(x,y)- ? 0, ? = ? x, ? . ? 2? ? 2?
∵ AB ? BC ,∴ AB ? BC ? 0 ,∴ ? 2, ? ∴ 动点 C 的轨迹方程为 y =8x. 16.4x-y-7=0 则由 x1
2
2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

? ?

y? ? y? 2 ? · ? x, ? =0,即 y =8x. 2? ? 2?

解析:设点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),

?

y12 y2 y ? y 2 ? x2 ? x1 ? 2 ? 4 ? 1 , x2 2 ? 2 ? 1 ,得 k= 2 1 ? ? ? 4, 2 2 x2 ? x1 y2 ? y1 2
2

从而所求方程为 4x-y-7=0. 将此直线方程与双曲线方程联立得 14x -56x+51=0, 因为 Δ >0,故此直线满足条件. 三、解答题

17. 解:如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B, 根据两圆外切的充要条件,得 |MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2. 这表明动点 M 到两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2,且小于|C1C2|=6. 根据双曲线的定义,动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2 的距离大,到 C1 的距离小), 这里 a=1,c=3,则 b =8, 设点 M 的坐标为(x,y),则其轨迹方程为 x -
2 2

y2 =1(x≤-1). 8
b
2 3 x,即 bx-2 3y=0,

18.解:(1)由题意知 a=2 3,∴ 一条渐近线为 y= |bc|

x2 y 2 ? ?1. ∴ 2 = 3 ,∴ b =3,∴ 双曲线的方程为 b +12 12 3
2

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0, 将直线方程代入双曲线方程得 x -16 3x+84=0,
2

? x0 4 3 , ? ? 3 ? y0 则 x1+x2=16 3,y1+y2=12,∴ ? ∴ x0 2 y0 2 ? ? 12 ? 3 ? 1, ?
∴ t=4,点 D 的坐标为(4 3,3).
2

? x0 ? 4 3, ? ? ? y0 ? 3, ?

19.解:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y =2px(p>0). ∵ 点 P(1,2)在抛物线上,∴ 2 =2p×1,解得 p=2. 故所求抛物线的方程是 y =4x,准线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB, 则 kPA=
2 2

y1 ? 2 y ?2 (x1≠1),kPB= 2 (x2≠1), x1 ? 1 x2 ? 1
2

∵ PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴ kPA=-kPB. 由点 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y1=4x1,① ∴ y2=4x2,②
2

y1 ? 2 y ?2 ,∴ y1+2=-(y2+2).∴ y1+y2=-4. ?? 2 1 2 1 2 y1 ? 1 y2 ? 1 4 4
2 2

由①-②得,y1-y2=4(x1-x2),∴kAB=

y1 ? y2 4 ? ? ?1 (x1≠x2). x1 ? x2 y1 ? y2

20. 解:(1)由题意得|PA|=|PB|,∴ |PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4>|AF|=2, ∴ 动点 P 的轨迹 E 是以 A、F 为焦点的椭圆.

设该椭圆的方程为

y 2 x2 ? ? 1 (a>b>0), a 2 b2
2 2 2

则 2a=4,2c=2,即 a=2,c=1,故 b =a -c =3,

y 2 x2 ? ? 1. ∴ 动点 P 的轨迹 E 的方程为 4 3
曲线 Q:x -2ax+y +a =1,即(x-a) +y =1,∴ 曲线 Q 是圆心为(a,0),半径为 1 的圆. 而轨迹 E 为焦点在 y 轴上的椭圆,其左、右顶点分别为(- 3,0),( 3,0). 若曲线 Q 被轨迹 E 包围着,则- 3+1≤a≤ 3-1, ∴ a 的最小值为- 3+1. (2)设 G(x,y),由|MG|·|NG|=|OG| 得: ( x ? 2)2 ? y 2 · ( x ? 2)2 ? y 2 =x +y .
2 2 2 2 2 2 2 2

???? ???? ? 2 2 2 2 2 2 2 化简得 x -y =2,即 x =y +2,∴ MG· =(x+2,y)·(x-2,y)=x +y -4=2(y -1). NG

∵ 点 G 在圆 F:x +(y-1) =16 内,∴x +(y-1) <16, ∴ 0≤(y-1) <16?-3<y<5?0≤y <25,∴-2≤2(y -1)<48, ???? ??? ? ? ∴ MG ? NG 的取值范围为[-2,48). 21.解: (1)直线的方程为. 依题意得解得所以椭圆方程为
2 2 2

2

2

2

2

x2 + y2 = 1 . 3

(2)假若存在这样的值,由得 (1 + 3k 2 )x2 + 12kx + 9 = 0 , 所以 D = (12k )2 - 36(1 + 3k 2 ) > 0 .① 设 C( x1,y1 ) 、 D( x2,y2 ) ,则②
2 而 y1 y2 = ( kx1 + 2)( kx2 + 2) = k x1 x2 + 2k( x1 + x2 ) + 4 .

×

当且仅当时,以为直径的圆过点,则

y1 x1

×x y+ 1 = - 1 , +1
2 2

即 y1 y2 + ( x1 + 1)( x2 + 1) = 0 ,
2 所以 ( k + 1)x1 x2 + (2k + 1)( x1 + x2 ) + 5 = 0 .



将②式代入③式整理解得 k = 综上可知,存在 k =

7 7 .经验证, k = 使①成立. 6 6

7 ,使得以为直径的圆过点. 6

22.解: (1)椭圆的焦点在轴上,由椭圆上的点到两点的距离之和是 4,得,即.

骣3 1 又点 A?1, ÷在椭圆上,因此 2 + 2 = 1 ,得,于是. ? ÷ ? 2÷ 桫 ÷ 2 b
所以椭圆的方程为

骣÷ ?3 ÷ ? ÷ ?2 桫÷

2

x2 y 2 + = 1 ,焦点,. 4 3

(2)设椭圆上的动点,线段的中点满足 x =

- 1 + x1 2

,y=

y1 2



即,.因此

骣 (2x + 1)2 (2 y )2 + =1 ,即 ?x + ? ? 4 3 桫
x2 a
2

1÷ 4 y2 ÷+ = 1 为所求的轨迹方程. ÷ 2÷ 3
= 1 上关于原点对称的两个点,点是双曲线上任意一

2

(3)类似的性质为:若是双曲线 点,

-

y2 b2

当直线的斜率都存在,并记为时,那么与之积是与点位置无关的定值. 证明如下:设点的坐标为,则点的坐标为,其中 又设点的坐标为,由 k PM = 将 y2 =

m2 a2

-

n2 b2

= 1. y 2 - n2 x 2 - m2
.

y- n y+ n y- n y+ n , k PN = ,得 ? x- m x+ m x- m x+ m
b2 a2

b2 a2

x 2 - b2 , n2 =

b2 a2

代入得


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