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函数的最大(小)值与导数


函数的最大(小)值与导数

复习
1.函数单调性与导数符号的关系是:
单调增函数 导数 f ?(x) > 0 导数 f ?(x) < 0

单调减函数

2.判定函数单调性的步骤: ①求出函数的定义域;

②求出函数的导数 f ?(x);
③判定导数 f ?(x)的符号; ④确定函数f (x)的单调性

复习
3.求函数y=f (x)的极值的方法是: 解方程f ?(x)=0.当f ?(x0)=0时 (1)如果在x0附近的左侧f ?(x)>0,右侧f ?(x)<0,那么f (x0)是 极大值; (2)如果在x0附近的左侧f ?(x) <0,右侧f ?(x) >0,那么f (x0) 是极小值.

求函数最值的一般方法? 一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数

找出f (x)的在区间[a,b]内极值

那么f (x)在区间[a,b]的内最值呢?

找出f (x)在区间[a,b]的内最值

找出f (x)在区间[a,b]的内最值

在区间[a,b]上函数y=f (x)的图像是一条连续曲线,它就有 最大值和最小值

把函数y=f (x)的所有极值及端点的函数值进行比较

1 3 例 求函数 f ?x ? ? 3 x ? 4 x ? 4在?0,3?上的最大值与最小值 .

解: 知在[0,3]上,当x=2 f (x)有极小值为
4 f ?2 ? ? ? 3 f ?0? ? 4 f ?3? ? 1 1 3 因此, 函数 f ?x ? ? x ? 4 x ? 4 3 4 在[0,3]上的最大值是4,最小值是 ? 3

求函数y=f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
①求函数y=f (x)在(a,b)内的极值; ②将函数y=f (x)的各级值与端点处的函数值f (a), f (b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

堂上练习
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值

?1? f ?x ? ? 6 x 2 ? x ? 2,  x ? ?1,2?; 3 ?2? f ?x ? ? x ? 27x,   x ? ?? 3,3?;
? 1 ? ?3? f ?x ? ? 6 ? 12x ? x ,   x ? ?? ,1?; ? 3 ? ?4? f ?x ? ? 3x ? x 3 ,     x ? ?1,2?.
3

堂上练习
1.下列说法正确的是( D ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是 m,若M=m,则f ?(x) ( A ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能

堂上练习
1 4 1 3 1 2 3.函数 y ? x ? x ? x , 在?- 1,1?上最小值为 ? A 4 3 2 13 A.0 B. ? 2 C. ? 1 D. 12

?

2x ? x2 4.函数y ? 的最大值为( A ) x ?1 3 1 3 A. B.1 C. D. 3 2 2

堂上练习
5. 函 数 y=2x3 - 3x2 - 12x+5 在 [ 0 , 3 ] 上 的 最 小 值 是 -15 ___________.

? ? 6.函数 f (x)=sin2x-x在[- , ]上的最大值为_____; 2 2 2 ?
? 2 最小值为_______.

?

小结
求函数y=f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: ①求函数y=f (x)在(a,b)内的极值;

②将函数y=f (x)的各级值与端点处的函数值f (a), f (b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

作业
课本习题1.3A组题6


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