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河北省保定市2013届高三第一次模拟数学理试题(解析版)


保定市 2013 年高三第一次模拟考试 数学理试题(A 卷)
一、选择题(60 分)

? 1? i ? 1、若复数 z ? ? ? ? 1? i ?
A、-2 答案:B 解析:∵ ∴z=i =(i ) ∴|i|=1. ∴ln|z|=ln1=0.
2013 4 503

2013

数,则

ln|z|= C、1 D、4

B、0

=i, ?i=1×i=i,

故选 B. 2、已知集合 A={x|x>2,或 x<-1},B={x| a ? x ? b },若 A ? B ? R ,

b A ? B ={x| 2 ? x ? 4 },则 = a
A、-4 B、-3 C、4 D、3 答案:A 解析:∵A={x|x>2,或 x<﹣1},B={x|a≤x≤b},AUB=R, ∴a≤﹣1 b≥2 ∵A∩B={x|2≤x≤4},

∴a=﹣1 b=4 所以 =﹣4 故选:A. 3、设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0,| ? |? 式为 A、 f ( x) ? sin(2 x ?

?
2

) 的部分图象如右图所示,则函数 f(x)的表达

?

4 3? C、 f ( x) ? sin(4 x ? ) 4
答案:A

)

B、 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) )

D、 f ( x) ? sin(4 x ?

?
4

解析:解:由函数的最大值为 1 可得 A=1,由 得 2× +φ= ,可得 φ= ,

可得 ω=2.再由五点法作图可

故函数的解析式为 故选 A.



?y ? x ? 4.已知 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z=2x+y 的最大值与最小值的比值为 ?x ? 2 ?
A、

1 2

B、

4 3

C、

3 2

D、2

答案:D 解析:解:约束条件 对应的平面区域如下图示: 当直线 z=2x+y 过 A(2,2)时,Z 取得最大值 6. 当直线 z=2x+y 过 B(1,1)时,Z 取得最小值 3, 故 z=2x+y 的最大值与最小值的比值为:2. 故选 D.

5.执行右面的程序框图,如果输人 a=4,那么输出的 n A.1 B、2 C、3 D、 4 答案:C 解析:第 1 次判断后循环,P=1,Q=3,n=1, 第 2 次判断循环,P=5,Q=7,n=2, 第 3 次判断循环,P=21,Q=15,n=3, 第 3 次判断,不满足题意,退出循环,输出 n=3. 故选 C.

的值为

6. 若 平 面 向 量 a, b, c 两 两 所 成 的 角 相 等 , 且

? ? ?

? ? ? ? ? ? | a |? 1,| b |? 1,| c |? 3 ,则 | a ? b ? c | 等于
A. 2 答案:C 解析:由于平面向量 再由 两两所成的角相等,故每两个向量成的角都等于 120°,或都等于 0°, , B. 5 C、2 或 5 D、 2或 5

①若平面向量 ∴

两两所成的角相等,且都等于 120°, =1×3×cos120°=﹣ , = =2. 两两所成的角相等,且都等于 0°, =1×3=3, = =2 或 5, =1×3=3, = =5. =1×3×cos120°=﹣ .

=1×1×cos120°=﹣ , =

= ②平面向量 则 =1×1=1, = 综上可得,则

故选 C. 7.三棱锥 V-ABC 的底面 ABC 为正三角形,侧面 VAC 垂直于底面,VA =VC,已知其正视图(VAC) 的面积为

2 ,则其左视图的面积为 3
3 2
B、

A、

3 6

C、

3 4

D、

3 3
h,可知底面正

答案:D 解析:设底面正△ ABC 的边长为 a,侧面 VAC 的底边 AC 上的高为 △ ABC 的高为 a,

∵其主视图为△ VAC,∴ ah= ; ∵左视图的高与主视图的高相等, ∴左视图的高是 h, 又左视图的宽是底面△ ABC 的边 AC 上的高 ∴S 侧视图= × 故选 D. a×h= × = . a,

8.双曲线 范围是

x2 y 2 b ? 2 ? 1 (b>a>0)与圆 x 2 ? y 2 ? (c ? )2 交点,c2 =a2+b2,则双曲线的离心率 e 的取值 2 a b 2

A、(1, 答案:B

5 5 ) B、( 2 , ) C.、( 2 ,2) D. ( 3 ,2) 3 3

解析: :∵b>a>0,∴ ∵双曲线与圆无交点,∴ ∴ ∴4c ﹣8ac+4a <c ﹣a 2 2 ∴3c ﹣8ac+5a <0 2 ∴3e ﹣8e+5<0 ∴ 故选 B. ∴
2 2 2 2

? x 2 ? ax, x ? 1 ? 9.已知函数.f (x) = ? 2 在 R 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ? ax ? x, x ? 1 ?
A、a>-2 答案:C 解析: B、-2<a<-1 C、a≤-2 D、a≤-

1 2

10.正方体 ABCD-A1B1C1 D1 中,M 为 CC1 的中点,P 在底面 ABCD 内运动,且满足∠DPD1=∠CPM, 则点 P 的轨迹为 A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 c 双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 答案:A 解析:

11.数列{ an }的通项公式 an ? ? sin ? A. 1232 答案:C 解析: . 2580 C: 3019

? n ?1 ? ? ? +1,前 n 项和为 Sn( n ? N * ),则 S 2013 = ? 2 ?
D. 4321

12.设函数 f(x)在 R 上是可导的偶函数,且满足 f (x-1)=-f (x+1),则曲线 y=f (x) 在点 x=10 处的切线的斜率为 A.-1 B. 0 C. 1 D. 2 答案:B 解析:

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 一第 21 题为必考题,每个考生都必须做答。 第 22 一第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.在 (1 ? x )(1 ? x) 的展开式中,x3 的系数是____.(用数字作答)
3 5

答案:11 解析:

14.一个频率分布表(样本容量为 50)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在[20,60)上的频 率为 0.6,则估计样本在「40,50),[50,60)内的数据个 数之和是___. 答案:21 解析:根据题意,设分布在「40,50) ,[50,60)内的数 据个数分别为 x,y ∵样本中数据在[20,60)上的频率为 0.6,样本容量为 50 ∴ ,解之得 x+y=21

即样本在「40,50) ,[50,60)内的数据个数之和为 21 故答案为:21 15.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,三边 a、b、c 成等差数列,且 B= cosA 一 cosC|的值为____ 答案: 解析:∵三边 a、b、c 成等差数列,且 B= ∴2b=a+c,A+C= , , ,

? ,则| 4

将 2b=a+c 利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC,即 sinA+sinC= 设 cosA﹣cosC=x, 2 2 2 可得: (sinA+sinC) +(cosA﹣cosC) =2+x ,
2 2 2 2

即 sin A+2sinAsinC+sin C+cos A﹣2cosAcosC+cos C=2﹣2cos(A+C)=2﹣2cos

=2+x ,

2

则(cosA﹣cosC) =x =﹣2cos

2

2

=

|cosA 一 cosC|的值为 16.设 a>1,b>1,且 ab+a-b-10=0,a+b 的最小值为 m.记满足 x2+y2≤m 的所有整点的坐标为

( xi , yi )(i ? 1, 2,3, ???, n) ,则 ? | xi yi | =____
i ?1

n

答案:20 解析:∵a>0,b>0,且 a+b=2, ∴ + =( + )× (a+b)= (1+ + +1)≥ ×4=2(当且仅当 a=b=1 时取“=”) . ∴ + 的最小值为 2,即 m=2. ∴x +y ≤3m?x +y ≤6. ∴其整点坐标为: (0,0)(0,±1)(0,±2)(±1,0)(±1,±1)(±1,±2)(±2,±1)共 19 个. , , , , , , ∴ |xiyi|=4×1+4×2+4×2=20.
2 2 2 2

故答案为:20. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 ,函数 f(x)= 的

第 n(n ? N * )个零点记作 xn (从左向右依次计数),则所有 xn 组成数列{ xn }. (1)若 ? ?

1 ,求 x2; 2

(2)若函数 f (x)的最小正周期为 ? ,求数列{ xn }的前 100 项和 S100. (1)若 函数 f(x)= ,则向量 =(sin = sin + . =﹣ (x≥0) ,故有 ,k∈z. ,第二个零点为 x= ,即 x2= . =2kπ+ ,或 =2kπ+ . , ) =(cos , , ) ,

由 f(x)=0,可得 sin ∴x=4kπ+

,或 x=4kπ+

自左向右第一个零点为 x=

(2)∵函数 f (x)的最小正周期为 π,则 ω=2, ∴函数 f(x)= =(sinx, )?(cosx, )=sinxcosx+ = sin2x+ .

令 f(x)=0,可得 sin2x=﹣ ,∴2x=2kπ+ 即 x=kπ+ ,或 x=kπ+ ,k∈z.

,或 2x=2kπ+

,k∈z.

∴S100=

+

=

=50×49π+50×

=2525π.

18.(本小题满分 12 分) 每一个父母都希望自己的孩子能升上比较理想的中学,于是就催生了“择校热”,这样“择校” 的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了.若某生由于种种原因,每天只能 6:15 骑车从家出 发到学校,途经 5 个路口,这 5 个路口将家到学校分成了 6 个路段,每个路段的骑车时间是 10 分钟 (通过路口的时间忽略不计),假定他在每个路口遇见红灯的概率均为 到达学校才停车.对每个路口遇见红灯的情况统计如下:

1 ,且该生只在遇到红灯或 3

(1)设学校规定 7:20 后(含 7:" 20)到校即为迟到,求这名学生迟到的概率; (2)设 ? 表示该学生第一次停车时已经通过的路口数,求它的分布列与期望. 解析:

19.(本小题满分 12 分) 四棱锥 S-ABCD 中, 四边形 ABCD 为矩形,M 为 AB 中点, 且△SAB 为等腰直角三角形, SA=SB=2, SC⊥BD, DA⊥平面 SAB. (1)求证:平面 SBD⊥平面 SMC (2)设四棱锥 S-ABCD 外接球的球心为 H,求棱锥 H- MSC 的高; (3)求平面 SAD 与平面 SMC 所成的二面角的正弦值。 解析:

20.(本小题满分 12 分) 设 F1、F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点,M,N 分别为其短釉的两个端点, a 2 b2

且四边形 MF1 NF2 的周长为 4 设过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点, 且|AB|=

4 。 3

(1)求|AF2|?|BF2|的最大值; (2)若直线 l 的倾斜角为 45°,求△ABF2 的面积. 解: (1)∵四边形 MF1NF2 为菱形,周长为 4,∴a=1 由椭圆的定义可知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4, ∵|AB|= ,∴|AF2|+|BF2|= ∴|AF2|?|BF2|≤ = ;

当且仅当|AF2|=|BF2|= 时,等号成立,即|AF2|?|BF2|的最大值为 (2)∵直线 l 的倾斜角为 45°,∴可设 l 的方程为 y=x+c,其中

由(1)知椭圆 E 的方程为 直线方程代入椭圆方程,化简可得(1+b )x +2cx+1﹣2b =0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2= ,x1x2=
2 2 2

∵|AB|=

|x1﹣x2|= ∴c=

∴ =

∴ ∴

∴l 的方程为

∴F2 到 l 的距离 d=1

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=ln(1+x)-

ax (a ? R) 。 x ?1

(1)求函数 f(x)的极值; (2)当 a>0 时,若对任意的 x≥0,恒有 f (x)≥0,求实数 a 的取值范围; (3)设 x ? N 且 x>2,试证明: 解析:

请从第 22,23,24 三题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题 号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题 的首题进行评分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4 -1:几何证明选讲 如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一 点 , BM 的延长线交⊙O 于 N,过 N 点的切线交 CA 的延长线于 (1)求证:PM2 =PA·PC; (2)⊙O 的半径为 2 3 ,OM=2,求 MN 的长 (1)证明:连接 ON,则 ON⊥PN,∵OB=ON, ∴∠OBM=∠ONB, ∵PN 是⊙O 的切线,∴ON⊥NP. ∵BO⊥AC, ∴∠BOM=∠ONP=90°,∴∠OMB=∠MNP. 又∠BMO=∠PMO,∴∠PNM=∠PMN,∴PM═PN. 2 2 ∵PN 为⊙O 的切线,∴PN =PA?PC,∴PM =PA?PC. (2)在 Rt△ BMO 中, 延长 BO 交⊙O 与点 D,连接 DN, 则△ BND∽BOM,于是 ∴ ,得 BN=6. , = =4. P

∴MN=BN﹣BM=6﹣4=2.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? ?x ? 2 t ? 已知:直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),曲线 C 的参数方程为 3 ?y ? t ?1 ? ? 2

? x ? 2 ? cos ? ( ? 为参数)。 ? ? y ? sin ?
(1)若在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

? ),判断点 P 与直线 l 的位置关系; 3

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求点 Q 到直线 l 的距离的最大值与最小值的差。 解: (1)把点 P 的极坐标为(4, )化为直角坐标为(2,2 ) ,

把直线 l 的参数方程

(t 为参数) ,化为直角坐标方程为 y=

x+1,

由于点 P 的坐标不满足直线 l 的方程,故点 P 不在直线 l 上. (2)∵点 Q 是曲线 C 上的一个动点,曲线 C 的参数方程为
2 2

(θ 为参数) .

把曲线 C 的方程化为直角坐标方程为 (x﹣2) +y =1,表示以 C(2,0)为圆心、半径等于 1 的圆. 圆心到直线的距离 d= = + , ﹣ ,最大值为 d+r= + ,

故点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 d﹣r=

∴点 Q 到直线 l 的距离的最大值与最小值的差为 2. 24.(本小题满分 10 分)选修 4 一 5:不等式选讲 设函数 f (x) =|x-a|+3x,其中 a≠0. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x))≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f (x) ≤0 的解集包含{x|x≤-1},求 a 的取值范围. 解: (1)当 a=2 时,函数 f (x)=|x﹣a|+3x=|x﹣2|+3x, 不等式 f(x) )≥3x+2,即|x﹣2|+3x≥3x+2,即|x﹣2|≥2, ∴x﹣2≥2,或 x﹣2≤﹣2.即 x≥4,或 x≤0,故 f(x) )≥3x+2 的解集为{x|x≥4,或 x≤0}. (2)由不等式 f (x)≤0,可得|x﹣a|≤﹣3x,即 由于 a≠0, ①若 a>0,则不等式组的解集为 {x|x≤﹣ }. 由 f (x)≤0 的解集包含{x|x≤﹣1},可得﹣ ≥﹣1,求得 0<a≤2. ②若 a<0,则不等式组的解集为 {x|x≤ }, 由 f (x)≤0 的解集包含{x|x≤﹣1},可得 ≥﹣1,求得﹣4≤a<0. ,或 .

综上可得,a 的取值范围为{a|0<a≤2,或﹣4≤a<0 }


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