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【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第八章 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图和直观图课件 理


第八章 立体几何
第 1 讲 空间几何体的三视图和直观图

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能 运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱 等简易组合图形)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体 模型,会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简

单空间图形的 三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的

基础上,其尺寸、线条等不作严格要求).

1.多面体的结构特征

(1)棱柱的侧棱都互相平行,上、下底面是互相平行且全等
的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三

角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面
是相似多边形.

注意:(1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底 面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正 多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正 多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正棱 锥叫做正多面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点 在底面的射影是底面正多边形的中心.

2.旋转体的几何特征 (1)圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,将矩形旋转 一周而形成的曲面所围成的几何体.

(2)圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转
轴,将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体. (3)圆台:类似于棱台,圆台可看作是用一个平行于圆锥底

面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分.类似于圆锥的形
成过程,圆台还可以看作是一直角梯形绕垂直于底的腰所在的 直线旋转,其余各边旋转形成的曲面围成的几何体. (4)球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一 周形成的几何体.

3.空间几何体的三视图

(1)几何体的三视图包括:正视图、侧视图、俯视图,又称
为主视图、左视图、俯视图. (2)三视图的长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即 正 视图和侧视图一样高,正视图和______ 俯 视图一样长, ______ 侧 视图和俯视图一样宽. ______ 注意:若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分 界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.

4.用斜二测画法画水平放置的平面图形 (1)步骤:画轴、取点、成图. (2)图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中仍平行于 x′轴 且长度保持不变,平行于 y 轴的线段,在直观图中仍平行于 y′ 轴且长度变为原来的一半,与坐标轴不平行的线段,可通过确 定端点的办法来解决. (3)画空间图形的直观图时,只需增加一个竖直的 z′轴, 图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z′轴且长度保 持不变.

1.如图 8-1-1 所示的是一幅电热水壶的主视图,它的俯视 图是( D )

图 8-1-1

2.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、 东、南、西、北.现又沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外 面朝上展平,得到如图 8-1-2 所示的平面图形,则标“△”的 面的方位是( B )

图 8-1-2 A.南 B.北 C.西 D.下

3.(2013 年四川)一个几何体的三视图如图 8-1-3,则该几 何体的直观图可以是( D )

A

B

C

D

图 8-1-3

4.小华拿一个矩形木框在阳光下玩,矩形木框在地面上形
成的投影不可能是( A )

考点 1 空间几何体的结构特征 例 1:(1)如图 8-1-4,模块①~⑤均由 4 个棱长为 1 的小正 方体构成,模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体构成.现从模块 ①~⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为

3 的大正方体,则下列方案中,能够完成任务的为(

)

图 8-1-4 A.模块①②⑤ B.模块①③⑤

C.模块②④⑥

D.模块③④⑤

解析:本小题主要考查空间想象能力.先补齐中间一层, 只能用模块⑤或①,且如果补①,则后续两块无法补齐,所以 只能先用⑤补中间一层,然后再补齐其他两块. 答案:A

(2)在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几 何体形的 4 个顶点,这些几何形体是__________(写出所有正确

结论的编号).
①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直

角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等
边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.

解析:如图D28,四边形AA1C1C 为矩形;三棱锥 B1-A1BC1

就是有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四
面体;三棱锥 D-A1BC1 就是每个面都是等边三角形的四面体; 三棱锥 A1-ABC 就是每个面都是直角三角形的四面体.

图 D28 答案:①③④⑤

【互动探究】

1.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶
点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共 有( D ) A.20 条 C.12 条 B.15 条 D.10 条

解析:正五棱柱中,上底面中的每一个顶点均可与下底面 中的两个顶点构成对角线,所以一个正五棱柱对角线的条数共 有 5×2=10(条).

考点 2 几何体的三视图 例 2:(1)(2014 年新课标Ⅰ)如图 8-1-5,网格纸的各小格都 是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何 体是( )

图 8-1-5 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

解析:根据三视图的法则:长对正,高平齐,宽相等,可 得几何体如图 D29.

图 D29

答案:B

(2)(2013年湖南)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个 面积为1的正方形,侧视图是一个面积为 2 的矩形,则该正方 体的正视图的面积等于( 3 A. 2 B.1 ) 2+1 C. 2 D. 2

解析:正方体的侧视图面积为

2 ,所以侧视图的底边长

为 2.正视图和侧视图的图形相同,所以面积也为 2.
答案:D 【规律方法】画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等” 的原则,即“正、俯视图一样长,正、侧视图一样高,俯、侧 视图一样宽”,看得见的线条为实线,被遮挡的线条为虚线.

【互动探究】

2.将正方体(如图 8-1-6)截去两个三棱锥,得到如图 8-1-7 所示的几何体,则该几何体的侧视图为(
)

图 8-1-6

图 8-1-7

解析:画出三视图.如图 D30.故选 B.

图 D30
答案:B

考点 3 几何体的直观图

例 3:已知正三角形 ABC 的边长为 ,那么aABC 的平面
直观图A′B′C′的面积为(
3 2 A. a 4 3 2 B. a 8

)
6 2 C. a 8 6 2 D. a 16

解析:如图 8-1-8(1)(2)所示的实际图形和直观图.

图 8-1-8

1 3 由斜二测画法知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= a. 2 4 在图818(2)中作C′D′⊥A′B′于点D′, 2 6 则C′D′= 2 O′C′= 8 a. 1 1 6 6 2 ∴S△A′B′C′= A′B′×C′D′= ×a× a= a . 2 2 8 16
答案:D

【规律方法】用斜二测画法画直观图,关键是掌握水平放 置的平面图形直观图的画法,而其中的关键是确定多边形顶点

的位置;将直观图还原为其空间几何体时,应抓住斜二测画法
的规则.先画出正三角形 ABC 的平面直观图A ′B′C′,再求

A ′B′C′的高即可.本题采用斜二测画法作其直观图时,底
不变,第三个顶点在 y′轴上,长度为原高的一半,但它还不

2 是高?夹角为45° ?,所以新三角形的高是原高的 倍,所以直 4 2 观图的面积是原三角形面积的 倍. 4

【互动探究】 3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底长均为 1 的等腰梯形,则该平面图形的面积等于 ( D )

1 2 A.2+ 2 C.1+ 2

2 B.1+ 2 D.2+ 2

●易错、易混、易漏●

⊙将三视图还原成几何体时对数据的判断产生错误
例题:(2013 年山西诊断)如图 8-1-9,水平放置的三棱柱的

侧棱长和底面边长均为 2,且侧棱 AA1⊥底面A1B1C1,正视图是
边长为 2 的正方形,该三棱柱的侧视图面积为( )

图 8-1-9

A.4 C.2 2

B.2 D. 3

3

正解:该三棱柱的侧视图是一个矩形,矩形的高是侧棱长 π 为2,底边长为点C到边AB的距离2sin 3 = 3 ,故其侧视图的面 积为2 3.

答案:B

【失误与防范】三视图还原求面积或体积时一定要注意几
何体摆放的形式,所给数据究竟是棱长还是棱的投影(高).


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