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2006年福建省数学竞赛(高一)


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3 2  

中 等 数 学 

2 0 0 6年福建省数学 竞赛 ( 高一 )  




填空题 ( 每小题 5 分, 共6 o 分)  
一   <1 的最小正整数 

范 围是

— — .  

1 . 满足 
为— — .  

1 0 . 若 关 于  的方程 


似  一2a x+ 口  一 1=0 

2 . 对于实数 s 、 t , 代数式 
6f  +3s  一4s t一8t+6s+5  

恰有一个 实数 根 , 则 实数 口的取值范 围是  n. 正整数 1 , 2 , …, 2   O O 6中, 能表示为 
m 十 , l  

的最小 值 是— — .  

3 . 设 、 Y是正实数 ,  
A =  ,   .  

( m、 n EN+ ) 的有— — 个 .  
’  

1 2 . 使得 3   一1 能被 2   整除的最大 的   正整数 为— — .  

若A + 日 = Y 一   , 则 詈= —— .  
4 . 若△ A B C的边 c 、   上的中线长分  别为 m、  , 则 △‘ A B C 的 面积 的 最 大值 为 

二、 解答题 ( 每小题 1 5 分, 共6 o 分)  
1 3 . 设口 、 b 、 c 为正数 . 求 


[   】  

】  

】  

的最小值( [  ] 表示不超过  的最大整数) .   5 . 若 c 0 s  = 0 , 且c 0 s (  +  ) =   (  >   0 ) , 则满足上述条件的   的最小值为 知方程 
. 
— —

1 4 . 设 m∈N+ , 数列 口 0 , 口   一 , 口  满足 
口 。=3 7 , 口 l =7 2 , 口  =o , 且 口 … =口   一   3  

的解 

( k=1 , 2 , …, m一1 ) . 求 m 的值 .   1 5 . 如图 1 , o  0 为  一 .  

  为   L Y   Y ’ 和 {   ’ 则  ( x l   x 2 Y l   Y 2 ) :   △ ABC 的 外 接 圆 ,AM、
l   L Y   Y 2?  

A T 分别为 中线和角平分 
线, 过 点  、 C 的 o  0 的 

7 . 已知 { 口   } 是一 个 等差数 列 , 口 。 =1 9 ,  
口 2 6 = 一1 . 设 A  =口   +口   + l +… +口   + 6 (  ∈  

切线 相 交 于点 P , 联 结  A P , 与B C和0  0分别相 

N+ ) . 则I A   I 的最 小值 是 

交于点 D 、 E. 求证 : 点 
是△A M E的内心 .  

图1  

8 . 已知集合 A={ 1 , 2 , …, 1 O } , . 厂 是A —A  
的映射 , 当口 、 b ∈A ( 口 ≠b ) 时, f ( 口 ) ≠厂 ( b ) ,  


1 6 . 将集合 S ={ 1 , 2 , …, 3 6 } 分拆为 k 个 
互不相交 的非空子集 A 。 , A : , …,   的并 . 若 

且对 于 任 意 一 个 i ∈ A, 都 有 f( i ) ≠i ,  

f ( i ) ) =i . 则这样的映射 有— — 个 .  
9 . 设实数 t 满足 0 ≤t ≤7 c . 若关于  的 
方程 s i n (  +t ) =1 一s i n   无解 , 则 t 的取 值 

对于每一个 A i ( i =1 , 2 , 一 ? , k ) , 其中任意两 
个不同的元素 的和都不是完全平方数 , 求 k  
的最小 值 .  

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2 O O 6 年第 1 0 期 

3 3  

参 考 答 案 


设 口=1 0  
f 口+6 =4 ,  

, b =1 0   Y . 则原方程组变形 为 



1 . 24 0 2 .  

原不等式等价于 
n+9 9< n+2 √   +1 .  

<   +1 , 则有 

I 丢 一 ÷ = ? .  
解 得  3   , 或  3 一  
L   b , =1 — 4 5   L   b 2 =1 + √ 5 .  

解 得   >4 9 . 所 以。 n ≥4 9 2 +1 =2   4 0 2 .  

2 . 号 .  
由6 t   +3 J   一4 s t 一8 t +6 s +5  

所以 , 由k , & 为  l  2 =口 l +口 2  6 , 得 
1  2 =2 2  ̄ =1 5  ;  

= 3 ( s 一   )   + 警 ( t 一 号 )   + 号 ,   知 当 s = 警 一 l , ‘ =   3 , 即 ‘ =   3 , s = 一 了 5 时 , 上 式  
最小 .  

由l 0   Y l   Y 2 =b l +b 2 =2 , 得 Y l   Y 2 =   =2  .  

故l o g  ̄ o  1  2 Y l   Y 2  1 2 .  

7 ÷ 
由 % :{ l 1 +2 5 d , 得 d:一T 4 则 


3 . 3+2 4 3.   由题设知旦 

  .

A   =7   +2 1 d=7 a l +7 ( n一1 ) d+2 1 d  


2 x y   = y—   于是 ,   戈 十 + V 
. 



÷( 8 7 — 4 n ) .  

3 x  +6 x y—y 2 =0

因为 n EN+, 所 以, I 8 7 —4 nI ≠0 .  

即( 詈 )   一 6 ( Z x ) 一 3 = 0 .  
解 得 ÷= 3 ± 2  ( 负 值 舍 去 ) .   .  
4.   啪 .  

故I 8 7 — 4 n I ≥1 . 于是, I A   I ≥ ÷.   当n = 2 2 时, I   A   I = ÷.  
8 . 9 4 5 .  

如图2 , 设边 B C、 C A上 

的 中线 分别 为 A M、 B N, 它  们的交点为 G , 于是 ,  
A G=了 2   m
,  

对每个映射 厂 , 可把集合 A中的元素两两配对  { f , . , } , 使得  i ) = . 『 ,  . 『 ) =   . 这样 , 求映射 的个数  等价于求把集合A分拆成 5 个互不相交的二元子集 
的分法数 .   可与 1 配对 的有 9个 元素 , 接 着有 7个元 素 可 
图2  

B G=了 2   n
.  

以与剩余 的最 小元 素配对 , ……故共有 
9 ×7 ×5 ×3 ×1 =9 4 5 ( 种) .  
9 .   <t ≤ Ⅱ.  

所 以 , | s 伽≤   A G ? B G = 吾 撇 .  

则 | s  = 2 | s  = 3 | s 伽≤ 号 撇 .  
当A M_ l - B N时 , 上式等号成立 .  

原方程为 血 (  +t ) +s i n   =1 , 即 

2   (   + 专 ) ? c o s 专= ? .  
当c 0 8  t:0时 , 方程无解 ;  

5 . 詈.  
由题设得 
1  
= c 06   ‘ c06  

当 c 0 6 号 ≠ 0 时 ,   (   + 号 ) =   — 1 了 , 当 且 仅  
ZC0s  

.  
一 s m 

.  
。舡 n = =

.  
一 舡 n 

.  
‘舡 n   ?  

当上式 右端取值在 [ 一1 , 1 ] 中时 , 原方程有解 .   而由 c 0 6   =0 , 得  =1 或s i n   =一1 .  

当 s i ^   = 1 时 , 血 : = 一  , : 的 最 小 值 为 警 ;  
当   = 一 1 时 , 血: =  , : 的 最 小 值 为 詈.  

又 0 ≤ £ ≤   , 所 以 , 0 < c 0 6 号<  .   故 当 0 ≤ c 0 s 专<  , 即 号< 号 ≤ 号 时 , 原 方 程  
无解 .  

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中 等 数 学 

所 以, t 的取值范 围是  < t ≤Ⅱ .  

1 5 . 先证 明 A T 是  M A E的平分线 , 即证 
删 I f=   C A P.  

1 0 . 口 < ÷.  
将原 方程写成 关于 n的一元二次方程 


(   +2 x ) 口+(   一1 ) =0 ,  

即  O . 2 一(   +2 x ) 口+(  一1 ) (   +   +1 ) :0 ,  

则[ 口一(  一1 ) ] [ 口一(  +   +1 ) ] =0 .   所 以,   +   +1 一口=0 无实数解 .  

由 判别式即 知n < ÷。  
1 1 . 20 0 6.  

事实上 , 对于任意正 整数 n , 令 m=d 2 +n一1 ,  
n=口+1 . 则 m、 n是正整数 , 且 
=  

—  

等  一   = n .  
① 

1 2. 1 2.  
. 

3   一1 =( 3 5  +1 ) ( 3   +1 ) …( 3 +1 ) ( 3 —1 ) .  

而对于整数 k ≥1 , 有 
3 2  +1 ;( 一1 )   +1 :2 ( o r o d 4 ) .  

所以, 式① 右边 的 l 1 个 括号 中 , ( 3+1 ) 是 4的 

倍数 , 其他 的 1 0 个都是 2 的倍数 , 但 不是 4的倍数 .   故 n的最大值为 1 2 .   二、 l 3 . 对 于实数  , 有[  ] >  一 1 , 所 以,  
U -

[   】 + 【 字】 + 【 宁】  
+ +—   — +— +  1 广 一3 一j  

=  

f ? PO.  

>   — —

所以 , M、 0、 A、 E 四点 
共圆 . 于是 ,  
O MA =   DE 4=  

图4  



( 詈 + 丢 ) + ( ÷ + 詈 ) + ( 詈 + 詈 ) 一 3  

O A E=   P ME.  

故  朋  =/ 脚  , 即点  是/ h A M E的内心 .  

≥ 2+2+2—3=3.  

由于 l ‘ 是整数 , 所 以, l ‘ ≥4 .   当 口=6 , b =8 , C =9时 , l ‘ =4 .  

说 明: 只证 明出一条角平分线的给 1 0 分.  
1 6 . 首先 , 考 虑数 6 , 1 9 , 3 0.   因为 6+1 9=  , 6 +3 o =  , 1 9+3 0=7 2 , 所 以,   这三个数必须属 于三个不 同的子集 . 于是 , I I } ≥3 .  

故 u的最小值 为 4 .  
1 4 ? 因为 n | . 1  n | . 1 一  一  
n | . 1 — 2   a m — l   3.  

0 , 所以 ,  

另一方 面, 集合 S ={ 1 , 2 , …, 3 6 } 可 以分拆为三  个互不相交 的非 空子 集 A 。 、 A   、 A , 的并, 使得 它 们 
满 足题 设条件 . 令  A 。 ={ 4 k+ 3 l 0 ≤k ≤8 } U{ 4 , 8 , 1 6 , 2 4 , 3 6 } ,   A   ={ 4 k+1 l 0 ≤k ≤8 } U{ 6 , 1 4 , 1 8 , 2 6 , 3 4 } ,  
A 3 ={ 2 , 1 0 , 1 2 , 2 1 0 , 2 2 , 2 8 , 3 0 , 3 2 } .  

由递推关 系式可知 
3: 。 I — l 口 - 一   + l   .  

所 以, n | . 1 — 2 a m 一 3 = 6 , a m 一 4 a m 一 3 =9 .  

故n | . 1 一   a m 一   一 l : 3 n .  
又 a o =3 7 , 口 l =7 2 , 所 以,  
a o0 l =3 7X7 2=3X   8 8 8 .  

容易验证 A 。 、 A : 、 A , 满 足题 设条 件 .   所 以, k的最小值为 3 .   ( 张鹏程 提供 )  

而 n | . 1 一 嘲n | . 1 一 聃 =3 X   8 8 8 ,  

所以 , m一8 8 8 =1 . 故 m=8 8 9.  


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