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必修5第三章不等式之基本不等式20160513


基本不等式
考向一:基本不等式求最值(一正二定三相等)
直接运用 【例】设 x , y 是正实数,且 x ? y ? 3 ,则

y2 x2 的最小值是 ? x ?1 y ?1

【 解 析 】 因 为

x? y ?3 , 所 以

y?3 ?x

? 0 , 0? x ,? 所 3 以
2 x

y2 ? x ?1

x2 ?y 3 ?y 2 ?x 3 ( x 2 )? ( x ? ? y ?1 (x ? 1 ) y ?( 1 )

2 y ? 2 x? ) x 2? y y ? x? y? x ? y 1

y

4( x ? y )2 ? 11xy 11xy ? 36 80 80 9 ? ?? ? ?11 ? ? ?11 ? ? 2 4 ? xy xy ? 4 xy ? 4 5 ?x? y? ? ? ?4 ? 2 ?
当且仅当 x ? y ?

y2 x2 9 3 时等号成立,所以 的最小值为 . ? 5 2 x ?1 y ?1
1 1 ? ? 5 ,则 x ? y 的最大值是( x y
D.5 . )

【练 1】若正实数 x, y ,满足 x ? y ? A.2 B.3 C.4

【练 2】函数 y ?

x2 ? 2 ( x ? 1) 的最小值是 x ?1

1 2 ? ? 3 ,则 ? a ? 1??b ? 2? 的最小值是 a b 【练 4】若正数 a、b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是
【练 3】已知正实数 a , b 满足

. .

【解析 1】因为 5 ? x ? y ?
2

1 1 x? y 4 ? ? x? y? ? ? x ? y? ? x y xy x? y

所以, ? x ? y ? ? 5 ? x ? y? ? 4 ? 0 ? 1 ? x ? y ? 4 ,当且仅当 x ? y ? 2 时, x ? y 取 得最大值 4

x2 ? 2 ? x ? 1? ? 2 ? x ? 1? ? 3 3 【解析 2】 y ? = ? ? x ? 1? ? ?2?2 3?2 x ?1 x ?1 x ?1
2

【解析 3】∵

1 2 8 ? ? 3 ,∴ 2a ? b ? 3ab ? 2 2ab ? ab ? ,当且仅当 2a ? b 时, a b 9

等号成立,∴ ? a ? 1?? b ? 2 ? ? ab ? 2a ? b ? 2 ? 4ab ? 2 ?

50 ,即 ? a ? 1?? b ? 2? 的最 9

1

小值是

50 . 9

【解析 4】 由 a、 b 均为正数, 有 a ? b ? 2 ab , 则 ab ? 2 ab ? 3 , 利用换元法设 t ? (t ? 0 ) ,解得 t ? ?1 (舍) ,或 t ? 3 ,即 ab ? 9.

ab

拆配技巧:巧用常数
【例】已知 x>0, y>0, 且 x ? y ?

4 1 3 , 则 ? 的最小值为____________. 4 x y

【解析】由题

4 1 ? 4 1 ? ?4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? y ?? ? x y ? x y ? ?3 ?
当且仅当

4? 4y x ? ? ? 1? ? ?4? 3? x y ?

4? 4y x ? 5? 2 ? ? ? 12 =, ? ? 3? x y? ?

4y x 3 1 1 ? 即 x ? 2 y 时取等号,由 x ? y ? ,即当且仅当 x ? , y ? 成立 4 4 2 x y
1 2

【 例 】 已 知 实 数 x , y 满 足 x ? y ? 0,且 x ? y ? , 则 ________.

2 1 ? 的最小值为 x ? 3y x ? y

【解析】

2 1 2 1 ? ?( ? )[( x ? 3y) ? ( x ? y)] x ? 3y x ? y x ? 3y x ? y ? 3? 2(x ? y ) x ? 3y ? ? 3 ? 2 2. x ? 3y x? y

【练 1】函数 y?a

1? x

(a ? 0,a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线
1 1 ? 的最小值为( m n
C.5 D.6 )

mx ? ny ? 1 ? 0( mn ? 0) 上,则
A.3 B.4

【 练 2 】 已 知 M 是 ?ABC 内 的 一 点 , 且 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30? , 若

??? ? ????

1 4 1 ?MBC , ?MCA 和 ?MAB 的面积分别为 , x, y ,则 ? 的最小值是( ) 2 x y
A.20 D. 9 1 2 ? 【练 3】 已知实数 x , y 满足 x ? y ? 0 , 且x? y ?2, 则 的最小值为 2x ? 4 y x ? y B. 18 C. 16



2

【练 4】已知正数 x , y 满足

4x 9y 1 1 的最小值为 ? ? ? 1 ,则 x ?1 y ?1 x y



【 解 析 1 】 令 1 ? x ? 0 , 得 x ? 1, y ? 1 , 即 A(1,1) ; ? A(1,1) 在 直 线

m x ? ny ? 1 ? 0(m n ? 0) ,? m ? n ? 1 ;


n m 1 1 1 1 1 n m ? ? (m ? n)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 4(当且仅当 ? , 即m ? n ? m n 2 m n m n m n

时,取等号) 【解析 2】由 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30? 得

??? ? ????

AB ? AC cos300 ? 2 3 ? AB ? AC ? 4 , S ?ABC ?
从而有:x>0,y>0,且 x+y=

1 AB ? AC sin 30 0 ? 1 2

1 ,所以 2x+2y=1, 2

1 4 2 y 8x 1 4 1 4 ? ? ? ( ? )×1=( ? ) ? (2x+2y) ? 10 ? x y x y x y x y
又 x>0,y>0?

1 4 2 y 8x 2 y 8x ? ? 10 ? ? ≥ 10 ? 2 =10+8=18 ? x y x y x y

1 1 ? ? x? y ? x ? 1 ? ? ? ? ?x ? ? 2 6 时等号成立,取得最小值 18 当? 2 (舍) 或 ? 2 y 8 x ,即当 ? 1 ? ? ?y ? ? ? y ?1 ? x y 3 ? ?
【解析 3】 1 2 1 1 2 ? ? ( ? ) 2x ? 4 y x ? y 6 2x ? 4 y x ? y
[(2 x ? 4 y ) ? ( x ? y )] ?

1 x? y 2(2 x ? 4 y ) [3 ? ? ] 6 2x ? 4 y x? y
0 , x? y ?0 , 由 基 本 不 等 式 得

y? 因 为 x ? y ? 0 , 所 以 2x ? 4
1 2 1 5 ? ? (3 ? 2) ? . 2x ? 4 y x ? y 6 6

【解析 4】

?1 1? 4x 9y 4 9 4 9 4 y 9x ? ? ? ? ? ? 9 x ? 4 y ? ? 9 x ? 4 y ? ? ? ? ? 13 ? ? ? 25 1 1 1 1 x ?1 y ?1 1 ? x y x y ? ? 1? x y y x

3

考向三:不等式与函数
【例】已知 x ? 0 , y ? 0 , 2 x ? y ? 1 ,若 4 x ? y ? xy ? m ? 0 恒成立,则 m 的取值
2 2

范围是



2 2 【 解 析 】 因 为 4x ? y ?

xy ? ? 2 x ? y ? ? 4 xy ?
2

xy ? ?4 xy ? xy ? 1 , 所 以

2 2 4x ? y ? xy ? m ? 0 等 价 于 m ? ?4 x ?y
2

?x 1 y, 令 t ?
17 . 16

x ?y ? 0 t? , 则

1 7 ? 1? m ? ?4 2t ? ?t 1 ? ? ? 4? t ? ? ? 1 6 ? 8?

,所以 m ?

1 7 1 6

【例】设正实数 x, y , z 满足 x2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当 的最大值为

z 取得最大值时, x ? 2 y ? z xy

【解析】由题得 z ? 3xy ? x ? 4 y ? 4xy ? x, y, z ? 0? ,
2 2



z ? xy

,

z ?1 . 当 且 仅 当 x ? 2y xy

时 等 号 成 立 , 则

2 x ? 2 y ? z ? 2 y ? 2 y ? ? 4 y 2 ? 6 y 2 ? 4 y 2 ? ? 4 y ? 2 y 2 ? ?2 ? y 2 ? 2 y ? ? ?2 ?? y ? 1? ? 1? ? ?

? ?2 ? y ? 1? ? 2 .当 y ? 1 时, x ? 2 y ? z 有最大值 2.
2

【练 1】已知 a ? 0, b ? 0 ,如果不等式 ( A.10 ) B.7

2 1 m ? ? 恒成立,那么 m 的最大值等于 a b 2a ? b
C.8 D.9

【练 2】已知 x ? y ? 1, y ? 0, x ? 0 ,则

1 |x | ? 的最小值为 2 | x | y ?1

4

【解析 1】不等式

2 1 m 2 1 ? ? 恒成立,即不等式 m ? (2a ? b)( ? ) 恒成立,而 a b 2a ? b a b

2 1 2a 2b 2a 2b (2a ? b)( ? ) ? 5 ? ? ? 5? 2 ? ? 9, 所以 m ? 9 , m 的最大值等于 9 , a b b a b a
【解析 2】
1 | x| x? y | x| x ? 2y | x| x x ? 2y | x| x 1 3 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? 1? ? 2 | x | y ?1 2 | x | 2y ? x 4 | x | 2y ? x 4 | x | 4 | x | 2 y ? x ?4 x 4 4

,当且仅当 x ? 0, x ? 2 y ? ?2 x, x ? y ? 1 即 x ? ?2, y ? 3 时取等号

考向四:基本不等式实际应用题
【例】如图,已知小矩形花坛 ABCD 中,AB=3 m,AD=2 m,现要将小矩形花坛建成大 矩形花坛 AMPN,使点 B 在 AM 上,点 D 在 AN 上,且对角线 MN 过点 C. 2 (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 m ,AN 的长应在什么范围内? (2)M,N 是否存在这样的位置,使矩形 AMPN 的面积最小?若存在,求出这个最小面积 及相应的 AM,AN 的长度;若不存在,说明理由.

【解析】 (1)设 AM=x,AN=y(x>3,y>2),矩形 AMPN 的面积为 S,则 S=xy. ∵△NDC∽△NAM,∴

3y2 y?2 3 3y = ,∴x= ,∴S= (y>2). x y y?2 y?2



3y2 8 8 >32,得 2<y< ,或 y>8,∴AN 的长度应在(2, )或(8,+∞)内. 3 3 y?2 3y2 4 =3(y-2+ +4)≥3×(4+4)=24, y?2 y?2

(2)当 y>2 时,S=

当且仅当 y-2=

4 ,即 y=4 时,等号成立,解得 x=6. y?2

∴存在 M,N 点,当 AM=6,AN=4 时,Smin=24.

5

【练 1】某种树苗栽种时高度为 A(A 为常数)米,栽种 n 年后的高度记为 f(n).经研究
? 9A 3 t ? 2 发现 f(n)近似地满足 f(n)= ,其中 ,a,b 为常数,n∈N,f(0)=A.已 a ? bt n 2

知栽种 3 年后该树木的高度为栽种时高度的 3 倍. (1)栽种多少年后,该树木的高度是栽种时高度的 8 倍; (2)该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.

? 9A ? a ? b =A ? 1,b=8 . 【解析 1】 (1)由题意知 f ? 0?=A 解得 a= ,f ?3?=3A .所以 ? 9 A =3A ? 1 ?a ? b ? 4
所以 f(n)+
1 9A 9A =8A ,解得 t n ? ,其中 t ? ? 3 .令 f ? n ?= , 8A ,得 n n 64 1? 8? t 1? 8? t 2

所以 n=9 . 所以栽种9年后,该树木的高度是栽种时高度的 8 倍. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 f ( n ) =

9A . 第 1? 8? tn 9A 9A ? . ?=f ? n?-f (n- 1)= n 1 ? 8 ? t 1 ? 8 ? t n ?1

n

年 的 增 长 高 度 为

72 At n?1 (1 ? t ) 72 At n?1 (1 ? t ) 所以 ?= = (1 ? 8 ? t n )(1 ? 8 ? t n?1 ) 1 ? 8t n?1 (t ? 1) ? 64t 2 n?1
= t
? 2 t

72 A(1 ? t ) 1
n ?1

+64t n +8(t+1)
72 A(1 ? t ) = 72 A(1 ? t ) 9 A(1 ? t ) . = 8( t +1) 2 t +1
2(2 n ?1) 3

1
n ?1

? 64t n +8(t+1)
1 t
n ?1

当且仅当 64t ?
n

,即 2

-

?

1 时取等号,此时 n=5 . 64

所以该树木栽种后第 5 年的增长高度最大.

6

【练 2】某通讯公司需要在三角形地带 OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转 站,甲中转站建在区域 BOC 内,乙中转站建在区域 AOB 内.分界线 OB 固定,且

OB = (1 ? 3) 百 米 , 边 界 线 AC 始 终 过 点 B , 边 界 线 OA 、OC 满 足
0 0 ?A O C?7 5 ,? A O B ? 30 0 , ? BOC ? .设 4 5 OA ? x ( 3 ? x ? 6 )百米, OC ? y 百

米. C

B A

O

(1)试将 y 表示成 x 的函数,并求出函数 y 的解析式; (2)当 x 取何值时?整个中转站的占地面积 S ?OAC 最小,并求出其面积的最小值.

【 解 析

2 】

(1) 结 合 图 形 可 知 , S?B

O C

是 , ? S? A ?O B S? . A 于 O C

1 x( 1 ? 2

1 3 ) s0 i ? n 3y 0 ? 2

(1

0

1 2x 0 3 ? )x sy i n ,解得 4 5 y? s (3 i n 7? 56) . ?x 2 x?2

(2)由(1)知, y ?

2x 1 1 ? 3 x2 (3 ? x ? 6) ,因此, S?AOC ? xy sin 750 ? x?2 2 4 x?2

?

4 1? 3 4 ,即 x ? 4 时,等号成 [( x ? 2) ? ? 4] ? 2 ? 2 3 (当且仅当 x ? 2 ? x?2 4 x?2

立).

7

补充:运用基本不等式证明
【例】 a , b 是正数,则
a?b , 2 ab , 2ab 三个数的大小顺序是( a?b

)

a?b 2ab a ? b 2ab B. ab ? ? ab ? ? a?b 2 a?b A. 2

C.

2ab a?b ? ab ? a?b 2

D.

ab ?

2ab a ? b ? a?b 2

【解析】

a?b 2ab ab ? ab , ? ? ab 2 a?b a?b 2
≥a+b+c.

【例】已知 a,b,c 都是正实数,求证 (1)

【解析】 (1)要证 显然成立,故得证; (2)∵a,b,c 都是正实数, ∴ 相加,化简得 ,

即证:a ≥2ab﹣b 即证: (a﹣b) ≥0

2

2

2

≥a+b+c.

1 1 1 【例】已知 a , b , c 均为正数,证明: a2 ? b2 ? c2 ? ( ? ? )2 ≥ 6 3 . a b c

b, c 均为正数,由均值不等式得 a 2 ? b2 ? c2 ≥ 3(abc) 3 【解析】证法一:因为 a ,
因为
1 2 ? ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ≥ 3(abc) 3 ,所以 ( ? ? )2 ≥ 9(abc ) 3 . a b c a b c

2

2 2 ? 1 1 1 故 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ( ? ? )2 ≥ 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 . a b c

又 3 (abc) 3 ? 9(abc) 3 ≥ 2 27 ? 6 3 ,所以原不等式成立.

2

?

2

b, c 均 为 正 数 , 由 基 本 不 等 式 得 a2 +b2 ≥ 2ab , b2 +c2 ≥ 2bc , 证法二:因为 a,
c2 +a2 ≥ 2ca .所以 a2 +b2 + c2 ≥ ab ? bc ? ca .
同理
1 1 1 1 1 1 + + ≥ ? ? , a 2 b2 c 2 ab bc ca

1 1 1 3 3 3 所以 a2 +b2 + c2 ? ( + + )2 ≥ ab ? bc ? ca ? ? ? ≥6 3 . a b c ab bc ca 所以原不等式成立.

8


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