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数学竞赛训练题--解答题(每题含详解)


高中数学竞赛训练题—解答题 3 3 2 2 1.a , b 是两个不相等的正数, 且满足 a ? b ? a ? b , 求所有可能的整数 c,使得 c ? 9ab . 2. 已知不等式 1 1 1 1 a ? ? ? ... ? ? 对一切正整数 a 均成立, 求正整数 a n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24 的最大值,并证明你的结论。 2 2 3. 设 ?an ? 为 a1 ? 4 的单调递增数列, 且满足 an 求{ an } ?1 ? an ? 16 ? 8(an?1 ? an ) ? 2an?1an , 的通项公式。 4. (1)设 x ? 0, y ? 0, 求证: (2)设 x ? 0, y ? 0, z ? 0, x2 3x ? y ? ; x? y 4 x3 y3 z3 xy ? yz ? zx 求证: ? ? ? . x? y y?z z?x 2 5. 设数列 , , , , , ,?, , 1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1 1 2 k ,?, ,? , k k ?1 1 问: (1)这个数列第 2010 项的值是多少; (2)在这个数列中,第 2010 个值为 1 的项的序号是多少. 6. 设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每个 袋子里三种颜色球都有,且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。 7.已知数列 {an } 满足 a1 ? a ( a ? 0, 且a ? 1 ) ,前 n 项和为 Sn ,且 S n ? 记 bn ? an lg | an |( n ? N ) ,当 a ? ? ? a (1 ? an ) , 1? a n ,都有 bn ? bm ?如果存在,求出 m 的值;如果不存在,说明理由. 8. 在 ?ABC 中,已 AB?AC ? 9,sin B ? cos A sin C ,又 ?ABC 的面积等于 6. ??? ? ???? 7 时,问是否存在正整数 m ,使得对于任意正整数 3 (Ⅰ)求 ?ABC 的三边之长; (Ⅱ)设 P 是 ?ABC (含边界)内一点,P 到三边 AB、BC、AB 的距离为 d 1 、 d 2 和 d 3 , 求 d1 ? d 2 ? d3 的取值范围. 9.在数列 ?an ? 中, a1 , a2 是给定的非零整数, an?2 ? an?1 ? an . (1)若 a15 ? 2 , a16 ? ?1 ,求 a2008 ; (2)证明:从 ?an ? 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列. 10. 已知椭圆 x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) , Rt ?ABC 以 A (0,1)为直角顶点,边 AB、BC 与椭圆 2 a 27 ,求 a 的值。 8 交于两点 B、C。若△ABC 面积的最大值为 11. 如图,椭圆 C : x ? y ? 1(a ? b ? 0) , A1 、 A2 、 B1 、 B2 为椭圆 C 的顶点. 2 2 a b 2 2 (Ⅰ)设点 M ( x0 ,0) ,若当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的顶点时, | PM | 取得最大值与最 小值,求 x0 的取值范围; (Ⅱ)若椭圆 C 上的点 P 到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为 1 ,且与直线 l : y ? kx ? m 相 交于 A , B 两点( A,B 不是椭圆的左右顶点) ,并满足 AA2 ? BA2 .试研究:直线 l 是否过 定点?若过定


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