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全国高中数学联赛模拟试题(七)


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全国高中数学联赛模拟试题(七)
一。选择题
a a ? 2 s 4 ? 3, 1、在等比数列 ? n ? 中,记 s n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n , 已知 5 数列的公比为 A 2 B 3 C 4 D 5
a 6 ? 2

s5 ? 3

则此

2、设函数 y ? f ( x ) 对一切实数 x 都满足 f (3 ? x ) ? f (3 ? x ) ,且方程 f ( x ) ? 0 ,恰有 6 个不同的实根,则这 6 个实根的和为 A 0 B 9 C 12 D 18 3、已知点 A 为双曲线 x ? y ? 1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右支上, ? A B C 是等
2 2

边三角形,则 ? A B C 的面积是
3 3 3

A. 3

B。 2

C。 3 3

D
x1
2

6 3

2 4.设 x 1 , x 2 是实系数一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0 的根,若 x1 是虚数, x 2 是实数,则

s ? 1?

x1 x2

?(

x1 x2

) ?? ? (
2

x1 x2

)

1995

的值为 -998 C 998 D 1

A 0

B

5.正方体棱长为 a ,与正方体一条对角线垂直的最大截面面积为
3 a
2

3 3

a

2

C . 2a

2

D.

3 2 4

a

2

A. 2 6.函数 y ?
1 ? sin x ?

B。

4

1 ? sin x 的单调递增区间是

? ? ? A. k ? ? , k ? ? ? , k ? z , ? ? 2 ? ?
C.

? ? B. k? , k? ? ? 2 ?
D. ? k? , ? 2 ? k? 2

? , k ? z, ? ? ?

? ? k? ? , ? 2 4 ?

k? ? , k ? z. 2 ? ?
y ? 10
y

? ?
4? ?

,k ? z

二.填空题 7.已知
x ? lg x ? 1 0 , ? 10.

则x ? y ?
f ( x y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 且 f ( 2 ) ? 1, 则 f ( 1 64 )的 值 是

8. 函数 f ( x ) 对任意正实数 x , y 。 都满足:
? ABC

中 , AB边 为 最 长 边 , sinAsinB=

2- 3 4

则 cos A cos B 的 最 大 值 为

9. 10.已知 a ? (0,1) 的常数, 11.已知 a , b , c , d
3 2

x ? y ? 1, 函 数 f ( x , y ) ? a x ? y 的 最 大 值 为

? N 且 满 足 3 4 ( a b c d ? a b ? a d ? cd ? 1) ? 3 7 9 ( b cd ? b ? d ), 2

设 M ? a ? 1 0 ? b ? 1 0 ? c ? 1 0 ? d 则 M 的值为

12 . 已 知
a 1 a? 2 a1 ? 3 ?a

99
?

2 个 数 a1 , a , ? a

9

每9 个 都 只 能 取
9 9

1

或 -1 , 则

a1 ? 9 ? a 9

a? 2 a 的最小值是 9 a8 ? a 3

三.解答题
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13.已知

f (x) ? ( 2 ?

x)

2

( x ? 0 ), 又 数 列 ? a n ? ( a n ? 0 )

中,a 1 ? 2 ,这数列的前 n 项

和 sn (n ? N ) (1)求数列 ?
bn ?

对所有大于 1 的正整数 n 都有 s n ? f ( s n ? 1 )
an?
2

的通项公式。
2

a n ?1 ? a n 2 a n ?1 a n

(n ? N )

?

(2)若

,求证:

lim ( b
n? ?

1

? b2 ? ? bn ? n ) ? 1

f (x) ? (

x ?1 x ?1

)

2

( x ? 1), 如 果 不 等 式 (1 ?

x) f

?1

( x) ? m (m ?

x)

14.已知函数

对区间

? 1 1? , ?16 4 ? ? ? 上的每一个 x 值恒成立,求实数 m 的范围。

15.如果抛物线 x ? 2 p x 的轨迹
2

的切线交等轴双曲线 x y ? 1

于 P1 , P2 两点,求 P1 P2

中点

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全国高中数学联赛模拟试题(七)答案
选择题
a 6 ? a 5 ? 2 ( s5 ? s4 ) ? 2 a 5 , a6 ? 3a5 , ?公比q ? q6 q5 ?3

1、 B. 2、 D.

f ( x )关 于 x ? 3 对 称 , 每 一 对 根 之 和 为 6 , 6 个 实 根 和 为 6 ? 3 = 1 8 ,
设 点 B 在 x 轴 上 方 ,由 已 知 得 K A B ? 3 3 , 直 线 AB方 程 为 y= 3 3 x? 3 3 ,

3、 C. 4、 D.

代 入 双 曲 线 方 程 ,得 B(2,

3 ).同 理 , C ( 2 , ?
i?

3 )故 ? A B C 的 面 积 为 3 3
i ( ?? )

由 已 知 x1与 x 2 共 轭 , 设 x1 ? r e

, x2 ? re

,
i 4? 3



x1

2

? re

i 3?

? R,得 ? ?

?
3



2? 3

,所 以

x1 x2

? e

i

2? 3

或e

, 代 入 s中 得 s ? 1

x2

5、B. 当 A、B、C、D、E、F 均为所在棱的中点时,正六边形 ABCDEF,所在面与正 方 体 对 角 线 垂 直 、 且 面 积 最 大 , 正 方 形 边 长 为
2 2 a,故 面 积 为6 ? 3 4 ( 2 2 a) ?
2

3 3 4

a .

2

因 y ? 0,

易证 :

y与 y 具 有 相 同 的 单 调 区 间 , 1 ? s in
2

2

6、A.

y

2

? 1 ? s in x ? 1 ? s in x ? 2

x ? 2 ? 2 cos x

而 | cos x | 的 周 期 为 ? ,
2

故 只 需 研 究 y 在 ?? , ? ? 的 单 调 性 .
2

在 ? ? , ? ?内 , y 的 单 调 增 区 间 为

?? ? ,? , ?2 ? ? ?

从而y 的单调增区间为

2

? ? ? k? ? , k ? ? ? (k ? z ) , 故 y的 单 调 增 区 间 为 ? ? 2 ? ?

? ? ? k? ? k? ? ? , k? z ( ? ? 2 ? ?

)

一、填空题 7、10 .
令 f (t ) ? t ? 1 0 , 则 f (t )是 严 格 递 增 函 数 , 故 存 在 唯 一 的 实 数 y , 使 得 y + 1 0 ? 1 0 ,
t y

又 l gx ? 1 ? x 0

,故1

1 0 x ?

0 ? x

即 ,

? 1 0? ( x

)

1? 0 x

1 0 ?

所 以 10-x=y,即 x+y=10 1 0,

8、—6 .
由 f (1 ? 1) ? f (1) ? f (1), 得 f (1) ? 0, f ( 4 ) ? f ( 2 ) ? f ( 2 ) ? 2, f (8) ? f ( 2 ) ? f ( 4 ) ? 3
f (6 4 ) ? f (8 ) ? f (8 ) ? 6 , 0 ? f (1) ? f (6 4 ? 1 64 ) ? f (6 4 ) ? f ( 1 64 ), 所 以 f ( 1 64 ) ? ?6

2?

3

9、

4
? A B C 中 , A B 为 最 长 边 , s in A s in B ? 2? 4 2? 4 6 ? 4 3 , 则 cosAcosB的 最 大 值 为 2+ 4 3

由, A B是 最 长 边 知 , ? A, ? B均 为 锐 角 ,cosAcosB+sinAsinB=cos(A-B)? 1
c o s A c o s B ? 1 ? s in A s in B ? 3 , 当 ? A ? ? B , 即 s in A ? s in B ? 2 时等号成立

10、1.
f ( x , y ) ? a x ? y ? a x ? y ? a x ? (1 ? x ) ? ( a ? 1) x ? 1前 一 个 等 号 成 立 , 应 有 x ? 0, y ? 0,
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当 0 ? x ? 1, ?x ? 0 故 ? 时, ?y ?1 11、1949

0 ? a ? 1时 , g ( x ) m ax ? 1

g ( x ) ? ( a ? 1) x ? 1为 减 函 数 ,

x ? 0时 ,

g ( x ) m ax ? 1

?由 已 知 得 1+ 9+

1 1 4+ 1 9

? a? b?

1 1 c? 1 a

,连 分 数 表 示 法 唯 一.

12、11
? ( a1 ? a 2 ? ? ? a 9 9 ) ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2
2 2 2 2

?
1? i ? j ? 9 9

a i a j ? ( a1 ? ? ? a n ) ? 9 9 ? 2 ?
2

使 9 9 + 2 ? 为 完 全 平 方 数 的 最 小 正 整 数 为 1 2 1,
或 5 5 个 ? 1, 4 4 个 可 使 a1 ? ? ? a 1
2
9 9

即 当 取 5 5 个 1,
1? 1

4 4 个 ? 1,
1 1.

?

?的最小值为
2, 且 S1 ? 2,
a1 ? 2

13、

(1)

因 为 Sn ? (
Sn ?

2 ?

S n ?1 ) ,

S n ? 0,
2

所以有

Sn ?

S n ?1 ?

故得

2 ? n,

即 S n ? 2 n ( n ? 2 ),

即 a n ? S n ? S n ?1 ? 4 n ? 2 ,

所 以 an ? 4 n ? 2 (n ? 1 )
( a n ?1 ? a n ) 2 a n ?1 a n
1 2n ? 1
2

由 (1) 可 知 b n ?

?1?

2 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)
? n,

?1?

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

? 1,
1

所 以 b1 ? b 2 ? ? ? b n ? 1 ?
n? ?

b 1 b ? ? ? bn ? n ? 1 ? ? 2

2n ? 1

,

因 此 lim ( b1 ? b 2 ? ? ? b n ? n ) ? 1

由 f (x) ?

( x ? 1) ( x ? 1)

2 2

? f

?1

(x) ?

1? 1?

x x

,

因 f (x) ? (

x ?1 x ?1

) ? (1 ?
2

2 x ?1

)

2

且x ?1

14、

故 f ( x )的 值 域 为 ( 0 , 1 ) , 1? 1? x x
1 4

故 f

-1

(x) ?

1? 1?

x x

( 0 ? x ? 1)

由 题 设 (1 ?
对一切满足

x)?
1 16

? m (m ?

x ),

故 (1 ? m )

x ?1? m

2

? 0

? x ?

的 x恒 成 立 ,
2

显 然1 ? m ? 0,

即 m ? ?1

令t ?

x,

则 ? ( t ) ? (1 ? m ) t ? 1 ? m (
2

1 4

? t ?

1 2

),

故 ? (t )是 一 个 一 次 函 数 ,

且 ? ( t ) ? (1 ? m ) t ? (1 ? m ) ? 0 , 对 比

?1 1? , 恒 成 立 ,由 一 次 函 数 的 单 调 性 ?4 2? ? ?
( 2 )当 m < - 1 时 , 只 要 ? ( 1 2 ) ? 0 ? m ? ?.

1 5 (1)当 m ? ? 1时 , 只 要 ? ( ) ? 0 ? ? 1 ? m ? , 4 4 综上, m的 范 围 为 ? 1 ? m ?
2

5 4

.
1 1

15、 设 p 1 p 2 与 抛 物 线 x

? 2 p y的 切 点 为 M ( x 0 , y 0 ), p 1 p 2的 中 点 为 p ( x , y ).

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因 p 1 p 2 是 抛 物 线 x ? 2 p y 切 于 M ( x 0 , y 0 )的 切 线 , 则 p 1 p 2 方 程 为 x 0 x ? p y ? p y 0 ? 0 ? (1)
2

同 理 p1 p 2 是 双 曲 线 x y = 1 以 p ( x , y )为 中 点 的 弦 , 易 求 p1 p 2 方 程 为 y x ? x y ? 2 x y ? 0 ? ( 2 )
1 1 1 1 1 1

(1) 与 ( 2 ) 是 同 一 条 直 线 , 所 以 有 y : x 0 ? x : ( ? p ) ? ( ? 2 x y ) : ( ? p y 0 ),
1 1 1 1

? ? py ? x0 ? 1 从而 ? ? (3), x 1 ? y ? ?2 y ? 0
1

但 点 M ( x0 , y 0 )在 抛 物 线 上 , 所 以 有 x0

2

? 2 py0 ,

将 (3)代 入 得 (

? py x
1

1

)

2

? 2 p ( ? 2 y ),
1

即(x )
2

1

2

? ?

1 4

py .

1

以 ( x , y ) 代 换 动 点 p的 坐 标 有 所 求 方 程 为 x

? ?

1 4

p y ( x y ? 1)

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