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2015-2016学年安徽师大附中高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年安徽师大附中高二(下)期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 3 分,共 36 分,每小题给出的 4 个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的) 1.i 是虚数单位,复数 i2(i﹣1)的虚部是( ) A.i B.﹣i C.1 D.﹣1 2.不等式 的解集为( )

A. C.[0,1)∪(1,+∞) D

. (﹣∞,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) (﹣∞, 0]∪[1,+∞) 3.在极坐标系中,点 P(ρ,θ)关于极点对称的点的一个坐标是( ) A. C. (﹣ρ,﹣θ) B. (ρ,﹣θ) (ρ,π﹣θ) D. (ρ,π+θ) 4.下列说法不正确的是( ) A.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题等四种命题中真命题个数为偶数 B.命题:“若 xy=0,则 x=0 或 y=0”的逆否命题是“若 x≠0 或 y≠0,则 xy≠0” C.椭圆 =1 比椭圆 =1 更接近于圆

D.已知两条直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充分不必要条件是 =﹣3 5.若圆的方程为 (θ 为参数) ,直线的方程为 (t 为参数) ,则

直线与圆的位置关系是( ) A.相交过圆心 B.相交而不过圆心 C.相切 D.相离 6.某商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均气温 x(℃)之间的关系,随机统计了 某 4 个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表: 17 13 8 2 月平均气温 x(℃) 24 33 40 55 月销售量 y(件) 由表中数据算出线性回归方程 =bx+a 中的 b=﹣2,气象部门预测下个月的平均气温约为 6℃,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( A.46 B.40 C.38 D.58 )件.

7.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 是( ) A.方程 x2+ax+b=0 没有实根 B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 8.如图的程序框图表示算法的运行结果是( )

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A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1 9.下列说法中正确的个数为( )个 ①在对分类变量 X 和 Y 进行独立性检验时, 随机变量 K2 的观测值 k 越大, 则“X 与 Y 相关” 可信程度越小; ②在回归直线方程 =0.1x=10 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 增加 0.1

个单位; ③两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1; ④在回归分析模型中,若相关指数 R2 越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好. A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知整数对的序列如下: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (2,2) , (3,1) , (1,4) , 2 3 3 2 4 1 70 … ( , ) , ( , ) , ( , ) , ,则第 个数对是( ) A. (5,8) B. (4,10) C. (8,4) D. (4,9) 11.设曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,直线 l 的方程为 x﹣3y+2=0,则

曲线 C 上到直线 l 距离为

的点的个数为(



A.1 B.2 C.3 D.4 12.面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4) ,此四边形内任一 点 P 到第 i 条边的距离为 hi(i=1,2,3,4) ,若 ,则

; 根据以上性质, 体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S ( i i=1,

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2,3,4) ,此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i=1,2,3,4) ,若 ,则 H1+2H2+3H3+4H4=( A. B. C. D. )

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把结果填在题后的横线上) 13.命题“? x∈R,|x|+x2≥0”的否定式______. 14.复数 z 满足(l+i)z=| ﹣i|,则 =______. 15.观察下列等式: 1﹣ = 1﹣ + ﹣ = + 1﹣ + ﹣ + ﹣ = + + … 据此规律,第 n 个等式可为______. 16.若关于 x 的不等式|2﹣x|+|x+a|<5 有解,则实数 a 的取值范围是______. 17.设 P(x,y)是曲线 C: 取值范围是______. 三.解答题(本大题共 5 小题,44 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (1)已知命题 p:“不等式|x|+|x﹣1|>m 的解集为 R”,命题 q:“f(x)=﹣(5﹣2m) x 是减函数”. 若“p 或 q”为真命题,同时“p 且 q”为假命题,求实数 m 的取值范围; (2)若 a>b>c>d>0,且 a+d=b+c,求证: + < + . 19.某学校对手工社、摄影社两个社团招新报名的情况进行调查,得到如下的 2×2 列联表: 手工社 摄影社 总计 6 女生 42 男生 30 60 总计 (1)请填上上表中所空缺的五个数字; (2)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为学生对这两个社团的选择与“性别”有 关系? (注:K2= ,n=a+b+c+d) (θ 为参数,0≤θ<2π)上任意一点,则 的

20.已知曲线 C1:

(t 为参数) ,C2:

(θ 为参数) .

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(1)化 C1、C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若曲线 C1 和 C2 相交于 A,B 两点,求|AB| 21.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 (α 为参数) ,在以坐标原点 )=2 .

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρsin(

(Ⅰ)分别将曲线 C 的参数方程和直线 l 的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程; (Ⅱ)动点 A 在曲线 C 上,动点 B 在直线 l 上,定点 P 的坐标为(﹣2,2) ,求|PB|+|AB| 的最小值. 22.如表是我国一个工业城市每年中度以上污染的天数,由于以前只注重经济发展,没有过 多的考虑工业发展对环境的影响,近几年来,该市加大了对污染企业的治理整顿,环境不断 得到改善. 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 年份(x) 中度以上污染的天数 90 74 62 54 45 (y) (1)在以上 5 年中任取 2 年,至少有 1 年中度以上污染的天数小于 60 天的概率有多大; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 (3)按照环境改善的趋势,估计 2016 年中度以上污染的天数. = x+

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2015-2016 学年安徽师大附中高二 (下) 期中数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每题 3 分,共 36 分,每小题给出的 4 个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的) 1.i 是虚数单位,复数 i2(i﹣1)的虚部是( ) A.i B.﹣i C.1 D.﹣1 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【解答】解:∵i2(i﹣1)=(﹣1)×(i﹣1)=1﹣i. ∴复数 i2(i﹣1)的虚部是﹣1. 故选:D.

2.不等式

的解集为(

) C.[0,1)∪(1,+∞) D. (﹣∞,

A. (﹣∞,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) 0]∪[1,+∞)

【考点】其他不等式的解法. 【分析】先将此分式不等式等价转化为一元二次不等式组,特别注意分母不为零的条件,再 解一元二次不等式即可. 【解答】解:不等式 ? ?x(x﹣1)≤0 且 x≠0?1<x 或 x≤0,

不等式的解集为: (﹣∞,0]∪(1,+∞) 故选 A. 3.在极坐标系中,点 P(ρ,θ)关于极点对称的点的一个坐标是( A. C. (﹣ρ,﹣θ) B. (ρ,﹣θ) (ρ,π﹣θ) D. (ρ,π+θ) )

【考点】极坐标刻画点的位置. 【分析】由于把点 P(ρ,θ)绕极点逆时针旋转 π 弧度,即可得到点 P 关于极点对称的点, 从而得到点 P 关于极点对称的点的一个坐标. 【解答】解:把点 P(ρ,θ)绕极点逆时针旋转 π 弧度,即可得到点 P 关于极点对称的点, 故点 P(ρ,θ)关于极点对称的点的一个坐标是 (ρ,θ+π) , 故选:D. 4.下列说法不正确的是( ) A.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题等四种命题中真命题个数为偶数 B.命题:“若 xy=0,则 x=0 或 y=0”的逆否命题是“若 x≠0 或 y≠0,则 xy≠0” C.椭圆 =1 比椭圆 =1 更接近于圆

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D.已知两条直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充分不必要条件是 =﹣3 【考点】四种命题间的逆否关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】A 中,根据互为逆否命题的两个命题真假性相同,判定 A 正确; B 中,写出命题“若 xy=0,则 x=0 或 y=0”的逆否命题,判定 B 错误; C 中,由两椭圆的离心率比较哪个椭圆更接近于圆,判定出 C 正确; D 中, =﹣3 时,两直线 l1⊥l2;l1⊥l2 时,不能得出 =﹣3;判定 D 正确.

【解答】解:对于 A,一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中,互为逆否的命题有两 对, 根据“互为逆否命题的两个命题同真同假”知,这四个命题中真命题个数为 0、2 或 4;∴A 正确. 对于 B,命题:“若 xy=0,则 x=0 或 y=0”的逆否命题是“若 x≠0 且 y≠0,则 xy≠0”,∴B 错误. 对于 C,椭圆 =1 的离心率是 e1= ,椭圆 =1 的离心率是 e2= ,e1<e2;

∴椭圆

=1 比椭圆

=1 更接近于圆;∴C 正确.

对于 D,当 =﹣3 时,直线 ax+3y﹣1=0,x+by+1=0 满足 a+3b=0,∴l1⊥l2; 当 l1⊥l2 时,直线 ax+3y﹣1=0,x+by+1=0 有 a+3b=0,不能得出 =﹣3;∴是充分不必要条 件;∴D 正确. 所以,说法错误的是 B. 故选:B.

5.若圆的方程为

(θ 为参数) ,直线的方程为

(t 为参数) ,则

直线与圆的位置关系是( ) A.相交过圆心 B.相交而不过圆心 C.相切 D.相离 【考点】直线与圆的位置关系;直线的参数方程;圆的参数方程. 【分析】 把圆的方程及直线的方程化为普通方程, 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到 已知直线的距离 d,判定发现 d 小于圆的半径 r,又圆心不在已知直线上,则直线与圆的位 置关系为相交而不过圆心. 【解答】解:把圆的参数方程化为普通方程得: (x+1)2+(y﹣3)2=4, ∴圆心坐标为(﹣1,3) ,半径 r=2, 把直线的参数方程化为普通方程得:y+1=3(x+1) ,即 3x﹣y+2=0, ∴圆心到直线的距离 d= = <r=2,

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又圆心(﹣1,3)不在直线 3x﹣y+2=0 上, 则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心. 故选:B 6.某商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均气温 x(℃)之间的关系,随机统计了 某 4 个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表: 17 13 8 2 月平均气温 x(℃) 24 33 40 55 月销售量 y(件) 由表中数据算出线性回归方程 =bx+a 中的 b=﹣2,气象部门预测下个月的平均气温约为 6℃,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( A.46 B.40 C.38 D.58 )件.

【考点】线性回归方程. 【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上, 利用待定系数法做出 a 的值,可得线性回归方程,根据所给的 x 的值,代入线性回归方程, 预报要销售的件数. 【解答】解:由表格得( , )为: (10,38) , 又( , )在回归方程 =bx+a 中的 b=﹣2, ∴38=10×(﹣2)+a, 解得:a=58, ∴ =﹣2x+58, 当 x=6 时, 故选:A. 7.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 是( ) A.方程 x2+ax+b=0 没有实根 B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 【考点】反证法与放缩法. 【分析】直接利用命题的否定写出假设即可. 【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定, ∴用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 是方程 x2+ax+b=0 没有实根. 故选:A. 8.如图的程序框图表示算法的运行结果是( ) =﹣2×6+58=46.

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A.﹣2 B.2

C.﹣1 D.1

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,i 的值,当 i=4 时满足条件 i>3, 退出循环,输出 S 的值为 2. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 S=0,i=1 不满足条件 i>3,不满足条件 i 是偶数,S=1,i=2 不满足条件 i>3,满足条件 i 是偶数,S=﹣1,i=3 不满足条件 i>3,不满足条件 i 是偶数,S=2,i=4 满足条件 i>3,退出循环,输出 S 的值为 2. 故选:B. 9.下列说法中正确的个数为( )个 ①在对分类变量 X 和 Y 进行独立性检验时, 随机变量 K2 的观测值 k 越大, 则“X 与 Y 相关” 可信程度越小; ②在回归直线方程 =0.1x=10 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 增加 0.1

个单位; ③两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1; ④在回归分析模型中,若相关指数 R2 越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好. A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】相关系数. 【分析】根据独立性检验的基本概念,利用“残差”的意义、相关指数的意义,即可得出正确 的判断. 【解答】解:对于①,在对分类变量 X 和 Y 进行独立性检验时,随机变量 K2 的观测值 k 越大,则“X 与 Y 相关”可信程度越大,①错误;
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对于②,在回归直线方程

=0.1x=10 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量



加 0.1 个单位,②正确; 对于③,两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1,③正确; 对于④,在回归分析模型中,若相关指数 R2 越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越 好,④正确. 综上,正确的命题有 3 个,分别是②③④. 故选:C. 10.已知整数对的序列如下: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (2,2) , (3,1) , (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) ,…,则第 70 个数对是( ) A. (5,8) B. (4,10) C. (8,4) D. (4,9) 【考点】归纳推理. 【分析】根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律,然后找出第 70 对数的两个数的和 的值以及是这个和值的第几组,然后写出即可. 【解答】解: (1,1) ,两数的和为 2,共 1 个, (1,2) , (2,1) ,两数的和为 3,共 2 个, (1,3) , (2,2) , (3,1) ,两数的和为 4,共 3 个, (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) ,两数的和为 5,共 4 个 … (1,n) , (2,n﹣1) , (3,n﹣2) ,…(n,1) ,两数的和为 n+1,共 n 个 ∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66, ∴第 70 对数是两个数的和为 13 的数对中, 对应的数对为(1,12) , (2,11) , (3,10) , (4,9)…(12,1) , 则第 70 对数为(4,9) , 故选:D

11.设曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数) ,直线 l 的方程为 x﹣3y+2=0,则

曲线 C 上到直线 l 距离为 A.1 B.2 C.3

的点的个数为( D.4



【考点】圆的参数方程. 【分析】由题意将圆 C 和直线 l 先化为一般方程坐标,然后再计算曲线 C 上到直线 l 距离为 的点的个数. 【解答】解:化曲线 C 的参数方程为普通方程: (x﹣2)2+(y+1)2=9, 圆心(2,﹣1)到直线 x﹣3y+2=0 的距离 直线和圆相交,过圆心和 l 平行的直线和圆的 2 个交点符合要求, 又 , ,

在直线 l 的另外一侧没有圆上的点符合要求,
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故选 B. 12.面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4) ,此四边形内任一 点 P 到第 i 条边的距离为 hi(i=1,2,3,4) ,若 ,则

; 根据以上性质, 体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S ( i i=1, 2,3,4) ,此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i=1,2,3,4) ,若 ,则 H1+2H2+3H3+4H4=( A. B. C. D. )

【考点】类比推理. 【分析】由 可得 ai=ik,P 是该四边形内任意一点,将 P 与四边形的四

个定点连接, 得四个小三角形, 四个小三角形面积之和为四边形面积, 即采用分割法求面积; 同理对三棱值得体积可分割为 5 个已知底面积和高的小棱锥求体积. 【解答】解:根据三棱锥的体积公式 得: 即 S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=3V, ∴ , ,

即 故选 B.



二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把结果填在题后的横线上) 13.命题“? x∈R,|x|+x2≥0”的否定式 ? x∈R,|x|+x2<0 . 【考点】命题的否定. 【分析】全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题, 所以命题“? x∈R,|x|+x2≥0”的否定式:? x∈R,|x|+x2<0. 故答案为:? x∈R,|x|+x2<0. 14.复数 z 满足(l+i)z=| ﹣i|,则 = 1+i . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】根据复数模的计算和复数的运算法则以及共轭复数的定义即可求出. 【解答】解: (l+i)z=| ﹣i|=2, ∴z= = =1﹣i,

∴ =1+i,
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故答案为:1+i 15.观察下列等式: 1﹣ = 1﹣ + ﹣ = + 1﹣ + ﹣ + ﹣ = + + … 据此规律,第 n 个等式可为 +… + = +… + .

【考点】归纳推理;数列的概念及简单表示法. 【分析】由已知可得:第 n 个等式含有 2n 项,其中奇数项为 等式右边为后 n 项的绝对值之和.即可得出. 【解答】 解: 由已知可得: 第 n 个等式含有 2n 项, 其中奇数项为 等式右边为后 n 项的绝对值之和. ∴第 n 个等式为: +…+ = +…+ . , 偶数项为﹣ . 其 ,偶数项为﹣ .其

16.若关于 x 的不等式|2﹣x|+|x+a|<5 有解,则实数 a 的取值范围是 ﹣7<a<3 . 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】求出|2﹣x|+|x+a|的最小值,解|a+2|<5,从而求出 a 的范围即可. 【解答】解:∵|2﹣x|+|x+a|≥|2﹣x+x+a|=|a+2|, 若|x+2|+|x﹣a|<5 有解, 则|a+2|<5,解得:﹣7<a<3, 故答案为:﹣7<a<3.

17.设 P(x,y)是曲线 C:

(θ 为参数,0≤θ<2π)上任意一点,则 的

取值范围是



【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】曲线 C: (θ 为参数,0≤θ<2π)化为(x+2)2+y2=1,设 =k,

即 kx﹣y=0,利用直线与圆的位置关系即可得出. 【解答】解:曲线 C: 以(﹣2,0)为圆心,1 为半径的圆.
第 11 页(共 15 页)

(θ 为参数,0≤θ<2π)化为(x+2)2+y2=1,表示

设 =k,即 kx﹣y=0,



≤1,化为:

,解得

≤k



故答案为:



三.解答题(本大题共 5 小题,44 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (1)已知命题 p:“不等式|x|+|x﹣1|>m 的解集为 R”,命题 q:“f(x)=﹣(5﹣2m) x 是减函数”. 若“p 或 q”为真命题,同时“p 且 q”为假命题,求实数 m 的取值范围; (2)若 a>b>c>d>0,且 a+d=b+c,求证: + < + . 【考点】复合命题的真假;不等式的证明. 【分析】 (1)分别求出 p,q 为真时的 m 的范围,通过讨论 p,q 的真假,得到关于 m 的不 等式,解出即可; (2)问题转化为证明 ad<bc,作差得到 ad﹣bc=(a﹣c) (b﹣a) ,通过讨论 a﹣c,b﹣a 的 符号,判断其大小,从而证出结论. 【解答】解: (1)∵不等式|x|+|x﹣1|>m 的解集为 R,∴m<1, p 故 为真时,m<1, ∵f(x)=﹣(5﹣2m)x 是减函数, ∴5﹣2m>1,解得:m<2, 故 q 为真时,m<2, 若“p 或 q”为真命题,同时“p 且 q”为假命题, 则 p,q 一真一假, ∴ 或 ,

解得:1≤m<2; (2)要证 + < 只需证 <

+

, ,

即 a+d+2 <b+c+2 ,因 a+d=b+c, 只需证 < 即 ad<bc, 因为 d=b+c﹣a, 则 ad﹣bc=a(b+c﹣a)﹣bc =ab+ac﹣a2﹣bc =(a﹣c) (b﹣a) , 因为 a>b>c>d>0,所以 a﹣c>0,b﹣a<0, 从而 ad﹣bc<0, 所以 + < + . 19.某学校对手工社、摄影社两个社团招新报名的情况进行调查,得到如下的 2×2 列联表: 手工社 摄影社 总计 6 女生
第 12 页(共 15 页)

42 男生 30 60 总计 (1)请填上上表中所空缺的五个数字; (2)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为学生对这两个社团的选择与“性别”有 关系? (注:K2= ,n=a+b+c+d)

【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (1)根据表中已有的数据,根据 2×2 列联表,即可完成 2×2 列联表; (2)根据 2×2 列联表,代入求临界值的公式,求出观测值,利用观测值同临界值表进行比 较,K2≈2.857<3.841,因此不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为学生对这两个 社团的选择与“性别”有关系. 【解答】解: (1)根据表中数据完成 2×2 列联表: 手工社 摄影社 总计 12 6 18 女生 18 24 42 男生 30 30 60 总计 (2)K2= = = ≈2.857<3.841.

所以,不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为学生对这两个社团的选择与“性别” 有关系.

20.已知曲线 C1:

(t 为参数) ,C2:

(θ 为参数) .

(1)化 C1、C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若曲线 C1 和 C2 相交于 A,B 两点,求|AB| 【考点】参数方程化成普通方程.

【分析】 (1) 曲线 C1:

C2: (t 为参数) , 消去参数可得普通方程, 表示一条直线.

(θ 为参数) ,利用平方关系可得普通方程,表示一个圆.

(2)曲线 C1:

(t 为参数) ,代入代入曲线 C2 整理可得:

t+4=0,

利用|AB|=|t1﹣t2|=

,即可得出.
第 13 页(共 15 页)

【解答】解: (1)曲线 C1:

(t 为参数) ,消去参数可得:x﹣y+4=0,

曲线 C1 为经过(﹣4,0)和(0,4)两点的直线. C2: (θ 为参数) ,利用平方关系可得: (x+2)2+(y﹣1)2=1,

曲线 C2 为以(﹣2,1)为圆心,1 为半径的圆. (2)曲线 C1: (t 为参数) ,

代入曲线 C2 整理可得:

t+4=0, ,t1?t2=4, .

设 A,B 对应参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=3 ∴|AB|=|t1﹣t2|= =

21.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为

(α 为参数) ,在以坐标原点 )=2 .

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρsin(

(Ⅰ)分别将曲线 C 的参数方程和直线 l 的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程; (Ⅱ)动点 A 在曲线 C 上,动点 B 在直线 l 上,定点 P 的坐标为(﹣2,2) ,求|PB|+|AB| 的最小值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)消参数,根据 cos2α+cos2α=1 得出曲线 C 的普通方程,利用极坐标与直角坐标 的对应关系得到直线 l 的普通方程; (2)求出 P 关于直线 l 的对称点 P′,则|PB|+|AB|的最小值为 P′到圆心的距离减去曲线 C 的半径. 【解答】解: (1)∵ ,∴ ,∴(x﹣1)2+y2=1.

∴曲线 C 的普通方程是: (x﹣1)2+y2=1. ∵ρsin( )=2 ,∴ ρsinθ+ ρcosθ=2 ,即 ρsinθ+ρcosθ=4.

∴直线 l 的直角坐标方程为 x+y﹣4=0.

(2)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x,y) ,则

,解得 P′(2,6) .

∴P′到曲线 C 的圆心(1,0)的距离 d=
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=



∴|PB|+|AB|的最小值为



22.如表是我国一个工业城市每年中度以上污染的天数,由于以前只注重经济发展,没有过 多的考虑工业发展对环境的影响,近几年来,该市加大了对污染企业的治理整顿,环境不断 得到改善. 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 年份(x) 中度以上污染的天数 90 74 62 54 45 (y) (1)在以上 5 年中任取 2 年,至少有 1 年中度以上污染的天数小于 60 天的概率有多大; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+

(3)按照环境改善的趋势,估计 2016 年中度以上污染的天数. 【考点】线性回归方程. 【分析】 (1)在 2010 至 2014 年的 5 年中,有两年中度以上污染的天数小于 60 天,即可求 出概率; (2)求出回归系数,即可求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+

(3)x=2016,代入计算 y,即可估计 2016 年中度以上污染的天数. 【解答】解: (1)在 2010 至 2014 年的 5 年中,有两年中度以上污染的天数小于 60 天,所 以概率为 p=1﹣ = .

(2) =2012, =65 代入得 b═﹣11,∴a= ﹣b =22197, 所以线性回归方程 y=﹣11x+22197. (3)估计 2016 年中度以上污染的天数为 y=﹣11×2016+22197=21 天.

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