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高中数学16.解析几何-圆锥曲线112


圆锥曲线
1.圆锥曲线的定义 1.圆锥曲线的定义: 圆锥曲线的定义 (1)定义 定义中要重视“括号”内的限制条件 重视“ 定义 重视 括号”内的限制条件: 椭圆中, F 椭圆中 与两个定点 F 1 , 2 的距离的和等于 且此常数 2a 一定要大于 常数 2a , 常数 数等于 于

(a

2 2 >b>0) 。方程 Ax + By = C 表示椭圆

的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C 同 。 号,A≠B) 如(1)已知方程 圆 , 则

F1 F2

, 当常

x2 y2 + = 1 表示椭 3+k 2?k

F1 F2

时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小

F1 F2

时,无轨迹;

双曲线中, F 双曲线中 与两定点 F 1 , 2 的距离的差的绝 对值等于常数

k 的 取 值 范 围 为 ____ ( 答 : 1 1 (?3, ? ) U (? , 2) ) ; 2 2 2 2 ( 2 ) 若 x, y ∈ R ,且 3x + 2 y = 6 ,则

2a , 且 此 常 数 2a 一 定 要 小 于 |F 1 F 2 |,定义中的“绝对值”与 2a <|F 1 F 2 | “绝对值” 不可忽视。 则轨迹是以 F 1 , 2 F 不可忽视 若 2a =|F 1 F 2 |, 为端点的两条射线,若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不

x + y 的最大值是____, x 2 + y 2 的最小值是___
(答:

5, 2 )
x2 y2 ? a2 b2
=1,

(2) 双曲线: 双曲线 焦点在 x 轴上:

存在。 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线 的一支。 抛物线定义中,定点和定直线是焦点和准线, 定点和定直线是焦点和准线, 抛物线定义 定点和定直线是焦点和准线 要注意定点不在定直线上,否则轨迹为过定点且 要注意定点不在定直线上 和定直线垂直的直线. 如 ① 已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足下 列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A. PF 1 + PF 2 = 4 B. PF 1 + PF 2 = 6 C.

y2 x2 ? =1( a > 0, b > 0 ) 。 a2 b2 2 2 方程 Ax + By = C 表示双曲线的充要条件是
焦点在

y 轴上:

什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 。 如(1)双曲线的离心率等于

5 ,且与椭圆 2

PF1 + PF 2 = 10
2

D. PF 1 ②
2 2

+ PF 2

2

; = 12 (答:C) 方
2 2



( x ? 6) + y ? ( x + 6) + y = 8 表 示 的 曲
线是_____(答:双曲线的左支) (2)抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点 距离与此点到准线距离间的关系,要善于运用定 运用定 义对它们进行相互转化。 义对它们进行相互转化 如 已知点 Q ( 2

x2 y 2 + =1 有 公 共 焦 点 , 则 该 双 曲 线 的 方 程 9 4 x2 ; _______(答: ? y2 = 1) 4 (2)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在
坐标轴上,离心率 e

= 2

的双曲线 C 过点

P(4,? 10) , 则 x2 ? y 2 = 6 )
开口向右时 开口向左时

C 的 方 程 为 _______ ( 答 :

2 ,0 ) 及抛物线 y =

x2 4

(3)抛物线 抛物线: 抛物线 上

y 2 = 2 px( p > 0) , y 2 = ?2 px( p > 0) ,
2 2

一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____(答: 2) 2.圆锥曲线的标准方程 圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心 2. 圆锥曲线的标准方程 (顶点) 在原点, 坐标轴为对称轴时的标准位置的 方程) :

开口向上时 x 开口向下时 x

= 2 py ( p > 0) , = ?2 py ( p > 0) 。
2

x2 y2 (1)椭圆 椭圆:焦点在 x 轴上时 2 + 2 = 1 椭圆 a b x = a cos ? (参数方程, (a > b > 0)? y = b sin ?

3.圆锥曲线焦点位置的判断 3. 圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准 圆锥曲线焦点位置的判断 方程,然后再判断) : (1)椭圆 椭圆:由 x 椭圆 ,

{

y

2

分母的大小决定,

焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程

其中 ? 为参数) ,焦点在

y 轴上时

y2 x2 + a2 b2

=1 - 106 -

x2 y2 + = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m ?1 2 ? m

则 m 的取值范围是__(答: (?∞,?1) U (1, (2)双曲线 双曲线:由 x 双曲线
2

3 )) 2

x2 ? y 2 = k , k ≠ 0
x=±
2

;④准线:两条准线

,

y

2

项系数的正负决

定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线 抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一 抛物线 次项的符号决定开口方向。 特别提醒: 特别提醒 (1)在求解椭圆、双曲线问题时, 首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的位置,是椭 圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准 方程的类型,而方程中的两个参数 a, b ,确定椭 圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形 条件; 在求解抛物线问题时, 首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a
2 2

a c ; ⑤离心率: e= ,双曲线 c a ? e > 1 ,等轴双曲线 ? e = 2 , e 越小, 开口越小, e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: b y =± x。 a 如(1)双曲线的渐近线方程是 3x ± 2y = 0,
则该双曲线的离心率等于______(答:

13 2



= b 2 + c 2 ,在双 2 曲线中, c 最大, c = a + b 。
2

13 ) ; 3
ax 2 ? by 2 = 1 的 离 心 率 为 1 5 ,则 a : b = (答:4 或 ) ; 4 x2 y2 (3)设双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)中,离 a b 心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角θ的取值范
(2)双曲线

4.圆锥曲线的几何性质 4.圆锥曲线的几何性质: 圆锥曲线的几何性

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) a2 b2 为例) :①范围: ? a ≤ x ≤ a, ?b ≤ y ≤ b ;② 焦点:两个焦点 ( ± c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x = 0, y = 0 ,一个对称中心(0,0) ,四个顶点 (± a, 0), (0, ±b) ,其中长轴长为 2 a ,短轴长为
(1)椭圆 椭圆(以 椭圆

a2 2 b ;④准线:两条准线 x = ± ; ⑤离心率: c c e = ,椭圆 ? 0 < e < 1 ,e 越小,椭圆越圆; a e 越大,椭圆越扁。 x2 y2 如(1)若椭圆 + =1 的离心率 5 m 25 10 ,则 m 的值是__(答:3 或 )(2) ; e= 3 5
以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面 积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__(答:

, ]) ; 3 2 2 (3)抛物线 抛物线(以 y = 2 px ( p > 0) 为例) : 抛物线 ① 范 围 : x ≥ 0, y ∈ R ; ② 焦 点 : 一 个 焦 点 p ( , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距 2 离;③对称性:一条对称轴 y = 0 ,没有对称中
;④准线:一条准线 心,只有一个顶点(0,0 )

围是________(答: [

π π

p c ; ⑤离心率: e= ,抛物线 2 a ? e = 1 。 如 设 a ≠ 0, a ∈ R , 则 抛 物 线 x=? y = 4ax2
(0,
的 焦 点 坐 标 为 ________ ( 答 :

2 2)
x2 y2 ? =1 a2 b2 ( a > 0, b > 0 )为例) :①范围: x ≤ ? a 或 x ≥ a, y ∈ R ;②焦点:两个焦点 (±c, 0) ;③ 对称性:两条对称轴 x = 0, y = 0 ,一个对称中 心 (0,0) 两个顶点 ( ± a, 0) , , 其中实轴长为 2 a , 虚轴长为 2 b , 特别地, 当实轴和虚轴的长相等时,
( 2 ) 双 曲 线 ( 以 称 为 等 轴 双 曲 线 , 其 方 程 可 设 为 - 107 -

1 ; )) 16 a
5、点

P ( x0 , y0 )

和椭圆

(a

> b > 0 )的关系 的关系: ( 1 ) 点 P ( x0 , y0 )

x2 y2 + =1 a2 b2
在 椭 圆 外

?

x y + > 1; a b

2 0 2

2 0 2

(2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? =1; ( 3 ) 点

2 2 x0 y 0 + 2 a2 b

P( x0 , y0 )

在 椭 圆 内

?

x y + <1 a b
6.直线与圆锥曲线的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)相交: ? > 0 ? 直线与椭圆相交;

2 0 2

2 0 2

区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和分别与双 曲线两支相切的两条切线,共四条;②P 点在两条 渐近线之间且包含双曲线的区域内时, 有两条与渐 近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切 线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有 两条: 一条是与另一渐近线平行的直线, 一条是切 线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线 有且只有一个公共点: 两条切线和一条平行于对称 轴的直线。 ( 过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y 如 1)
2

? > 0 ? 直线与双曲线相交, 但直线与双曲线相 交不一定有 ? > 0 ,当直线与双曲线的渐近线平
行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故

= 8x 只

有一个公共点,这样的直线有______(答:2) ; ( 2 ) 过点(0,2)与双曲线

? > 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是 > 0 ? 直线与抛物线相交,但直线 与抛物线相交不一定有 ? > 0 ,当直线与抛物线
必要条件; ? 的对称轴平行时, 直线与抛物线相交且只有一个交 点,故 ? > 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条 件,但不是必要条件。 2 2 如(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右 支有两个不同的交点,则 k 的取值范围是_______ (答:(-

x2 y 2 ? = 1 有且仅 9 16

有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______ (答: ? ±

? 4 4 5? ? ? ; ,± ?) 3 ? ? 3 ? ?
2

15 ,-1)) ; 3

y2 = 1 的右焦点作直线 2 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB = 4,则满足条
(3)过双曲线 x

?

件的直线 l 有____条(答:3) ;

(2)直线 y―kx―1=0 与椭圆

x y + =1 5 m

2

2

(4)对于抛物线 C: 足
2

y 2 = 4 x ,我们称满

恒有公共点,则 m 的取值范围是_______ (答: [1, 5)∪(5,+∞); ) (3)过双曲线

y 0 < 4x 0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,

若点

M ( x0 , y0 ) 在 抛 物 线 的内 部 , 则直线 l :

x2 y2 ? = 1 的右焦点直线 1 2

y 0 y = 2( x + x 0 ) 与 抛 物 线 C 的 位 置 关 系 是
_______(答:相离) ; ( 5 ) 过抛物线

交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的 直线有_____条(答:3) ; (2)相切: ? = 0 ? 直线与椭圆相切; ? = 0 ? 直线与双曲线相切; ? = 0 ? 直线 与抛物线相切;

y 2 = 4x 的焦点 F

作一直线

交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分 别是 p、 q ,则

1 1 ; + = _______(答:1) p q

< 0 ? 直线与椭圆相离; ? < 0 ? 直线与双曲线相离; ? < 0 ? 直线
与抛物线相离。 特别提醒: 特别提醒 (1)直线与双曲线、抛物线只有一 个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。 如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线 相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平 行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线

(3)相离: ?

x2 y2 ? = 1 的右焦点为 16 9 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右支和 右准线分别于 P, Q, R , ∠PFR 和 ∠QFR 的 则
( 6 ) 设双 曲 线 大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于) ; ( 7 ) 求椭圆 7 x
2

+ 4 y 2 = 28 上的点到直线

x2 y2 ? a2 b2

=1 外一点

P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情
况如下: ①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的

8 13 ) ; 13 2 2 (8 ) 直线 y = ax + 1 与双曲线 3x ? y = 1 交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分
3x ? 2 y ? 16 = 0 的最短距离(答:

- 108 -

别在双曲线的两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?(答:① ②a

= ±1 ) ; 7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距 焦半径 离)的计算方法 的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转 的计算方法 其中 d 化到相应准线的距离, 即焦半径 r = ed , 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。如(1)已知 如
椭圆

(

? 3, 3

)



= c | y0 | ,当 | y0 |= b 即 P 为 2 短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线
②S

= b 2 tan

θ

x2 y2 ? =1 a2 b2


的 焦 点 三 角 形 有 :

x y + = 1 上一点 25 16

2

2

P 到椭圆左焦点的距离 ②S 长为

? 2b 2 θ = arccos?1 ? ? r1 r2 ?
=

? ? ? ?



35 为 3,则点 P 到右准线的距离为____(答: ) ; 3 2 (2 )已知抛物线方程为 y = 8x ,若抛物线 上一点到 y 轴的距离等于 5, 则它到抛物线的焦点
的距离等于____; (3)若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为_____(答:7, (2, ±4) ) ; (4)点 P 在椭圆

1 θ r1 r2 sin θ = b 2 cot 。如(1)短轴 如 2 2
2 的椭圆的两焦点为 F1 、 3

5 ,离心率 e =

过 B 则 F2 , F1 作直线交椭圆于 A、 两点, ?ABF2

的周长为________(答:6)(2)设 P 是等轴双 ; 2 2 2 曲线 x ? y = a (a > 0) 右支上一点,F1 、F2 是左右焦点,若 PF2 双曲线的方程为 (3 )椭圆

x2 y2 + = 1 上,它到左焦 25 9

? F1 F2 = 0 ,|PF1|=6,则该
(答:x 2 ; ? y2 = 4 ) F1、F2,点 P

点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的

25 横坐标为_______(答: ) ; 12 2 (5)抛物线 y = 2x 上的两点 A、B 到焦点的 距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离
为______(答:2) ; (6)椭圆

x2 y 2 + = 1 的焦点为 9 4

→ → 为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1 <0 时,点 P 的横坐 标的取值范围是 ( 答 :

x2 y2 + = 1 内有一点 P (1,?1) , 4 3

F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使

MP + 2 MF 之值最小,则点 M 的坐标为
_______(答: (

3 5 3 5 , ) )(4)双曲线的虚轴长为 4,离 ; 5 5 6 心率 e= ,F 、F 是它的左右焦点,若过 F 2 的直线与双曲线的左支交于 A、 两点, AB 是 B 且 (?
1 2

1

2 6 ; ,? 1) ) 3

AF2



BF2

等差中项,则

AB

=__________

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两 焦点三角形 焦点所构成的三角形)问题 问题:常利用第一定义和 问题 正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点

(答:8 2 ) 5)已知双曲线的离心率为 2,F1、 ; ( F2 是 左 右 焦 点 , P 为 双 曲 线 上 一 点 , 且

∠F1 PF2 = 60 o ,S ?PF1F2 = 12 3 .求该双曲
线的标准方程(答:

P ( x0 , y0 ) 到两焦点 F1 , F2 的距离分别为 r1 , r2 ,
焦 点

?F1 PF2

的 面 积 为

S

, 则 在 椭 圆

x2 y 2 ? = 1) ; 4 12

x2 y2 2b 2 + 2 = 1 中, ① θ = arccos( ? 1) , r1 r2 a2 b 且当 r = r2 即 P 为短轴端点时,θ 最大为 θ max 1


9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的 性质: 性质 (1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点, 则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准 线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点, 则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴, 反之, 若过 B 点平行于 x 轴的直线交 准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。

b2 ? c2 arccos a2



- 109 -

y = kx + b 与圆锥曲 线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的横
10、弦长公式 10、弦长公式:若直线 坐标, 则 别 为

AB



1 + k 2 x1 ? x2

, 若

y1 , y2 分

? 2 13 2 13 ? ?? ? 13 , 13 ? ) ? ; ? ? 特别提醒:因为 ? > 0 是直线与圆锥曲线相 特别提醒
交于两点的必要条件, 故在求解有关弦长、 对称问 题时,务必别忘了检验 ? > 0 ! 12.你了解下列结论吗? 12.你了解下列结论吗 (1)双曲线

A 、 B

的 纵 坐 标 , 则

AB



1+

1 y1 ? y 2 k2

, 若弦 AB 所在直线方程设为 =

x = ky + b ,则 AB

1 + k 2 y1 ? y2

。特

x2 y2 ? = 1 的渐近线方程为 a2 b2

别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计 算, 一般不用弦长公式计算, 而是将焦点弦转化为 两条焦半径之和后,利用第二定义求解。如(1) 如 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等 于_______(答:8)(2 )过抛物线 ;

x2 y2 ? = 0; a2 b2
(2)以

y=±

b x 为渐近线(即与双曲线 a

y 2 = 2x 焦

点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则ΔABC 重心的横坐标为_______ (答:3) ; 11、圆锥曲线的中点弦问题: 11 、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问 题常用“韦达定理”或“点差法” 求解。在椭圆 点差法” “韦达定理”

x2 y2 ? = 1 共渐近线)的双曲线方程为 a2 b2 x2 y2 如 ? = λ (λ 为参数, λ ≠0)。如与双曲线 a2 b2

x2 y2 ? = 1 有共同的渐近线,且过点 9 16

x2 y2 + = 1 中, P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在 以 a2 b2 b 2 x0 x2 y2 直线的斜率 k=- 2 ; 在双曲线 2 ? 2 = 1 a b a y0 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 b 2 x0 k= 2 a y0
;在抛物线

(?3,2 3) 的双曲线方程为_______(答:
4x2 y 2 ? = 1) 9 4
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、 双曲线方程可设为 mx
2

+ ny 2 = 1 ;

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于

y = 2 px( p > 0) 中,以
2

P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=
如(1)如果椭圆

p y0



x2 y2 + = 1 弦被点 A(4, 36 9

2b 2 对称轴的弦)为 ,焦准距(焦点到相应准线 a b2 的距离)为 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 c p;
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最 短的弦;

2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 (答: x + 2 y ? 8 = 0 )(2)已知直线 y=-x+1 ; 与椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 相交于 A、 两 B a2 b2

y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点弦 为 AB, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则
(6)若抛物线 ①|

AB |= x1 + x2 + p ;
=

点,且线段 AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上,则 此椭圆的离心率为_______(答:

2 )(3 )试 ; 2 x2 y2 确定 m 的取值范围,使得椭圆 + = 1 上有 4 3 不 同 的 两 点 关 于 直 线 y = 4x + m 对 称 ( 答 :

② x1 x2
2

p2 , y1 y2 = ? p 2 4

(7)若 OA、OB 是过抛物线

y = 2 px( p > 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦, 则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0)
13.动点轨迹方程 13.动点轨迹方程:

- 110 -

(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、 化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:直接利用条件建立 x, y 之间的关 系 F ( x, y ) 直线 x

若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x

2

+ y 2 = 1 上运动,则点

Q ( x1 y1 , x1 + y1 ) 的轨迹方程是____(答:

= 0 ;如已知动点 P 到定点 F(1,0)和 如

= 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方 2 程.(答: y = ?12( x ? 4)(3 ≤ x ≤ 4) 或

1 2 y 2 = 2 x + 1(| x |≤ ) )(3) ; 过抛物线 x = 4 y 2 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB
的中点 M 的轨迹方程是________(答:

y 2 = 4 x(0 ≤ x < 3) );
②待定系数法: 已知所求曲线的类型, 求曲线 方程――先根据条件设出所求曲线的方程, 再由条 件确定其待定系数。 线段 AB 过 x 轴正半轴上一 如 点 M(m,0) ( m

x 2 = 2 y ? 2 );
注意: 那 注意 ①如果问题中涉及到平面向量知识, 么应从已知向量的特点出发, 考虑是选择向量的几 何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向 量的代数形式进行 “摘帽子或脱 靴子”转化。如已知椭圆

> 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离

之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点 作抛物线,则此抛物线方程为 (答:

y2 = 2x ) ;
2

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的 a2 b2
左、右焦点分别是 F1(-c,0) 、 F2(c,0) 是椭圆外的动点, ,Q 满足 |

③定义法: 先根据条件得出动点的轨迹是某种 已知曲线, 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方 程;如(1)由动点 P 向圆 x 如(1)

+ y 2 = 1 作两条切线
0

F1Q |= 2a. 点

P 是线段

PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60 ,则动点 P 的轨迹方程为 (答:

F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且 满足 PT

x + y = 4 );(2)点 M 与点 F(4,0)的距离比 它到直线 l: +5=0的距离小于 1,则点 M 的轨迹 x 2 方程是_______ (答: y = 16 x );(3) 一动 (3) 2 2 圆与两圆⊙M: x + y = 1 和⊙N:
2 2

? TF2 = 0, | TF2 |≠ 0.(1)设 x 为点 P c 的横坐标,证明 | F1 P |= a + x ; (2)求点 T a
的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,
2

x 2 + y 2 ? 8 x + 12 = 0 都外切,则动圆圆心的
轨迹为 (答:双曲线的一支); ④代入转移法:动点 P ( x, y ) 依赖于另一动 点 Q ( x0 , y0 ) 的变化而变化,并且 Q ( x0 , y0 ) 又 在某已知曲线上,则可先用 x, y 的代数式表示

使△F1MF2 的面积 S= b . 若存在, 是否存在点 M, 求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由. (答: 略; (1) (2)x
2

+ y2 = a2 ; 当 (3)

b2 >a c

b2 时不存在;当 ≤ a 时存在,此时∠F1MF2=2) c
②曲线与曲线方程、 轨迹与轨迹方程是两个不 同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上 特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 特殊点 ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于 常借助于 “平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身 份――对称性、 利用到角公式)、方程与函数性质” “ 化解析几何问题为代数问题、 “分类讨论思想”化 整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构 造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上 出现“ 出现 的点” 可选择应用“ 的点 ,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁 可选择应用 斜率或向量”为桥梁转 化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量 14 、解析几何与向量综合时可能出现的向量 内容: 内容:

x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求的轨迹
方程;如动点 P 是抛物线 y 如 定点为

= 2 x 2 + 1 上任一点,

则 A ( 0, ? 1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2, M 1 的轨迹方程为__________(答: y = 6 x 2 ? ); 3 ⑤参数法:当动点 P ( x, y ) 坐标之间的关系

? ?→

不易直接找到, 也没有相关动点可用时, 可考虑将 x, y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程, 再消去参数得普通方程)。如(1)AB 是圆 O 的直 如 径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂 足为 N,在 OM 上取点 P ,使 | OP |=| MN | ,求 点 P 的轨迹。(答: x
2

+ y 2 = a | y | );(2) (
- 111 -

r u = (m, n ) ;

( 1 ) 给出 直 线 的 方 向 向 量 u

r

= (1, k ) 或

( 2)给出 OA + OB 与 )

AB 相交,等于已知

OA + OB 过 AB 的中点;
( 3) 给出 PM )

O 是 ?ABC 的垂心(三角形的垂心是三角形三 条高的交点) ;
?ABC 中 , 给 出 uuu r uuur AB AC r OP = OA + λ ( uuu + uuur ) (λ ∈ R + ) | AB | | AC |
( 14 ) 在 等于已知

r + PN = 0 ,等于已知 P 是

MN 的中点;
给出 AP + (4) ) 已知 P, Q 与

AQ = λ BP + BQ

(

)

,等于

AB 的中点三点共线;

AB // AC ; r r ②存在实数 λ , 使AB = λ AC ;③若存在实数 uuur uuu r uuu r α , β , 且α + β = 1, 使OC = α OA + β OB , 等于已知 A, B, C 三点共线.
(5) 给出以下情形之一:①

AP 通过 ?ABC 的内心; ?ABC 中 , 给 出 a ? OA + b ? OB + c ? OC = 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的
( 15 ) 在 在 ?ABC ( 16 ) uuur 1 uuu uuur r AD = AB + AC , 等 于 2 ?ABC 中 BC 边的中线; 中 , 给 出 已 知

内心是三角形三条角平分线的交点) ;

OA + λ OB ,等于已知 1+ λ P 是 AB 的 定 比 分 点 , λ 为 定 比 , 即 AP = λ PB ( 7 ) 给 出 MA ? MB = 0 , 等 于 已 知 MA ⊥ MB , 即 ∠AMB 是 直 角 , 给 出 MA ? MB = m < 0 ,等于已知 ∠AMB 是钝角, 给出 MA ? MB = m > 0 ,等于已知 ∠AMB 是
(6) 给出 OP )

=

(

)

AD



锐角, (8) ) 给出 λ ?

? ? MA

? MA ? 知 MP 是 ∠AMB 的平分线/ ( 9 ) 在 平 行 四 边 形 ABCD

+

? MB ? ? = MP ,等于已 MB ? ?
中,给出

( AB + AD) ? ( AB ? AD) = 0 , 等 于 已 知 ABCD 是菱形; ( 10 ) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 给 出 uuu uuur uuu uuur r r | AB + AD |=| AB ? AD | ,等于已知 ABCD
是矩形; ( 11 ) 在
2 2

?ABC
2

中 , 给 出

OA = OB = OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心 (三角形外接圆的圆心, 三角形的外心是三 角形三边垂直平分线的交点) ;
( 12 ) 在

?ABC ?ABC

中 , 给 出

OA + OB + OC = 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心 (三角形的重心是三角形三条中线的交点) ;
( 13 ) 在 中 , 给 出

OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,等于已知
- 112 -


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