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2006决赛考题


2006 全國中學生力學競賽決賽考題(2006/5/28)

說明 本測驗前現場會播放與試題組有關的 3 項動手做實驗影片(共播放 2 次) 全部費時約 16 分鐘(測驗中不再播放影片) : , , 影片內容與考題有關,部份動手做亦提供考生材料,供考生自行操作,請依據題目類別分別作答,並將適當答案填寫在 隨卷發送之答案卷上。未填寫在現場發送之答案卷指定之空格內者,恕不給分。本試卷共有四頁,總分 100 分。

題組一: 與空氣玩遊戲(20%) 1-1. (計算題 4%) 1 莫耳(mole)空氣的體積在常溫(NTP)下大約是 24.5 公升(liter),氮氣(nitrogen,N2, 原子量 N=14)約佔 78%,氧氣(oxygen,O2,原子量 O=16) 佔 21%,其餘為 0.04%的二氧化碳 (carbon dioxide,CO2,原子量 C=12)及稀有氣體,請你試著利用密度(density)的定義推導出空氣的 密度(g/cm3)大約是多少? 1-2. (簡答題 4%) 試著利用三種方法吹漲塑膠袋(可參考現場播放影片),方法 A 是嘴巴直接在膠袋口吹 氣,方法 B 是利用一支吸管直接吹氣,方法 C 是距膠袋口約 20 公分處吹氣,會發現方法 C 比較容 易(即吹氣次數較少者) 吹漲塑膠袋,請述明理由? 1-3. (簡答題 4%) 在不使用其它機具或設備的限制情況下,還有什麼方法可以輕易地將空氣裝入塑膠袋 內? 1-4. (選擇題 4%) 使用材料包所內所附的塑膠袋,如果另備一個彈簧秤秤膠袋重量,壓扁膠袋使其內部 接近無空氣時,設其體積 10cm3 ,其重量為 X gw;接著,塑膠袋內空氣半滿狀態下,設其體積 1000cm3 ,為其重量為 Y gw;接下來,膠袋內空氣全滿狀態,設其體積 2000cm3,其重量為 Z gw, 請問 X Y Z 的大小關係為何? A. X<Y<Z B. X=Y=Z C. X<Y=Z D. X=Y<Z E. X>Y>Z 1-5. (簡答題 4%) 請解釋上題 4,您的推論依據為何?

題組二: 陀螺儀(20%) 2-1. (簡答題 5%) 陀螺儀(gyroscope top)具有兩項特質: (i)剛穩性(RIGIDITY)特質:如無外力的施加 時,陀螺儀的旋轉軸會保持在原來的轉軸方向不受干擾(The axis of rotation (spin axis) of the gyro wheel tends to remain in a fixed direction in space if no force is applied to it.)及(ii)進動 (PRECESSION)特質:當有外力的施加時,陀螺儀的旋轉軸會朝向垂直於外力的方向轉動 (The axis of rotation has a tendency to turn at a right angle to the direction of an applied force.) 如圖 2-1 的陀螺儀所示,當垂直軸開始旋轉時,請問 2-1-1 甚麽條件下,此陀螺儀的垂直軸會穩定的停滯著? 2-1-2 這樣子的特性是屬於陀羅儀兩項特性的那一項?

圖 2-1 簡易陀螺(gyroscope top)

1

2-2. (問答題 5%) 如圖 2-2 的陀螺儀 (Gyroscope top)在水平軸旋轉,其左端點 pivot 固定,右端點可以自由運動沒有拘 束,請問它會做甚麼樣的運動呢?請說明 其原理。 圖 2-2 水平旋轉軸的陀螺儀

2-3. (問答題 5%)請問圖 2-3 中的三個以相 同轉速旋轉的陀螺儀轉子(gyro rotor) 中,那一個具有較優的抗外力擾動的能 力(也就是有較佳的剛穩性(rigidity)),並 請說明原理?此三個轉盤(rotor)具有相 同的質量,且圖(A)的直徑為圖(B)及圖 (C)直徑的一半。
圖 2-3 陀螺儀轉子示意圖,圖中(A)、(B)及(C)子圖具有相同的 質量,圖(A)的直徑為圖(B)及圖(C)的一半,且圖(B) 及圖(C)的直徑相同

2-4. (簡答題 5%) 請扼要說明為何靜止的腳踏車不易保持平衡,而行進中的腳踏車卻較易保持平衡?

題三: 酒瓶滾輪 vs 啞鈴滾輪(10%) 3.(問答題 10%)本題目是要你思考軌道車輛(火車、捷運車輛等)的車輪要如何設計比較合理。 準備四個紙杯及兩木條。以兩把木條充當軌道,如右邊兩圖 3-1 所示。將兩個紙杯以杯口對杯 口的方式,用膠帶黏在一起,做成一個中間直徑較大,兩邊直徑較小的「酒瓶」形車輪,如圖 3-1a 所示。另外將兩個紙杯以杯底對杯底的方式,用膠帶黏在一起,做成一個中間直徑較小,兩邊直徑 較大的「啞鈴」形車輪,如圖 3-1b 所示。 試著將兩種車輪在軌道上滾動,並且觀察那一種車輪較「穩定」 ,亦即出軌的機會較少。穩定 的車輪形狀有「自我校正」的能力,亦即當行進方向偏離時,會自動調整回來。你可以用傾斜的木 條方式讓滾輪車輪由上往下滾動;或平放木條並對著滾輪車輪吹氣,為了使行進方向偏離,故意不 要往中間吹氣。 實驗的結果,你會發現「酒瓶」形車輪比「啞鈴」形車輪較不容易出軌。事實上,許多軌道車 輛的輪子是採用這種內側直徑比外側直徑較大的設計。 請你試著解釋「酒瓶」形車輪有「自我校正」的能力,而較不容易出軌的原理。

圖 3-1a. 酒瓶形車輪

圖 3-1b. 啞鈴形車輪

2

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3

題四: 漏水桶 4. (選擇題 5%)右圖 4 是一個裝著水的大桶子,其直徑 是 50 cm,水深是 h = 125 cm。水桶的底部開了一個孔並 接了一根細小的水管,水管的直徑是 0.5 cm。請問底部 的水管剛打開時,每分鐘水桶的水大约會降低幾公分? (A)1(B)3(C)5(D)7(E)9 圖 4 裝水水桶 題五: 推力 5. (計算題 5%) 右圖 5 中,A 塊的質量是 2 kg,B 塊的 質量是 3 kg,兩塊接觸在一起並且置於非常光滑的桌 面上。當施與 F = 10 N 的水平力量時,A 及 B 會一起 在桌面上滑動,請計算此時 A 作用在 B 的力量約有 多少 N? (A)2(B)4(C)6(D)8(E)10 圖 5
F A B

題組六: 撞球遊戲 (15%) 撞球運動是風行已久的室內競技活動,而撞球的基本概念與許多的力學原理有著密切的關連。 讓我們透過以下的問題,來瞭解撞球的基本原理。
球桿 目標球 母球

6-1. (簡答題 4%) 撞球活動中,擊球者透過球桿撞擊母球,使母球滾動進而碰撞目標球進入球袋。 請簡述在擊球過程中的撞擊及碰撞行為可透過哪些力學原理(或關係式)來加以闡述? 6-2. (問答題 4% )在質點碰撞問題中,我們常定義所謂的「恢復係數」為

e?

v2 f ? v1 f v1i ? v2i

其中 v1 , v2 分別表示質點 1(母球)和質點 2(目標球)的速度,下標 i 及 f 分別表示碰撞前(initial)及 碰撞後(final)對應的狀態。 請證明:若質點的碰撞屬於彈性碰撞(即在碰撞過程中無能量損失),則 e = 1 6-3. (簡答題 2%) 在問題(6-2)中 若兩質點的質量並不相同(即 m1 ? m2 ) 則彈性碰撞是否仍對應於 e = 1? , ,
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4

B θ

6-4. (問答題 5%)在 撞球技術中,擊球者除了欲將目標球打進之外,還需控制母球的走位以利後續的 擊球。考慮直線彈性碰撞(即母球與目標球在碰撞前後均沿著同一直線運動),請問,擊球者如何 能讓母球在碰撞目標球後繼續前行或反向後行? 請簡要說明其力學原理。 題組七: 航空力學 (25%) 本題組為問答題,請盡量作答,且務必以繪圖方式協助您的說明與討論。 7-1. (4%) 一架民航客機將在一個機場跑道起飛,請問當飛機從跑道頭起動到將離地時, 此飛機所受到的力(Forces)或力矩(Moment)有哪些? 7-2. (4%) 若此飛機要抬頭離場起飛(即要離地)進入空中時,應有哪些力與力矩的配合方能達成? 7-3. (3%) 又此飛機在進行巡航階段時(巡航即是飛機在進行相同速度與高度的飛行) , 此時飛機的受到力與力矩又有哪些? 7-4. (4%) 若此飛機將進行水平的轉彎,請問飛機的力與力矩的配合為何? 7-5. (5%) 飛機能在空中飛翔是靠機翼所產生的升力來抵抗重力,而機翼能提供的升力大小與飛行速 率、機翼面積、空氣密度和翼斷面的形狀有關聯,通常我們以下面的公式表示其間的關係: CL=L/(0.5?V2S) 其中的 L 為升力,?為空氣密度,V 為速率,S 為機翼面積,CL 為升力係數。而飛行員主要是 以調整襟翼的方式來改變機翼形狀,達到同時改變機翼面積與升力係數的目標,以使飛機能 在不同速度的情形下,可以產生所需的升力。 入流 高空中的翼斷面 降落時的翼斷面 襟翼

現在假設一架飛機降落時為了安全起見,垂直加速度不超過重力加速度的 0.1 倍,水平速度為高空 巡航時的 1/5,而調整襟翼之後使得機翼面積變成高空巡航時面積的 1.2 倍。同時我們假設高空空 氣的密度是地面的 0.8 倍,那麼,襟翼調整後需要使得整個翼面的升力係數變成高空巡航時的多少 倍才足以安全降落? 7-6. (5%) 翼斷面形狀提供升力可以用什麼原理來解釋?請以此原理解釋機翼如何獲得升力。

====== 題目結束======
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5


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