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山东省临沂市费县、沂南、罗庄三县联考2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科)


2015-2016 学年山东省临沂市费县、沂南、罗庄三县联考高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8 的值为( A.15 B.16 C.49 D.64
2

)

2.在△ABC 中,a,b,c 分别为

角 A,B,C 所对边,若 a=2bcosC,则此三角形一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形

)

D.等腰或直角三角形

3.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 B.4 C. D.

)

4.已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则该数列的公比等于( A. B. C.2 D.

)

5.在△ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcosA= b,且 a>b, 则∠B=( A. B. ) C. D.

6.已知 O 是坐标原点,点 A(﹣1,1) ,若点 M(x,y)为平面区域 则 ? 的取值范围是( )

,上的一个动点,

A. B. C. D.

7.△ABC 中,a,b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a,b、c 成等差数列,∠B=30°, △ABC 的面积为 ,那么 b 等于( A. B. C. ) D.

8.设 Sn=1﹣3+5﹣7+…+(﹣1) A.n
n

n﹣1

(2n﹣1) (n∈N ) ,则 Sn 等于(
n﹣1

*

)

B.﹣n C. (﹣1) n D. (﹣1)

n

9.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣1] B. (﹣∞,0)∪(1,+∞) 17.已知函数 f(x)=x ﹣2ax﹣1+a,a∈R.
2

)

C.∪

(Ⅰ)若 a=2,试求函数 y=

(x>0)的最小值;

(Ⅱ)对于任意的 x∈,不等式 f(x)≤a 成立,试求 a 的取值范围.

18.设数列满足 a1=2,an+1﹣an=3?2 (1)求数列{an}的通项公式;

2n﹣1

(2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

19.某批发站全年分批购入每台价值为 3000 元的电脑共 4000 台,每批都购入 x 台,且每批 均需付运费 360 元,储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比, 若每批购入 400 台,则全年需用去运费和保管费共 43600 元,现在全年只有 24000 元资金可 以用于支付这笔费用,请问能否恰当安排进货数量使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

20. (13 分)在△ABC 中,已知 (1)试确定△ABC 的形状; (2)求 的范围.

=

,且 cos(A﹣B)+cosC=1﹣cos2C.

21. (14 分)已知点 Pn(an,bn) (n∈N )满足 an+1=anbn+1, ﹣1) . (Ⅰ)求经过点 P1,P2 的直线 l 的方程;

*

,且点 P1 的坐标为(1,

(Ⅱ) 已知点 Pn(an,bn) (n∈N )在 P1,P2 两点确定的直线 l 上,求证:数列 数列. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求对于所有 n∈N ,能使不等式(1+a1) (1+a2)…(1+an)
*

*

是等差



成立的最大实数 k 的值.

2015-2016 学年山东省临沂市费县、沂南、罗庄三县联考高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8 的值为( A.15 B.16 C.49 D.64
2

)

【考点】数列递推式. 【专题】计算题. 【分析】直接根据 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)即可得出结论. 【解答】解:a8=S8﹣S7=64﹣49=15, 故选 A. 【点评】本题考查数列的基本性质,解题时要注意公式的熟练掌握.

2.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对边,若 a=2bcosC,则此三角形一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形

)

D.等腰或直角三角形

【考点】三角形的形状判断;同角三角函数间的基本关系;正弦定理. 【专题】计算题. 【分析】根据 a=2bcosC 得到 bcosC= ,然后根据三角函数定义,得到 bcosC=CD= ,得到 D 为 BC 的中点,根据全等得到三角形 ABC 为等腰三角形. 【解答】 解:过 A 作 AD⊥BC,交 BC 于点 D, 在直角三角形 ACD 中,cosC= 得 CD=bcosC,

而 a=2bcosC 得 bcosC= ,所以 CD= AD=AD,∠ADB=∠ADC=90°, BD=CD 得到三角形 ABD≌三角形 ACD, 所以 b=c,三角形 ABC 为等腰三角形. 故选 C

【点评】考查学生利用三角函数解直角三角形的能力.掌握用全等来证明线段相等的方法.

3.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 B.4 C. D.

)

【考点】基本不等式. 【专题】计算题. 【分析】首先分析题目由已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求 x+2y 的最小值,猜想到基本不等 式的用法,利用 代入已知条件,化简为函数求最值.

【解答】解:考察基本不等式 整理得(x+2y) +4(x+2y)﹣32≥0 即(x+2y﹣4) (x+2y+8)≥0,又 x+2y>0, 所以 x+2y≥4 故选 B. 【点评】此题主要考查基本不等式的用法,对于不等式 中应用非常广泛,需要同学们多加注意.
2



在求最大值最小值的问题

4.已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则该数列的公比等于( A. B. C.2 D.

)

【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列.

【分析】由已知得

,由此能求出该数列的公比.

【解答】解:∵在等比数列{an}中, a1+a3=10,a4+a6= ,


3



∴10q = ,解得 q= . 故选:A. 【点评】本题考查等比数列的公式的求法,是基础题,解题时要注意等比数列的性质的合理 运用.

5.在△ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcosA= b,且 a>b, 则∠B=( A. B. ) C. D.

【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数. 【专题】解三角形. 【分析】利用正弦定理化简已知的等式,根据 sinB 不为 0,两边除以 sinB,再利用两角和与 差的正弦函数公式化简求出 sinB 的值,即可确定出 B 的度数. 【解答】解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB, ∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB= , ∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B 为锐角, 则∠B= 故选 A 【点评】此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握正弦 定理是解本题的关键. .

6.已知 O 是坐标原点,点 A(﹣1,1) ,若点 M(x,y)为平面区域 则 ? 的取值范围是( )

,上的一个动点,

A. B. C. D. 【考点】简单线性规划的应用;平面向量数量积的运算. 【专题】数形结合.

【分析】 先画出满足约束条件 分析比较后,即可得到 ?

的平面区域, 求出平面区域的角点后, 逐一代入 的取值范围.

?

【解答】解:满足约束条件

的平面区域如下图所示:

将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当 x=1,y=1 时, 当 x=1,y=2 时, 当 x=0,y=2 时, 故 ? ? ? ? =﹣1×1+1×1=0 =﹣1×1+1×2=1 =﹣1×0+1×2=2

和取值范围为

解法二: z= ? =﹣x+y,即 y=x+z

当经过 P 点(0,2)时在 y 轴上的截距最大,从而 z 最大,为 2. 当经过 S 点(1,1)时在 y 轴上的截距最小,从而 z 最小,为 0.



?

和取值范围为

故选:C 【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用,其中画出满足条件的平面区域,并将三 个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式,进而判断出结果是解答本题的关键.

7.△ABC 中,a,b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a,b、c 成等差数列,∠B=30°, △ABC 的面积为 ,那么 b 等于( A. B. C. ) D.

【考点】解三角形. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先根据等差中项的性质可求得 2b=a+c,两边平方求得 a,b 和 c 的关系式,利用三角 形面积公式求得 ac 的值,进而把 a,b 和 c 的关系式代入余弦定理求得 b 的值. 【解答】解:∵a,b、c 成等差数列,∴2b=a+c,得 a +c =4b ﹣2ac, 又∵△ABC 的面积为 ,∠B=30°, 故由 得 ac=6. ∴a +c =4b ﹣12.
2 2 2 2 2 2



由余弦定理,得 解得 又 b 为边长,∴ 故选 B . .



【点评】本题主要考查了余弦定理的运用.考查了学生分析问题和基本的运算能力.

8.设 Sn=1﹣3+5﹣7+…+(﹣1) A.n
n

n﹣1

(2n﹣1) (n∈N ) ,则 Sn 等于(
n﹣1

*

)

B.﹣n C. (﹣1) n D. (﹣1)

n

【考点】数列的求和.

【专题】计算题;函数思想;等差数列与等比数列. 【分析】利用 n=1,2,3 验证即可得到选项. 【解答】解:当 n=1 时,选项 BC 不成立;当 n=2 时,选项 A 不成立, 故选:D. 【点评】本题考查数列求和,选择题的解题,灵活应用解题方法,是解题的关键.

9.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣1] B. (﹣∞,0)∪(1,+∞) 的取值范围.

)

C.∪∪,不等式 f(x)≤a 成立,试求 a

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】 (Ⅰ)由 y=

=

=x

﹣4.利用基本不等式即可求得函数的最小值;
2

(Ⅱ)由题意可得不等式 f(x)≤a 成立”只要“x ﹣2ax﹣1≤0 在恒成立”.不妨设 g(x) =x ﹣2ax﹣1,则只要 g(x)≤0 在恒成立.结合二次函数的图象列出不等式解得即可.
2

【解答】解: (Ⅰ)依题意得 y= 因为 x>0,所以 x 所以 y≥﹣2.

=

=x

﹣4.

,当且仅当 x= 时,即 x=1 时,等号成立.

所以当 x=1 时,y=
2

的最小值为﹣2.…

(Ⅱ)因为 f(x)﹣a=x ﹣2ax﹣1,所以要使得“? x∈, 不等式 f(x)≤a 成立”只要“x ﹣2ax﹣1≤0 在恒成立”. 不妨设 g(x)=x ﹣2ax﹣1,则只要 g(x)≤0 在恒成立. 因为 g(x)=x ﹣2ax﹣1=(x﹣a) ﹣1﹣a ,
2 2 2 2 2

所以


2n﹣1

,解得 a≥ . +2
2n﹣3

所以 a 的取值范围是+a1=3 (2
﹣1

+…+2) +2=2

2 (n+1) ﹣1

. 由此可知数列{an}的通项公式为 an=2

2n



(Ⅱ)由 bn=nan=n?2

2n﹣1

知 Sn=1?2+2?2 +3?2 ++n?2

3

5

2n﹣1

,由此入手可知答案.

【解答】解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,an+1=+a1

=3(2

2n﹣1

+2

2n﹣3

+…+2)+2=3×

+2=2

2(n+1)﹣1



而 a1=2, 所以数列{an}的通项公式为 an=2 (Ⅱ)由 bn=nan=n?2
2 3 5 2n﹣1 2n﹣1


3 5 2n﹣1

知 Sn=1?2+2?2 +3?2 +…+n?2
2n+1



从而 2 Sn=1?2 +2?2 +…+n?2
2 3


2n﹣1

①﹣②得(1﹣2 )?Sn=2+2 +2 +…+2 即 .

5

﹣n?2

2n+1



【点评】本题主要考查数列累加法(叠加法)求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及 相应运算能力.

19.某批发站全年分批购入每台价值为 3000 元的电脑共 4000 台,每批都购入 x 台,且每批 均需付运费 360 元,储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比, 若每批购入 400 台,则全年需用去运费和保管费共 43600 元,现在全年只有 24000 元资金可 以用于支付这笔费用,请问能否恰当安排进货数量使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】证明题;函数思想;综合法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】根据条件建立运费和保管费的总费用 y 关于每批购入台数 x 的函数解析式,然后利 用基本不等式进行解答. 【解答】解:设全年需用去的运费和保管费的总费用为 y 元, 题中的比例系数设为 k,每批购入 x 台,则共需分 每批价值 3000x 元. 由题意知 y= ×360+3000kx, 批,

当 x=400 时,y=43600, 解得 k= ∴y= , ×360+100x≥2 =24000(元)

当且仅当

×360=100x,即 x=120 时等号成立.

此时 x=120 台,全年共需要资金 24000 元. 故只需每批购入 120 台,可以使资金够用. 【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用,属于基础题.解决实际问题通常有四个步 骤: (1)阅读理解,认真审题; (2)引进数学符号,建立数学模型; (3)利用数学的方法, 得到数学结果; (4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.

20. (13 分)在△ABC 中,已知 (1)试确定△ABC 的形状; (2)求 的范围.

=

,且 cos(A﹣B)+cosC=1﹣cos2C.

【考点】三角形的形状判断;正弦定理;余弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】 (1)利用和差化积公式和二倍角公式对 cos2C+cosC=1﹣cos(A﹣B)整理求得 sinAsinB=sin C, 利用正弦定理换成边的关系, 同时利用正弦定理把 (b+a) (sinB﹣sinA) =asinB 角的正弦转化成边的问题,然后联立方程求得 b =a +c ,推断出三角形为直角三角形. (2)利用正弦定理化简所求式子,将 C 的度数代入,用 A 表示出 B,整理后利用余弦函数的 值域即可确定出范围.
2 2 2 2

【解答】解: (1)由

=

,可得 cos2C+cosC=1﹣cos(A﹣B)
2

得 cosC+cos(A﹣B)=1﹣cos2C,cos(A﹣B)﹣cos(A+B)=2sin C, 即 sinAsinB=sin C,根据正弦定理,ab=c ,①, 又由正弦定理及(b+a) (sinB﹣sinA)=asinB 可知 b ﹣a =ab,②,由①②得 b =a +c , 所以△ABC 是直角三角形,且 B=90°; (2)由正弦定理化简 ∵ 则 = =sinA+sinC=sinA+cosA= )即 1< sin(A+45°) , ,
2 2 2 2 2 2 2

≤sin(A+45°)≤1,A∈(0, 的取值范围是(1, ].

sin(A+45°)

【点评】本题主要考查了三角形的形状的判断,正弦定理的应用.考查了学生分析问题和解 决问题的能力.

21. (14 分)已知点 Pn(an,bn) (n∈N )满足 an+1=anbn+1, ﹣1) . (Ⅰ)求经过点 P1,P2 的直线 l 的方程;

*

,且点 P1 的坐标为(1,

(Ⅱ) 已知点 Pn(an,bn) (n∈N )在 P1,P2 两点确定的直线 l 上,求证:数列 数列. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求对于所有 n∈N ,能使不等式(1+a1) (1+a2)…(1+an)
*

*

是等差



成立的最大实数 k 的值.

【考点】数列与解析几何的综合;数列与不等式的综合. 【专题】计算题.

【分析】 (Ⅰ)由 2x+y=1.

,知

.由此知过点 P1,P2 的直线 l 的方程为

(Ⅱ) 由 P( bn) 在直线 l 上, 知 2an+bn=1. 故 bn+1=1﹣2an+1. 由 an+1=anbn+1, 得 an+1=an﹣2anan+1. 由 n an,

此知

是公差为 2 的等差数列.

(Ⅲ)由

. ,知

.所以



.依题意

恒成立.设 ,所以只需求满足 k≤F(n)的 F(n)

的最小值.

【解答】解: (Ⅰ)因为

,所以

.所以



所以过点 P1,P2 的直线 l 的方程为 2x+y=1. (Ⅱ)因为 Pn(an,bn)在直线 l 上,所以 2an+bn=1.所以 bn+1=1﹣2an+1. 由 an+1=anbn+1,得 an+1=an(1﹣2an+1) .即 an+1=an﹣2anan+1.

所以

.所以

是公差为 2 的等差数列.

(Ⅲ)由(Ⅱ)得



所以



所以



所以 依题意 设

. 恒成立. ,

所以只需求满足 k≤F(n)的 F(n)的最小值.

因为

= 所以 F(n) (x∈N )为增函数.
*

=



所以



所以

.所以

. (14 分)

【点评】本题考查数列与解析几何的综合运用,难度较大,解题时要认真审题,注意挖掘题 设中的隐含条件,合理地选用公式.


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