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平面向量数量积的坐标表示


北师大版高中数学必修四第二章第六节《平面向量数量积的坐标表示》

教学内容

平面向量数量积的坐标表示





数学

教学对象

高一学生

提供者

张艳琴


>


1 课时





新授课





北师大版

一、教材内容分析 向量是一个既有大小又有方向的量,它直接融代数、几何于一身,是近代数学中重要和基 本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景, 在数学和物理学中有着广泛的应用.在向量系中,平面向量又是基础,平面向量数量积的坐标 表示为解决“形”中的长度、角度问题等问题带来了方便.因此它在整个向量系乃至整个数学 学科中占据非常重要的地位. 二、教学目标(知识,技能,情感态度、价值观) 1.知识与能力:掌握平面向量数量积的坐标表示,掌握向量垂直的充要条件,并能运用平面向 量数量积的坐标表示进行简单的计算和证明.培养学生类比、联系、转化等发现规律的一般 方法,领悟数形结合的思想方法,培养自主学习,提出问题、分析问题、解决问题的能力. 2.过程与方法:让学生进行小组合作探究,展示小组集体的探究成果,再和教师进行探讨,最 终完成本节课内容。培养学生类比、联系、转化等发现规律的一般方法,领悟数形结合的思 想方法,培养自主学习,提出问题、分析问题、解决问题的能力 3.情感、态度与价值观:体验探索的乐趣,认识世间万物之间的联系与转化.让学生在共同和 谐的共同探究活动中感受学习和团队合作的乐趣.

三、学习者特征分析

1.知识上:学习过向量加减法的坐标运算和数量积定义、性质、运算律等. 2.方法上:研究过向量加减法运算的推导过程.

四、教学策略选择与设计
1.教学资源:课本,新新学案 2.教学策略:本节课主要是学生和教师共同根据前面已学知识对新知识进行合作探究,然后得 出计算公式,最后进行课堂练习。

五、教学环境及资源准备

1.教学环境:多媒体网络教学教室。 2.资源准备:教学所用的 PPT 课件,课本。

六、教学重难点
1. 教学重点:平面向量数量积的坐标表示 2. 教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用

七、教学过程
教学环节 一、 复习旧知: 教师活动 学生活动 设计意图

1.平面向量数量积(内积)的定义:
已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角 是θ ,则数量| a || b | cos ? 叫 a 与 b 的数量积,记作 a ? b ,即有 a ? b = | a || b | cos ? ? 0 ? ? ? ? ? . C

2.两个向量的数量积的性质:

(1) a ? b ? a ? b = 0; 把以上内容板书 (2) a ? a ; (3) cos ? ?
ab a?b
2 2

个 别 学 生 口 复习回顾旧知识为得 头回答. 出新知识做准备.

到黑板上.

.

二、情境创设 平面向量的表示方法有几何法和 坐标法. 向量的坐标表示,为我们 解决有关向量的加、减、数乘向量 带来了极大的方便.上一节,我们 学习了平面向量的数量积,那么向 量的坐标表示,对平面向量的数量 积的表示方式又会带来哪些变化 呢? 问题 1: ①设单位向量 i, j 分别与平 面直角坐标系中的 x 轴、 y 轴方向 相同,O 为坐标原点,若向量

设计意图:设置情境, 引出课题,设下问题 悬念,引发学生认知 冲突,引起注意,唤 起学生追求探索新知 识的欲望.

设计意图:由旧知识 入手,引导学生复习 已学过的知识,以便 向新知识进行探索。

OA ? 3i ? 2 j , 则 向 量 OA 的 坐 标
是 ,若向量 a ? (1,?2) ,

则 向 量 a 可 用 i, j 表 示 为 ;

②已知 | i |?| j |? 1,

i ? j , a ? 3i ? 2 j , b ? i ? j ,则
a ?b ?
三、 ; 新课讲解 巡视观察学生的 1、平面向量数量积的坐标表示 问题 2:已知两个非零向量 推导情况 学生自主推 导平面向量

让学生能快速将所学 的向量的坐标表示知 识用到刚学的向量的 数量积的问题上,体

怎样用 a a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 与 b 的坐标来表示 a ? b 呢?(让学 生自主推导) 2、平面向量数量积的坐标表示的 推导 已 知 两 个 非 零 向 量 试用 a 和 b a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 的坐标表示 a ? b . 设 i 是 x 轴上的单位向量, j 是
y 轴上的单位向量 ,那么

数量积的坐 标表示形式

会知识的形成过程。

在和学生一起推导的 和老师板书 共同推导, 在黑板上用已学 知识推导公式. 然后小组内 进行讨论. 过程中, 让学生感受到 前后知识的联系和关 系, 强调自学能力的培 养。

a ? x1i ? y1 j , b ? x2i ? y2 j , 所以
a b ? ( x1i ? y1 j ) ? x2i ? y2 j ?

? x1x2i 2 ? x1 y2i j ? x2 y1i j ? y1 y2 j 2
又 i i ? 1, j j ? 1, i j ? j i ? 0, 所 以

a b ? x1x2 ? y1 y2 ,

3、有关公式推导: 1.两非零向量垂直的充要条件:

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
2. 向量的模长公式: 设 a ? ( x, y), 则 a ? x 2 ? y 2 或
a ? x ?y .
2 2
2

巡视观察学生反 应并适当点拨, 在学生讨论的基 础上,做适当引 导.

学生上黑板 书 写 以 上 公 联系与转化,再一次 式 , 然 后 共 感受知识间的联系和 同评价. 灵活运用.

3.两向量夹角的余弦公式:

? ? a?b cos? ? ? ? ? a b x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ?
2 2

x2 ? y2

2

2

.

教师给出详细解 四、运用公式,解决问题 ? ? ? ? 答。 例 1、设a ? (5,?7),b ? (?6,?4),求a ? b.

学 生 尝 试 让学生体会自主应用 解答. 新知识解决问题的过 程。

分析:为求 a 与 b 夹角,需先求 a b 及 a ? b ,再结合夹角 ? 的范围确定 其值. 变式训练:

设a ? (5,?7),b ? (?6,?4),求a ? b.

例 2. 已知 A(1,2) ,B(2,3) ,C (?2,5) , 试判断 ?ABC 的形状,并给出证明. 解: ?ABC 是直角三角形 . 证明如 引导学生分析解答 下: ∵ ∴ 学 生 画 出 简 培养学生由观察—— 猜测——证明的思维 图, 直观感知 方法. 三 角 形 的 形 设计意图: 状.

AB ? (1,1) , AC ? (?3,3) AB ? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0
∴ ∴

AB ? AC
?ABC 是直角三角形

五、

当堂检测

学生独立完 成.

1、完成课本 99 页,练习 1,2 题

充分做到以本为本, 根 据学情, 能让学生把握 公式特点, 能利用公式 进行计算。

六、课堂小结 1. 掌握数量积的坐标表示公式的推 导及其附带公式(模、夹角公式) , 用坐标表示的向量垂直、平行的充 要条件. 2. 知道数量积的坐标表示为解决几 何中垂直,模长、角度问题提供了 方便. 回顾本节课 对本节课有全面的系

所学公式, 并 统的了解, 并与已学知 掌握运用技 巧. 识联系起来.

七、作业 (必选题)课本 100 页 A 组 1,2 (选做题)课本 100 页 B 组 1,3

学生根据题目类型 总结本节课还能解 决哪几方面的问 题.

发展学生对知识的组 织、整合、诠释的能力

八、教学评价
本节课是平面向量里一部分较重要的内容,它联系了坐标数量积的定义和平面向量的坐标 表示,大大简化了运算,也使以后的向量运算简单,易操作,是承下启上的一节课。在本节课 的教学设计中,共分为六个环节,让学生从掌握基本公式到运用公式,是一个循序渐进的过程, 层次分明,起到了新知识的传授目的,在此过程中,学生体会到了数学知识间紧密相连的魅力, 进一步激发了学生学习数学的兴趣。另外在新课改的要求下,也培养了学生联系分析和团队合 作探究的能力,可以说是一举两得,完成了本节课的大纲要求。

九、教学反思
本节课主要运用了教师和学生共同探讨以及学生小组间合作探究的方法进行教学。教师对 于基本公式给出推导,然后引导学生对公式的延伸推导,让学生对公式多方面应用,起到学习 新知的作用。教学设计较好地落实了既定的三维目标,学生思维活跃,发散性较好,教师又能 用适当的启发和疑问引领学习活动沿着一定的主线进行.整节课气氛活跃,师生互动、生生互

动都很好,较好地实现了生生之间和师生之间的对话和交流,体现了学生学习的主体性.但是, 由于过分强调课的完整性,存在课堂教学时间的不足和教学内容比较多之间的矛盾,导致对某 些环节的处理略显不足。如:课堂小结没能充分让学生发言总结等。又因时间关系,在小组讨论 的过程中,部分基础差的学生的思维没有被充分激活 ,对知识的理解还不够深刻,这些问题在以 后的教学中应重视。

十、板书设计
? ? ? ? 1. a ? b ? a b cos?

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

? ? ?? 2. (1) a ? b ? ab ? 0

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

(2)

a ?a

2

2

a ? x2 ? y 2 或 a ? x2 ? y 2
? ? a ?b cos? ? ? ? ab ? x1 x2 ? y1 y2 x1 ? y1 ?
2 2

2

? ? a ?b (3). cos? ? ? ? a b

x2 ? y2

2

2

.


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