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一道竞赛题的命题背景及本质解法


2004 年第 5 期 ?               中学数学月刊          40?

一道竞赛题的命题背景及本质解法
谷焕春 周金峰  ( 山东省聊城大学数学科学学院 252059)    2002 年全国高中数学联赛二试第二题 如下: 实数 a , b, c 和正数 Κ使得 f ( x ) = x 3 +
ax + bx +

c 有三个实数 x 1 , x 2 , x 3 , 且满足
2

= -

a

3

, x 1 和 x 3 在数轴上关于点 x 2 对称, 从

( 1) x 2 - x 1 = Κ ; ( 2) x 3 >

1 ( x 1 + x 2 ). 2



2a 3 + 27c - 9ab

的最大值. 3 Κ 本题的标准答案隐晦曲折, 不易理解. 即

而 x 1 , x 2 , x 3 成等差数列. 对这一事实可给出如下证明: 注意到 f (x ) = (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x 3 ) , ③ - a = x 1 + x 2 + x 3, 所以
2a 3 - 9ab + 2c = 27f ( = 27 ( a a a

3

)
a

使改进的解法[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 也都计算繁琐, 显得生 硬 . 一个题目的本质解法至少应当是流畅和 自然的. 我们先考察本题的有关背景. 题中涉及到三次方程 f ( x ) = x 3 + ax 2
+ bx + c = 0 的根, 它可以由 Ca rdan 公式给

- x 1) (- x 2) (- x 3) 3 3 3 = ( - a - 3x 1 ) ( - a - 3x 2 ) ( - a - 3x 3 ) = ( x 2 + x 3 - 2x 1 ) ( x 3 + x 1 ) 2x 2 ( x 1 + x 2 - 2x 3 ). ④

因此 x 1 , x 2 , x 3 成等差数列的充要条件是
2a 3 + 27c - 9ab = 0.

出 . 推导 Ca rdan 公式时, 要先消去二次项 . 设
x = y y +
3

a

3

, 方程化为

3b - a 2 1 ( 2a 3 + 27c - 9ab) = 0. y + 3 27 即是说, 上面 f ( x ) 的表达式可以变形为
f (x ) = (x + a

3

)3 +

3b - a 2 a (x + ) 3 3

1 ( 2a 3 + 27c - 9ab) , 27 这里恰好出现了 2a 3 + 27c - 9ab. +



由 ① 式, 令 x = -

a

3

可得
a

2a 3 + 27c - 9ab = 27f ( -

3

).



这个式子的直接验证也很容易. 从 ① 式还可
a 以看出, 将曲线 y = f ( x ) 先向右平移 个单 3

现在可以给出本题一个新的解法. 根据条件 ( 1) , x 2 = x 1 + Κ . 根据条件 1 ( 2) , 可设 x 3 = x 1 + tΚ ( t > ). 代入 ④ 得 2 3 ( t + 1) ( 2 - t ) ( 2 t - 1) , 2a 3 - 9ab + 27c = Κ 所以 2a 3 - 9ab + 27c = ( t + 1) ( 2 - t ) ( 2 t 3 Κ 1 - 1) = Υ( t) , t > . 2 1 当 < t < 2 时 Υ( t) > 0, t ≥ 2 时 Υ( t) 2 1 ≤ 0. 所以不妨设 < t < 2, 这时 2 1 ( 3 - 1) ( t + 1) ( 3 Υ( t) = 2 + 1) ( 2 - t ) ( 2 t - 1) ≤
1 2 = 3 2 ( 3 3 - 1) ( t + 1) + ( 3 . 1+ 2 3 ( 符合 3 + 1) ( 2 - t) + (2 t - 1)
3

位, 再向下平移 f ( y= x +
3

a

3

) 个单位, 可得到曲线

3b - a 2 x , 它关于原点对称 . 可见点 3
a

(-

a

3

, f (-

3

) ) 是曲线 y = f ( x ) 的对称中
a

心 . 若对称中心的纵坐标 f ( -

3 程f ( x ) = 0 的三个实根 x 1 < x 2 < x 3 中 x 2

) = 0, 则方

等号成立的充要条件是 t = 条件 t >
1 ) , 这时 2

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2004 年第 5 期           中学数学月刊                 ?41?
f (x ) = (x x 1 ) (x x1 -

) (x - x 1 Κ

-

1+ 2

3

). Κ



其中 x 1 是任意实数, Κ为任意正数. 因此所求 的最大值为
3 2 3 .

数Υ( t). 至于求 Υ( t) 的最大值, 这是一个容易 的问题, 有多种解法, 我们上面仅列出一种. 最后给出的 ⑤ 式具有一般性. 整个解题 过程背景清楚, 思路自然, 方法简捷流畅, 而 且问题解决地彻底. 从数学美的角度来看, 这 应当是该试题的本质解法 .
参考文献 1  单 . 评 2002 年全国高中数学联赛 . 数学通讯,
2003 ( 1) 2  小雯. 一道竞赛题的简单解法. 中学教研 ( 数

我们上面没有拘泥于试题中给出的 f ( x ) 的表达式, 而是利用 x 1 , x 2 , x 3 重新给出 ③ 式, 然后结合 ② 式轻快地推出了 ④ 式, 得 到 2a 3 + 27c - 9ab 与 x 1 , x 2 , x 3 之间关系的一 个美妙的恒等式. 在此基础上, 适当设出参数 t, 将 涉 及 多 个 变 量 的 复 杂 式 子
2a 3 + 27c - 9ab
3 Κ

学) , 2003 ( 1)
3  邱修能. 运用技巧, 精心演算. 中学数学研究, 2003 ( 1)

化成了一个简单的一元函

一道高考题的课本探源与发展
薛爱国 潘建国  ( 江苏省如皋市丁堰中学 226521)    教材是高考命题的参照物, 学生通过对教材 的学习形成技能, 发展能力, 以便实现高考时能 力的再显 . 但不少考生高考时, 面对新背景 、 新问 题时却一脸茫然 . 其实, 不少高考题能在课本上 找到影子或模型, 本文试图探源 2003 年高考 ( 江 苏卷) 第 20 题, 并再做些发展 . 我们先来看课本上的两道习题:
11△A B C 的两个顶点 A , B 的坐标分别 > 0 时点 C 的轨迹为双曲线 ( 去掉 A , B 两 点).

证明   设 C ( x , y ) , 由题意, 则
y x a y x + a

= m , 整理得:

x y 2 2 a ma

2

2

= 1, 故猜想是成立的 .

是 ( - 6, 0) , ( 6, 0) , 边 A C , B C 所在直线的斜 率之积等于 验修订本
4 , 求顶点 C 的轨迹方程 . (试 9 必修 第二册第 96 页)

21△A B C 一 边 的 两 个 顶 点 是 B ( 0, - 6) , ( 0, 6) , 另两边所在直线的斜率之积是 4 , 求顶点 A 的轨迹 . ( 试验修订本 9

特别地, 当 - 1 < m < 0 时, 椭圆的中心 在原点, 焦点在 x 轴上; 当m < - 1 时, 椭圆的中心在原点, 焦点 在 y 轴上. 当两个顶点 A , B 的坐标改为 ( 0, a ) , ( 0, 0) ( a ≠ 0) 时, 结论类似, 但此时轨迹中心偏 离原点, 此时得到的轨迹方程是:
(y (
a a

2 2 )2

)2 1
m

x

2

必修

(

a

2

)2

= 1.

第二册第 108 页) 猜想  △A B C 的两个顶点 A , B 的坐标 分别是 ( - a , 0) , ( a , 0) ( a ≠ 0) , 边A C , B C 所 在直线的斜率之积等于 m (m ≠ 0 且 m ≠ - 1) , 则当m < 0 时点 C 的轨迹为椭圆; 当m

我们再来看 2003 年的高考试题 ( 江苏 卷) 第 20 题: 已知常数 a > 0, 向量 c = ( 0, a ) , i = ( 1, 0) , 经过原点O 以 c + Κ i 为方向向量的直线与经 过定点A ( 0, a ) 以 i - 2Κ c 为方向向量的直线相

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