tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

一道竞赛题的命题背景及本质解法


2004 年第 5 期 ?               中学数学月刊          40?

一道竞赛题的命题背景及本质解法
谷焕春 周金峰  ( 山东省聊城大学数学科学学院 252059)    2002 年全国高中数学联赛二试第二题 如下: 实数 a , b, c 和正数 Κ使得 f ( x ) = x 3 +
ax + bx +

c 有三个实数 x 1 , x 2 , x 3 , 且满足
2

= -

a

3

, x 1 和 x 3 在数轴上关于点 x 2 对称, 从

( 1) x 2 - x 1 = Κ ; ( 2) x 3 >

1 ( x 1 + x 2 ). 2



2a 3 + 27c - 9ab

的最大值. 3 Κ 本题的标准答案隐晦曲折, 不易理解. 即

而 x 1 , x 2 , x 3 成等差数列. 对这一事实可给出如下证明: 注意到 f (x ) = (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x 3 ) , ③ - a = x 1 + x 2 + x 3, 所以
2a 3 - 9ab + 2c = 27f ( = 27 ( a a a

3

)
a

使改进的解法[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 也都计算繁琐, 显得生 硬 . 一个题目的本质解法至少应当是流畅和 自然的. 我们先考察本题的有关背景. 题中涉及到三次方程 f ( x ) = x 3 + ax 2
+ bx + c = 0 的根, 它可以由 Ca rdan 公式给

- x 1) (- x 2) (- x 3) 3 3 3 = ( - a - 3x 1 ) ( - a - 3x 2 ) ( - a - 3x 3 ) = ( x 2 + x 3 - 2x 1 ) ( x 3 + x 1 ) 2x 2 ( x 1 + x 2 - 2x 3 ). ④

因此 x 1 , x 2 , x 3 成等差数列的充要条件是
2a 3 + 27c - 9ab = 0.

出 . 推导 Ca rdan 公式时, 要先消去二次项 . 设
x = y y +
3

a

3

, 方程化为

3b - a 2 1 ( 2a 3 + 27c - 9ab) = 0. y + 3 27 即是说, 上面 f ( x ) 的表达式可以变形为
f (x ) = (x + a

3

)3 +

3b - a 2 a (x + ) 3 3

1 ( 2a 3 + 27c - 9ab) , 27 这里恰好出现了 2a 3 + 27c - 9ab. +



由 ① 式, 令 x = -

a

3

可得
a

2a 3 + 27c - 9ab = 27f ( -

3

).



这个式子的直接验证也很容易. 从 ① 式还可
a 以看出, 将曲线 y = f ( x ) 先向右平移 个单 3

现在可以给出本题一个新的解法. 根据条件 ( 1) , x 2 = x 1 + Κ . 根据条件 1 ( 2) , 可设 x 3 = x 1 + tΚ ( t > ). 代入 ④ 得 2 3 ( t + 1) ( 2 - t ) ( 2 t - 1) , 2a 3 - 9ab + 27c = Κ 所以 2a 3 - 9ab + 27c = ( t + 1) ( 2 - t ) ( 2 t 3 Κ 1 - 1) = Υ( t) , t > . 2 1 当 < t < 2 时 Υ( t) > 0, t ≥ 2 时 Υ( t) 2 1 ≤ 0. 所以不妨设 < t < 2, 这时 2 1 ( 3 - 1) ( t + 1) ( 3 Υ( t) = 2 + 1) ( 2 - t ) ( 2 t - 1) ≤
1 2 = 3 2 ( 3 3 - 1) ( t + 1) + ( 3 . 1+ 2 3 ( 符合 3 + 1) ( 2 - t) + (2 t - 1)
3

位, 再向下平移 f ( y= x +
3

a

3

) 个单位, 可得到曲线

3b - a 2 x , 它关于原点对称 . 可见点 3
a

(-

a

3

, f (-

3

) ) 是曲线 y = f ( x ) 的对称中
a

心 . 若对称中心的纵坐标 f ( -

3 程f ( x ) = 0 的三个实根 x 1 < x 2 < x 3 中 x 2

) = 0, 则方

等号成立的充要条件是 t = 条件 t >
1 ) , 这时 2

? 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.

2004 年第 5 期           中学数学月刊                 ?41?
f (x ) = (x x 1 ) (x x1 -

) (x - x 1 Κ

-

1+ 2

3

). Κ



其中 x 1 是任意实数, Κ为任意正数. 因此所求 的最大值为
3 2 3 .

数Υ( t). 至于求 Υ( t) 的最大值, 这是一个容易 的问题, 有多种解法, 我们上面仅列出一种. 最后给出的 ⑤ 式具有一般性. 整个解题 过程背景清楚, 思路自然, 方法简捷流畅, 而 且问题解决地彻底. 从数学美的角度来看, 这 应当是该试题的本质解法 .
参考文献 1  单 . 评 2002 年全国高中数学联赛 . 数学通讯,
2003 ( 1) 2  小雯. 一道竞赛题的简单解法. 中学教研 ( 数

我们上面没有拘泥于试题中给出的 f ( x ) 的表达式, 而是利用 x 1 , x 2 , x 3 重新给出 ③ 式, 然后结合 ② 式轻快地推出了 ④ 式, 得 到 2a 3 + 27c - 9ab 与 x 1 , x 2 , x 3 之间关系的一 个美妙的恒等式. 在此基础上, 适当设出参数 t, 将 涉 及 多 个 变 量 的 复 杂 式 子
2a 3 + 27c - 9ab
3 Κ

学) , 2003 ( 1)
3  邱修能. 运用技巧, 精心演算. 中学数学研究, 2003 ( 1)

化成了一个简单的一元函

一道高考题的课本探源与发展
薛爱国 潘建国  ( 江苏省如皋市丁堰中学 226521)    教材是高考命题的参照物, 学生通过对教材 的学习形成技能, 发展能力, 以便实现高考时能 力的再显 . 但不少考生高考时, 面对新背景 、 新问 题时却一脸茫然 . 其实, 不少高考题能在课本上 找到影子或模型, 本文试图探源 2003 年高考 ( 江 苏卷) 第 20 题, 并再做些发展 . 我们先来看课本上的两道习题:
11△A B C 的两个顶点 A , B 的坐标分别 > 0 时点 C 的轨迹为双曲线 ( 去掉 A , B 两 点).

证明   设 C ( x , y ) , 由题意, 则
y x a y x + a

= m , 整理得:

x y 2 2 a ma

2

2

= 1, 故猜想是成立的 .

是 ( - 6, 0) , ( 6, 0) , 边 A C , B C 所在直线的斜 率之积等于 验修订本
4 , 求顶点 C 的轨迹方程 . (试 9 必修 第二册第 96 页)

21△A B C 一 边 的 两 个 顶 点 是 B ( 0, - 6) , ( 0, 6) , 另两边所在直线的斜率之积是 4 , 求顶点 A 的轨迹 . ( 试验修订本 9

特别地, 当 - 1 < m < 0 时, 椭圆的中心 在原点, 焦点在 x 轴上; 当m < - 1 时, 椭圆的中心在原点, 焦点 在 y 轴上. 当两个顶点 A , B 的坐标改为 ( 0, a ) , ( 0, 0) ( a ≠ 0) 时, 结论类似, 但此时轨迹中心偏 离原点, 此时得到的轨迹方程是:
(y (
a a

2 2 )2

)2 1
m

x

2

必修

(

a

2

)2

= 1.

第二册第 108 页) 猜想  △A B C 的两个顶点 A , B 的坐标 分别是 ( - a , 0) , ( a , 0) ( a ≠ 0) , 边A C , B C 所 在直线的斜率之积等于 m (m ≠ 0 且 m ≠ - 1) , 则当m < 0 时点 C 的轨迹为椭圆; 当m

我们再来看 2003 年的高考试题 ( 江苏 卷) 第 20 题: 已知常数 a > 0, 向量 c = ( 0, a ) , i = ( 1, 0) , 经过原点O 以 c + Κ i 为方向向量的直线与经 过定点A ( 0, a ) 以 i - 2Κ c 为方向向量的直线相

? 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.


推荐相关:

片段之十:从一道模拟试题到一道联赛试题

法. 2 解法探究 2.1 一种新的构造解法 罗增儒...故上述三个结论的逆命题亦成立,即 推广 4:点 P(...看似偶然的特殊的数字其实背后蕴含着本质与规律, 这...


有一道多种解法的复数题

命题时应考虑各种等价解法的考查重点和难易大致相同...得分率意义上的试题难 度,本质上是从考生的角度...( ). 【分析】 本题是一道应用题,其背景是向...


解析几何竞赛题求解的几种常见策略

所以解析几何一直 是各级高中数学竞赛命题的热点和...道填空题 和一道解答题,分值在 30 分左右,占一...在解决某些解析几何问题的时候,如果其平面几何背景...


一道二元函数最值问题的巧解及解法推广

这是一道 2017 年第 17 届中环杯九年级数学竞赛...我们还应探讨这种问题的一般解法,把握解法的本质特性...如将命题者精心挑选的数值 28 改为 50, 1 9 的...


解析几何竞赛题求解的几种常见策略

所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点...两道填空题和一道解答题,分值在 30 分左右,占一...如果我们 能够分析其平面几何背景,运用平面几何的知识...


解析几何竞赛题求解的几种常见策略

所以解析几何一直 是各级高中数学竞赛命题的热点和...道填空题 和一道解答题,分值在 30 分左右,占一...如果我们能够分析其平面几何背景,运用平面几何的知识,...


解析几何竞赛题求解的几种常见策略

所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点...道填空题和一道解答题,分值在 30 分左右,占 一...在解决某些解析几何问题的时候,如果其平面几何背景...


由2008年江西高考理科数学最后一题说起

2008 年是江西省高考数学自主命题的第四年,今 年...2008 年的理科压轴题是一道函 数与不等式的综合题...参加 过数学竞赛训练的同学得益明显,试题背景有失...


征稿征题

征稿征题 征稿 《数学竞赛之窗》杂志长期向广大读者...对优秀试题的命题思想,知识背景,解法技巧、编拟 ...每期的问题中一道为联赛内容和难度, 其余四道分别...


解析几何竞赛题求解的几种常见策略

所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点...两道填空题和一道解答题,分值在 30 分左右,占一...如果我们能够分析其平面几何背景,运用平面几何的知识,...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com