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长丰一中三角函数诱导公式导学案第一课时


2015-2016 高一数学必修 4 导学案

编号:06

班级:

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教师评价:

1.3 三角函数的诱导公式(一)
使用时间:2015-11
编制人:杨云珍,李勇,黄先锋 【使用说明及

学法指导】 1.先精读一遍教材 P18—P20,用红色笔进行勾画,再针对导学案预习自学部分二次阅 读教材并回答提出的问题,时间不超过 50 分钟; 2.限时、认真、独立完成合作探究设置的问题,对于加★部分的题目为选做题,没加★ 的题目都要做。 3.在预习,做练习过程中找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂上讨论质疑。 【学习目标】
(1)正确理解诱导公式(五)~(六)的内容与推导,掌握诱导公式(五)~(六) ; (2)会利用 相应的诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,能运用其进行化简、求值及证明; (3) 要特别注意区分诱导公式中的函数名称与符号【重点、难点】 难点:理解诱导公式的推导. 重点:诱导公式与同角三角函数基本关系的综合运用. 易混点:各种诱导公式的特点.

1.写出诱导公式二--四
(2)公式二:sin(π+α)=________,cos(π+α)=__________,tan(π+α)=________.其中 k∈Z. (3)公式三:sin(-α)=________,cos(-α)=__________,tan(-α)=________. (4)公式四:sin(π-α)=________,cos(π-α)=________,tan(π-α)=__________.

2.诱导公式一~四主要有什么作用?
提示:公式一的作用是:把不在 0~2π 范围内的角化为 0~2π 范围内的角; 公式二的作用是:把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数; 公式三的作用是:把负角的三角函数化为正角的三角函数; 公式四的作用是:把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数. 因此,运用公式一~四可以将任一角的三角函数转化为锐角的三角函数 我的疑惑:

三、合作探究
探究一、 给角求值问题 例 1 求下列各三角函数值. 47π (1) sin(-1 200° );(2)cos ;(3)tan 945° . 6

一、预习自学

问题 1:请写出诱导公式一,并说明该公式的主要作用
回顾归纳 此类问题是给角求值, 主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三 角函数值求解.如果是负角,一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数,要记住一些特殊角的 三角函数值. 变式训练 1 求 sin 1 200° · cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )+tan(-495° )的值

问题 2:完成下列表格:设 α 为任意角,则 π+α,-α,π-α 的终边与 α 的终边之间的对称
关系. 相关角 π+α 与 α -α 与 α π-α 与 α 公式二吗? 终边之间的对称关系 关于____对称; 关于____对称; 关于____对称.

探究二 给值求值问题 例2 sin?3π-α? sin?α-3π?+cos?π-α? 已知 =2,求 的值. cos?3π-α? sin?-α?-cos?π+α?

问题 3:你能否利用 π+α 与 α 终边之间的对称关系,从任意角三角函数的定义出发推导诱导 识记:2k·π+α(k∈Z),π+α,-α,π-α 的三角函数值,等于 α 的同名函数值,前面加上一个
把 α 看成锐角时原函数值的符号,即“函数名不变,符号看象限”(把 α 视为锐角).

二、预习自测

回顾归纳 (1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角.(2)弦切互化是本题的一个重 要技巧,值得关注.

2015-2016 高一数学必修 4 导学案 π ? 3 变式训练 2 已知 cos? ?6-α?= 3 , 5π ? π? 2? 求 cos? ? 6 +α?-sin ?α-6?的值.

编号:06

班级:

姓名: 组内评价: 教师评价: sin?α-5π? 4.tan(5π+α)=m,则 的值为( ) cos?π+α? A.m B.-m C.-1 D.1 π 1 ? 5.若 sin(π-α)=log8 ,且 α∈? ) ?-2,0?,则 cos(π+α)的值为( 4 5 5 5 A. B.- C.± D.以上都不对 3 3 3

小组:

探究三 化简三角函数式 例3 sin?-2π-θ?cos?6π-θ?tan?2π-θ? 化简: . cos?θ-π?sin?5π+θ?

五、课余探究.
1+2sin 290° cos 430° 的化简结果是________. sin 250° +cos 790° 2.设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2,其中 a、b、α、β 为非零常数.若 f(2 009)=1,则 f(2 010)=________. 1.代数式 三、解答题 2 3.若 cos(α-π)=- , 3 sin?α-2π?+sin?-α-3π?cos?α-3π? 求 的值. cos?π-α?-cos?-π-α?cos?α-4π?

回顾归纳 解答此类题目的关键是正确运用诱导公式, 如果含有参数 k(k 为整数)一般需按 k 的 奇、偶性分类讨论. sin[?k+1?π+θ]· cos[?k+1?π-θ] 变式训练 3 化简: (其中 k∈Z). sin?kπ-θ?· cos?kπ+θ?

4.已知 sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0.

六. 【课堂小结】 四.课堂效果检测
1.sin 585° 的值为( ) 2 2 A.- B. 2 2 C.- 3 2 D. 3 2 )

1.知识方面
1.诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系.换句话说,诱导 公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系. 2.记忆诱导公式一~四的口诀是“函数名不变,符号看象限”,其含义是公式两边的函数名 称不变,符号则是将角 α 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号. 3.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是:

sin?nπ+α? 2.若 n 为整数,则代数式 的化简结果是( cos?nπ+α? A.tan nα B.-tan nα C.tan α D.-tan α 3.记 cos(-80° )=k,那么 tan 100° 等于( ) 2 2 1-k 1-k A. B.- k k k k C. D.- 2 1-k 1-k2

2.数学思想方面

2015-2016 高一数学必修 4 导学案

编号:06

班级:

例 1.解 (1)sin(-1 200° )=sin(-4×360° +240° ) =sin 240° =sin(180° +60° ) 3 =-sin 60° =- ; 2 47π 11π 11π (2)cos =cos( +6π)=cos 6 6 6 π π 3 =cos(2π- )=cos = ; 6 6 2 (3)tan 945° =tan(2×360° +225° )=tan 225° =tan(180° +45° )=tan 45° =1. 变式训练 1 解 原 式 = sin(3×360°+ 120° )· cos(3×360°+ 210° ) - cos(2×360°+ 300° )· sin(2×360° +330° )-tan(360° +135° ) =sin(180° -60° )· cos(180° +30° )-cos(360° -60° )· sin(360° -30° )-tan(180° -45° ) =-sin 60° · cos 30° +cos 60° · sin 30° +tan 45° 3 3 1 1 =- × + × +1 2 2 2 2 1 = . 2 sin?3π-α? 例2 解 ∵ =2, cos?3π-α? ∴tan(3π-α)=2,∴tan α=-2. sin?α-3π?+cos?π-α? ∵ sin?-α?-cos?π+α? -sin α-cos α sin α+cos α = = -sin α+cos α sin α-cos α 1+tan α = tan α-1 sin?α-3π?+cos?π-α? 1-2 1 ∴ = = . sin?-α?-cos?π+α? -2-1 3 5π ? π? 2? 变式训练 2 解 cos? ? 6 +α?-sin ?α-6? 2?π ?5π ?? ? =-cos? ?π-? 6 +α??-sin ?6-α? π ? 2?π ? =-cos? ?6-α?-sin ?6-α? 3 3 =- -?1-? ?2? 3 ? ?3?? 2+ 3 3 2 =- - =- . 3 3 3

小组: 姓名: 组内评价: -sin?2π+θ?· cos θ· ?-tan θ? 例 3 解 原式= cos?π-θ?· sin?π+θ? sin θ· cos θ· tan θ = ?-cos θ?· ?-sin θ? sin θ· cos θ· tan θ = sin θ· cos θ =tan θ 变式训练 3 解 当 k 为偶数时, 不妨设 k=2n,n∈Z,则 sin[?2n+1?π+θ]· cos[?2n+1?π-θ] 原式= sin?2nπ-θ?· cos?2nπ+θ? sin?π+θ?· cos?π-θ? = -sin θ· cos θ -sin θ· ?-cos θ? = -sin θ· cos θ =-1. 当 k 为奇数时,设 k=2n+1,n∈Z,则 sin[?2n+2?π+θ]· cos[?2n+2?π-θ] 原式= sin[?2n+1?π-θ]· cos[?2n+1?π+θ] sin[2?n+1?π+θ]· cos[2?n+1?π-θ] = sin?π-θ?· cos?π+θ? sin θ· cos θ = sin θ· ?-cos θ? =-1. ∴上式的值为-1. 课时作业 2 1.A [sin 585° =sin(360° +225° )=sin(180° +45° )=- .] 2 sin α 2.C [若 n 为偶数,则原式= =tan α; cos α sin?π+α? 若 n 为奇数,则原式= =tan α.] cos?π+α? 3.B [∵cos(-80° )=k,∴cos 80° =k, 1-k2 2 ∴sin 80° = 1-k .∴tan 80° = . k 1-k2 ∴tan 100° =-tan 80° =- .] k 4.A [∵tan(5π+α)=tan α=m,∴tan α=m. -sin α 原式= =tan α=m.] -cos α 2 2 5.B [∵sin(π-α)=sin α=log2 2- =- , 3 3 2 ∴cos(π+α)=-cos α=- 1-sin α

教师评价:

2015-2016 高一数学必修 4 导学案 =- 6.0 π π 2π 2π- ?+3sin 解析 原式=-sin +2sin? 3? ? 3 3 3 3 3 =- -2× +3× =0. 2 2 2 7.-1 解析 原式 1+2sin?180° +110° ?· cos?360° +70° ? = sin?180° +70° ?+cos?2×360° +70° ? = = 1-2sin 110° cos 70° cos 70° -sin 70° 4 5 1- =- .] 9 3

编号:06

班级:

小组:

姓名: 5 , 3

组内评价:

教师评价:

sin α=- 1-cos2α=-

1-2sin 70° cos 70° cos 70° -sin 70° |sin 70° -cos 70° | = cos 70° -sin 70° =-1. 8.3 解析 f(2 009)=asin(2 009π+α)+bcos(2 009π+β)+2 =asin(π+α)+bcos(π+β)+2 =2-(asin α+bcos β)=1. ∴asin α+bcos β=1. f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β)+2 =asin α+bcos β+2=3. -sin?2π-α?-sin?3π+α?cos?3π-α? 9.解 原式= -cos α-?-cos α?cos α sin α-sin αcos α = -cos α+cos2α sin α?1-cos α? = -cos α?1-cos α? =-tan α. 2 ∵cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=- , 3 2 ∴cos α= .∴α 为第一象限角或第四象限角. 3 2 当 α 为第一象限角时,cos α= , 3 5 sin α= 1-cos2α= , 3 sin α 5 5 ∴tan α= = ,则原式=- . cos α 2 2 2 当 α 为第四象限角时,cos α= , 3

sin α 5 5 ∴tan α= =- ,则原式= . cos α 2 2 10.证明 ∵sin(α+β)=1, π ∴α+β=2kπ+ (k∈Z), 2 π ∴α=2kπ+ -β (k∈Z). 2 tan(2α+β)+tan β π ? ? ? =tan? ?2?2kπ+2-β?+β?+tan β =tan(4kπ+π-2β+β)+tan β =tan(4kπ+π-β)+tan β =tan(π-β)+tan β =-tan β+tan β=0, ∴原式成立.


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