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高中数学新课程创新教学设计案例50篇(23)直线方程的几种形式


23 直线方程的几种形式

教材分析
这节内容介绍了直线方程的几种主要形式:点斜式、两点式和一般式,并简单介绍了斜截式 和截距式.直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础,因此它是本节学习的重点.在推 导直线方程的点斜式时,要使学生理解:(1)建立点斜式的主要依据是,经过直线上一个 定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的, 其斜率等于 k. 在得出方

程 (2) 后,

要把它变成方程 y-y1=k(x-x1).因为前者表示的直线缺少一个点 P1(x1,y1),而后 者才是这条直线的方程.(3)当直线的斜率不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的 直线方程为 x=x1.在学习了点斜式的基础上,进一步介绍直线方程的其他几种形式:斜截 式、两点式、截距式和一般式,并探索它们的适用范围和相互联系与区别.通过研究直线方 程的几种形式,指出它们都是关于 x,y 的二元一次方程,然后从两个方面进一步研究直线 和二元一次方程的关系,使学生明确一个重要事实:在平面直角坐标系中,任何一条直线的 方程,都可以写成关于 x,y 的一次方程;反过来,任何一个关于 x,y 的一次方程都表示一 条直线,为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.因为这部分内容较为抽象,所以它是本节 学习的难点.

教学目标
1. 在“直线与方程”和直线的斜率基础上,引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程, 初步体会直线方程建立的方法. 2. 理解和掌握直线方程的点斜式,并在此基础上研究直线方程的其他几种形式,掌握它们 之间的联系与区别,并能根据条件熟练地求出直线方程. 3. 理解直线和二元一次方程的关系,并能用直线方程解决和研究有关问题. 4. 通过直线方程几种形式的学习,初步体会知识发生、发展和运用的过程,培养学生多向 思维的能力.

任务分析
这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的斜率基础上,具体地研究直线方程的几种形 式,而这几种形式的关键是推导点斜式方程.因此,在推导点斜式方程时,要使学生理解: 已知直线的斜率和直线上的一个点,这条直线就确定了,进而直线方程也就确定了.求直线 方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示, 这样由两点的斜率公式即可推出直 线的点斜式方程.在直线的点斜式方程基础上,由学生推出直线方程的其他几种形式,并使 学生明确直线方程各种形式的使用范围, 以及它们之间的联系与区别. 对于直线和方程的一 一对应关系是本节课的难点, 在论证直线和方程的关系时, 一方面分斜率存在与斜率不存在

两类,另一方面又分 B≠0 与 B=0 两类.这种“两分法”的分类,科学严密,可培养学生全面 系统和周密地讨论问题的能力.

教学设计
一、问题情境 飞逝的流星形成了一条美丽的弧线, 这条弧线可以看作满足某种条件的点的集合. 在平面直 角坐标系中,直线也可以看作满足某种条件的点的集合.为研究直线问题,须要建立直线的 方程.直线可由两点唯一确定,也可由一个点和一个方向来确定.如果已知直线上一个点的 坐标和斜率,那么如何建立这条直线的方程呢? 二、建立模型 1. 教师提出一个具体的问题若直线 l 经过点 A(-1,3),斜率为-2,点 P 在直线 l 上运 动,那么点 P 的坐标满足什么条件? 设点 P 的坐标为(x,y),那么当 P 在直线 l 上运动时(除点 A 外),点 P 与定点 A 确定 的直线就是 l,它的斜率恒为-2,所以 =-2,即 2x+y-1=0.

显然,点 A(-1,3)满足此方程,因此,当点 P 在直线 l 上运动时,其坐标(x,y)满足 方程 2x+y-1=0. 2. 教师明晰一般地,设直线 l 经过点 P1(x1,y1),且斜率为 k,对于直线 l 上任意一点 P (x,y)(不同于点 P1),当点 P 在直线 l 上运动时,PP1 的斜率始终为 k,则 即 y-y1=k(x-x1). 可以验证:直线 l 上的每个点(包括点 P1)的坐标都是这个方程的解;反过来,以这个方程 的解为坐标的点都在直线 l 上,这个方程就是过点 P1、斜率为 k 的方程,我们把这个方程叫 作直线的点斜式方程. 当直线 l 与 x 轴垂直时,斜率不存在,其方程不能用点斜式表示,但因为直线 l 上每一点的 横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1. ,

思考:(1)方程

与方程 y-y1=k(x-x1)表示同一图形吗?

(2)每一条直线都可用点斜式方程表示吗? [例 题] 求满足下列条件的直线方程.

(1)直线 l1:过点(2,5),k=-1.

(2)直线 l2:过点(0,1),k=-

.

(3)直线 l3:过点(2,1)和点(3,4). (4)直线 l4:过点(2,3)平行于 y 轴. (5)直线 l5:过点(2,3)平行于 x 轴.

参考答案:(1)x+y-7=0.(2)y=- y=3. [练 习] 求下列直线方程.

x+1.(3)3x-y-5=0.(4)x=2.(5)

(1)已知直线 l 的斜率为 k,与 y 轴的交点 P(0,b). (如果直线 l 的方程为 y=kx+b,则称 b 是直线 l 在 y 轴上的截距,这个方程叫直线的斜截 式方程) (2)已知直线 l 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2).

(如果直线 l 的方程为 y-y1= 方程)

(x-x1),(x1≠x2),则这个方程叫直线的两点式

(3)已知直线 l 经过两点 A(a,0),B(0,b),其中 ab≠0.

(如果直线 l 的方程为

,(ab≠0),则 a,b 分别称为直线 l 在 x 轴、y 轴上的

截距,这个方程叫直线的截距式方程) 进一步思考讨论:前面所学的直线方程的几种形式都是关于 x,y 的二元一次方程,那么任 何一条直线的方程是否为关于 x,y 的二元一次方程?反过来,关于 x,y 的二元一次方程都 表示一条直线吗? 通过学生讨论后,师生共同明晰: 在平面直角坐标系中,每一条直线的方程都是关于 x,y 的二元一次方程. 事实上,当直线斜率存在时,它的方程可写成 y=kx+b,它可变形为 kx-y+b=0,若设 A =k,B=-1,C=b,它的方程可化为 Ax+By+C=0;当直线斜率不存在时,它的方程可

写成 x=x1,即 x-x1=0,设 A=1,B=0,C=-x1,它的方程可化为 Ax+By+C=0.即 任何一条直线的方程都可以表示为 Ax+By+C=0;反过来,关于 x,y 的二元一次方程 Ax +By+C=0,(A,B 不全为 0)的图像是一条直线.

事实上,对于方程 Ax+By+C=0,(A,B 不全为 0),当 B≠0 时,方程可化为 y=- x- x=- ,它表示斜率为- ,在 y 轴上截距为- 的直线;当 B=0 时,A≠0,方程可化为

,它表示一条与y轴平行或重合的直线.

综上可知:在平面直角坐标系中,直线与关于 x,y 的二元一次方程是一一对应的.我们把 方程 Ax+By+C=0,(A,B 不全为 0)叫作直线的一般式方程. 三、解释应用 [例 题]

1. 已知直线 l 通过点(-2,5),且斜率为- (1)求直线的一般式方程. (2)求直线在 x 轴、y 轴上的截距.



(3)试画出直线 l.解答过程由学生讨论回答,教师适时点拨. 2. 求直线 l:2x-3y+6=0 的斜率及在 x 轴与 y 轴上的截距.

解:已知直线方程可化为 y=

x+2,所以直线 l 的斜率为

,在 y 轴上的截距为 2.在

方程 2x-3y+6=0 中,令 y=0,得 x=-3,即直线在 x 轴上的截距为-3. [练 习] 1. 求满足下列条件的直线方程,并画出图形. (1)过原点,斜率为-2. (2)过点(0,3),(2,1). (3)过点(-2,1),平行于 x 轴. (4)斜率为-1,在 y 轴上的截距为 5. (5)在 x 轴、y 轴上的截距分别为 3,-5.

2. 求过点(3,-4),且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程. 3. 设直线 l 的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件确定 m 的 值. (1)直线 l 在 x 轴上的截距为-3. (2)直线 l 的斜率为 1. (3)直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 10. 四、拓展延伸 1. 在直线方程 y-1=k(x-1)中,k 取所有实数,可得到无数条直线,这无数条直线具有 什么共同特点? 2. 在直线方程 Ax+By+C=0 中,当 A,B,C 分别满足什么条件时,直线有如下性质: (1)过坐标原点. (3)只与 x 轴相交. (5)与 x 轴重合. (2)与两坐标轴都相交. (4)只与 y 轴相交. (6)与 y 轴重合.

3. 直线方程的一般式与几种特殊形式有什么区别与联系?你能说明它们的适用范围以及相 互转化的条件吗? 参考答案: 1. 直线过点(1,1),它不包括直线 x=1. 2. (1)C=0.A,B 不全为 0; (3)A≠0,B=0,C≠0. (5)A=0,B≠0,C=0. 3. 略. (2)A,B 都不为 0. (4)A=0,B≠0,C≠0. (6)A≠0,B=0,C=0.

点 评
这篇案例在直线与方程和直线的斜率基础上, 通过实例探索出过一点且斜率已知的直线的方 程, 然后按照由特殊到一般的方程建立了直线的点斜式方程, 在点斜式方程的基础上由学生 自主的探究出直线方程的其他形式, 并研究了几种直线方程的联系与区别以及它们的适用范 围.在案例的设计上注意了知识的发生、发展和适用的过程.在例题与练习的设计上,注意

了层次性和知识的完整性的结合, 在培养学生的能力上, 注意了数学的本质是数学思维过程 的教学,体现了数形结合、化归、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想.在培养学生创 新意识、 探索研究、 分析解决问题的能力等方面, 做了一些尝试, 体现了新课程的教学理念, 能够较好地完成本节的教育教学任务.


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