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选修1-2,2.1.1合情推理


2.1合情推理与演绎推理
2.1.1合情推理(1)

归纳推理

合情推理 推理

类比推理

演绎推理 推理与证明
直接证明 证明 间接证明

福 尔 摩 斯

柯南

我们来推测诸葛亮“先生”的推理过程:

1.今夜恰有大雾 2.曹操生性多疑 3.弓弩利于远战
4.北军不善水战

草船借箭必将成功

已知 判断 前提

新的 判断 结论

一、推理定义 根据一个或几个已知的 判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推 理.



例:在推理?1 ? ?2,?2=?3 ? ?1=?3中 前提是?1 ? ?2,?2=?3,结论是?1=?3
?归纳推理 ?合情推理 ? 推理? ?类比推理

?演绎推理

著名 猜想

哥德巴赫,德国数学家。 1742年6月7日,他在 写给著名数学家欧拉 的一封信中,提出了 两个大胆的猜想: 一、任何不小于6的偶数, 都是两个奇质数之和: 二、任何不小于9的奇数, 都是3个奇质数之和。 这就是数学史上 著名的“哥德巴赫猜想”

据说歌德巴赫无意中观察到: 3+7=10,3+17=20,13+17=30 他有意把上面的式子改成: 10=3+7,20=3+17,20=13+17 其中 反映出这样一个规律: 偶数=奇质数+奇质数

12=5+7 14=7+7 16=5+11 …… 1000=29+971 1002=139+863 …… 歌德巴赫大胆的猜想: 任何一个不小于6的偶数都 等于奇质数的和

一.归纳推理
这种由某类事物的部分对象具有某些特 征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推 理,称为归纳推理. 部分 个别 一般 归纳推理是由… ...到整体 …..,由… ...到… ....
例如:由铜\铁\金等金属能导电,归纳出:一切金属都能导电.

由直角三角形\等腰三角形\等边三角形的内角和为180度, 归纳出:三角形的内角和为180度.
应用归纳推理可以发现新事实,获得 新结论。(但要注意,结论可能为真, 也可能为假。) 你还能举一些 归纳推理的例子吗?

例题1: 观察下列的等式,你有什么 猜想吗?

1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 2 1+3+5+7+9=25=5
……

由此猜想:前n个连续的奇数的和 等于n的平方,即: 1+3+5+…+(2n-1)=n2

例2:已知数列{an}的第1项a1=1,且 an ?1

an ? 1 ? an

(n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式. 分别把n=2,3,4代入 an ?1
1 1 a2 ? ? 1?1 2
1 a3 ? ? 1 3 1? 2 1 2

an ? 得: 1 ? an

1 1 3 a4 ? ? 1 4 1? 3

观察可得:数列的前4项都等于相应项数的倒数。

1 由此猜想(归纳)这个数列的通项公式为: an ? n

可用数学归纳法证明这个猜想是正确的.

小结:归纳推理的一般步骤:
(1)通过观察特例发现特例的某些共性; (2)把这种共性推广为一个明确表达的 一般性命题(猜想).
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

情景创设2:
1.从一个传说说起:春秋时 代鲁国的鲁班,一次去林中砍树 时被一株齿形的茅草割破了手, 这桩倒霉事却使他发明了锯子.

他的思路是这样的:
茅草是齿形的; 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具; 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗?

2.

火星

地球

相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。 地球上有生命 猜想 火星上可能有生命

3.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
上述推理是怎样的一个过程呢?

二.类比推理
定义:根据两个(或两类)对象之间在某些
方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也 相似或相同,像这样的推理通常称为类比推 理.(简称:类比) 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比推理是「自 然奧妙的参与者」和自己「最好的老师」 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路人,求解立体 几何往往有赖于平面几何的类比问题.”

例3:类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质
解:(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后,所得的结果
仍然是一个实数。 (2)从运算的角度考虑,加法和乘法都满足交换律和结合律,即

a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 方程 a+x=0

ab=ba (ab)c=a(bc) ax=1(a≠0)
x? 1 a

(3)从逆运算的角度考虑,加法和乘法都有逆运算,加法的逆运 算是减法,乘法的逆运算是除法。



a=-x

(4)在加法中,任意实数与0相加都不改变大小;任意实数与1的 积都等于原来的数,即 a ?1 ? a a+0=a

我们要根据实际情况选择适当的类 比对象.如: 平
圆 三角形



正方形

空 间 正方体 球
三棱锥

数学应用:
例4:试根据等式的性质猜想不等式的性质. 解:等式与不等式有不少相似的属性,例如:

等式
(1) a=b (2) a=b (3) a=b

不等式
猜想 猜想

?a+c=b+c ?ac=bc ?a2=b2等等

a>b a>b

?a+c>b+c ?ac>bc a2>b2 ?

猜想

a>b

问:这样猜想出的结论是否一定正确?

类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征, 从而得出一个猜想;即

观察、比较

联想、类推

猜想新结论

例6:类比平面内直角三角形的勾股定 理,试给出空间中四面体性质的猜想.

直角三角形
∠C=90° 3个边的长度a,b,c 2条直角边a,b和1条斜边c

3个面两两垂直的四面体
∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°

4个面的面积S1,S2,S3和S 3个“直角面” S1,S2,S3和1个 “斜面” S

例5:试将平面上的圆与空间的球进行类比. 解:圆与球在它们的的生成、形状、定义等 方面都具有相似的属性. 据此,圆与球的相 关元素之间可建立如下的对应关系:


弦 直径 周长 面积
如下表:


截面圆 大圆 表面积 体积

等等,于是根据圆的性质,可以猜测球的性质

平面

空间

由平面内的圆,我们联想到空间里的球, 让他们来类比.你能找到他们有 哪些类似的特征?

(理科)P73探究
圆的性质

(文科)P25探究
球的性质

圆心与弦(不是直径)的中点 的连线垂直于弦

球心与截面圆(不是大圆)的 圆点的连线垂直于截面圆

与球心距离相等的两截面圆 与圆心距离相等的两弦相等; 相等;与球心距离不等的两 与圆心距离不等的两弦不等, 截面圆不等,距球心较近的 距圆心较近的弦较长 截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半 球的切面垂直于过切点的半 径;经过圆心且垂直于切线 径;经过球心且垂直于切面 的直线必经过切点 的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直 经过切点且垂直于切面的直 线必经过球心 线必经过圆心

对 比
归纳推理:归纳推理的前提是几个已知的特殊现 象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该 结论超越了前提所包容的范围,是从特殊到一般 得命题的猜测,是否正确是需要证明的。
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

类比推理:类比就是在两类不同的事物之间进行 对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他 方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式, 类比推理是否正确是需要证明的。
观察、比较 联想、类推 猜测新的结论

合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提 出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理。 通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理的应用
数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向


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