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全国中学生物理竞赛课件23:交流电路


?
交流有效值的定义:与一个交流在相同时间内 通过电阻所产生的热量相等的直流的数值。
i/A
Im

T 2
? Im

T

3T 2

2T

t/s

考虑一个周期时间内,由定义: 2 T T ? Im ? 2 2

? ? R ? ? I m R ? ? I RT 2 2 ? 2?

3 I? Im 2

示例

交流通过电阻R的瞬时功率:

P?

P-t图线如示: P P
m

2 2 I m R sin ? t

1 ? cos2? t ? Pm 2
面积相同!

Pm 2


? 2?

O

? ?

t

P-t图与t轴所围”面积”表示半个周期产生的热 1 2 ? Q ? Im R ? Im 2 ? 得 I? 2 T 根据交流有效值的定义:I R ? Q 2 2

u/V
Um

U?

Um 3
?Um

T

t/s

考虑四分之一周期,由定义: 2 2 ? u1 ? u2 U2 T ? ? lim ? ? ?t ? ? ?t ? ? ? R 4 ?t ? 0 ? R R ?

T ?t ? 4n

ui2 T U T ? ? lim ? ? R 4 n?? i ?1 R 4n
2 n

U2 U 2 T 4U mT T i2 u? ? ? m Ri n?? ? n3 ? lim R 4 T 4 4n

i2 1 2 2 lim ? 3 ? lim 3 1 ? 2 ? ? n?? n n?? n 1 n ? n ? 1?? 2n ? 1? ? lim 3 ? n?? n 6

?

?

纯电阻电路

纯电感电路

纯电容电路

阻抗 欧姆定 律形式
电压电流变 化相位关系

L R?? s U I? XR
同相
I U

1 1 ? X L ? 2? fL ? ? L XC ? 2? fC ?C U U U I? ? I? ? U ?C XL ?L XC
电压超前电流
U

电流超前电压 规


I I

矢量图 能量

U

消耗电能

存储磁场能

存储电场能
串联电路 规律

设通过电感器的电流 i ? I m sin ? ? t ? 电感器的两端电压

?

L

sin ? ? t ? ?t ? ? sin ? t ?i u ? lim L ? ? LI m lim ?t ? 0 ?t ?0 ?t ?t?t ? ? 2t ? ? ??t 2 ? sin ? cos 2 2 ? LI m lim ?t ? 0 ? ?t 2

? L? I m cos ? t ?? ? ? U m sin ? ? t ? ? 2? ?

返回

设电容器两端电压 u ? U m sin ? ? t ? 电容器的充放电流

?

C

sin ? ? t ? ?t ? ? sin ? t C ? ?U i ? lim ? CUm lim ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t t ? ? 2t ? ? ? ? ?t 2 ? sin ? cos 2 2 ? CU m lim ?t ? 0 ??t 2

? C?U m cos ? t ?? ? ? I m sin ? ? t ? ? 2? ?

?
R

L

C

设通过电路的电流为 i ? I sin ? ? t ? m uR ? I m R sin ? ? t ?

?? ? uL ? I m ? L sin ? ? t ? ? 2? ? 1 ? ? ? I m R sin I? t ? ? I m ? ? L ? ? ? cos ? t ? ? ? ? C? m ? uC ? sin ? ? t ? ? UL Um 2 ? C ?? t?? ? ? 2 ? UX ? ? I m Z sin 1 ? 2 令Z ? R ? ? ? ? L ? ? 串联电路的总电压为? ? Um sin ?? t ? ? I C? ? ? U ? ? Im R ? ?? ? u ? I m R sin ? ? t ?1?X L ? L sin ? ? t ? ? ? sin ? ? t ? ? ? I m ? XC 2 UC ? C 2? ? ? tan ? ? ? 示例 R

如图所示的电路已经达到稳定状态,两个无内阻电源电动势值分 1 R 别为 ? 1 ? ? 0 sin2 ? t ? 2 ? ? 0 cos;两个电阻R1=R2=R,电感L= ; ,电容 C ? 2? R ,试 ?t 2? 求通过电阻R1的电流i1(t). ?2

专题23-例1

解题方向:运用电流叠加原理,注
意交流电路中的相位关系.

R2

C

? 1 ? ? 0 sin2 ? t ? ? cos 2? t 2 2 ? 2 ? ? 0 cos ? t ?0 ?0
?? 0 R ? 3? ? 0 X ? cos 2? t : uR L???2?sin ? ?? t t ? ? i AB sin 22R ? 2 ? ? 2 R2?? ? 2 2 IC ? I R 1 X? ? ?R i ?C 0 ? 0 cos ? t : 1 0 U R ? U AB uR ? sin ? ? t ? ? ? U L 2? 2 2? R 2 ?0 ?0 电流叠加得: iR i1 ? sin ? 2? t sin ? ? t ? ? 1? ?? 2 2 R2R

?0

?0

L
R1

A

B

?0

2

:

i直 ?

?1 R2 ? 0 cos ? t

2R

L
A
R
?0 ?0

C ?R

R1

B

cos 2? t U2 2 AB

?

IC
45? 45?

IL I R U R(C )

如图所示,阻值R=200Ω的电阻和电容C=5×10-6 F的电容器并联,通过 此并联电路的交流的圆频率ω=103 rad/s,交流安培表A1的读数I1=1 A,其内阻很小.试求 交流安培表A2的读数.

1 容抗X C ? ? 200? ?C

C A1 A2 R

1 电容器两端电压 U ? I1 ? 200V ?C 通过电阻的电流 I ? U ? 1A R R
通过A2的电流
U

I1

I 2 ? 2A

IR

I2

如图所示的电路系统.已知R1、R2、R3、R4、L1和L2的值是这 样选择的:不管ε是固定的,还是随时间作正弦变化的,都没有电流流过电流计 M.假若R2=90Ω,R3=300Ω,R4=60Ω,L2=900 H,求R1和L1 .

ε是恒定电源时,电感电阻 为零,系统为一惠斯登电 桥,没有电流流过电流计 R3 M的条件是 R1

R1 L1 M R2 ε

R3 R4

易得

R3 300 R1 ? R2 ? ? 90? ? 450? R4 60

R2

?

L2

R4

ε是作正弦变化的电源时,没有电流流过电流计M的 条件是 I 1 z1 ? I 2 z 2 z1 2 z2 2 2 2 2

I1 R3 ? I 2 R4

U ? 4500H

R1 ? L1? ? R3 R4 ? R3

R2 ? L2? R4

2

专题23-例2 如图所示,有一金属圆环,它的轴竖直向上,今将它放臵在电磁 铁上方距离为y处,电磁铁线圈中电流 ,假定M为在此位臵的圆环和电磁铁之间的
先来求金属圆环内的感应电动势.设电磁铁线 圈中电流变化按 i ? I m 0 cos ? t 由法拉弟电磁感应定律,金属圆环中有互感感应电动势产 生:

互感系数,圆环的电阻为R.试求:⑴金属圆环内的感应电流;⑵说明当圆环由此 下落时作用于圆环的电磁力的方向 .

y ~

cos ? ? t ? ?t ? ? cos ? t ?i ? ? ? ? lim ? ? M ? ? lim ? MI m 0 ?t环 ?0 ?t ? ?t ? m 0 0 ?t ?

? ? MI ? sin ? t

圆环上的感应电动势的变化比施感电流及其磁场的变化落后π/2的相位. ?t ? ?t ? 2sin ? ? t ? ? sin ? 再来考虑圆环中的感应电流.这里必须考虑到金属环除了电阻R,还有感抗,L为圆 2 ? 2 ? ? MI m 0 lim ?t ? 0 2 ?t Z ? R 2 ? ? ? L ? ,且 环电感.故圆环上感应电流通过一RL串联电路,总阻抗为 ?t ? ?t ? ?1 ? L ? ? t ? sin sin ? 感应电流相位落后于电动势 ? ? tan (0<?2 ?? ),故通过圆环的感应电流 2 < ? ? MI m 0? lim R ? ?t ? 0 ?t 2 ? 2 m0 环 2 2

i ?

MI ?

R ? ?? L?

sin ? ? t ? ? ?

续解

当圆环由电磁铁上方y处下落时,作用于圆环的电磁力F是 斥力(向上)还是引力(向下),要视i与i环的方向关系定 夺——若两者处于方向一致状态,圆环将被电磁铁吸引向下, 反之将因受斥而向上.作两电流的图象如图: i L? i ? I cos ? t 若 ?1 R i ? I sin ?? t ? ? ?
m0

读题





? 4?

? 2?

? ?

? 2?

2?

t

?

?? ?1 ? L ? 由图可知由于两电流有一相位差 ? ? ? ? tan , ? R ? ?2 使在电流变化的每个周期内,两电流及其磁场的方向在 ? ? 2? ?t1 ? ? ? 时间内同向而 ? 2? 时间内反向,即反向的时间占 ?t2 ? ? ? ? 多,故金属圆环受到的平均电磁力为斥力,方向向上.

如图所示为一短路的超导螺线管,由于接触不完善, 超导螺线管里电流发生变化,这个电流产生的磁场磁感应强度每小 时减小2%.试求接触电阻R,已知螺线管的自感系数L=1 H . R

设无接触电阻时线圈 中电流为I0 电流I0在线圈中引起 的磁场为B0 则B ? ? I 0 0 有接触电阻时,线圈中电流变化产生自感电动势: 由全电路欧姆定律:

?I ??L ?t

? B ? ? I ? B0 ?1 ? kt ?

?I I0 R ? L ?t B0 B0 R? L k

0.02 R ? Lk ? 1 ? ? 3600

?

?

? 5.6 ? 10 ?

?6

且 ? L ? ?C

1

?R

如图所示的交流电路,电源电动势 ? ? ? 0 sin2 ? t, ,试求电路中干路电流i(t)

电源电动势

R

C
R

? ? ? 0 sin ? t ?
2

?0
2

?

?0
2

cos 2? t A

L

B
R

?0 ?0 : i直 ? 2R 2 ?0 3? ? A ? ?0 ? cos 2? t : uAB ? 2 sin ? 2? t ? 2 ? ? ? 2 ? ? ?0 ? ? ? 1? ? ?2 i ?i ?i ? sinI2? t ? ? tan 2 2 ? ?? 2?sin?2? t? ?15 R ? ? ? tan ? LR ? ? L?? tan2 2 2 ?UL 2 5 R X RL 2 R ? 5 R 1 ? ? ?
0 ?1 0 ?1 2 LR RC

?

?0 2

B

?1 UR 2 ? 2? C ? IAB 5 ? 2 ?0 ? ?? cos 2? t . ?2 U IRC 2R R ?0 ?0 ?0 2 i ?t ? ? ? cos 2? t ? sin ? t .U UAB 干路电流为 C 2R 2R R
RC RC

??

?0

?1 1? 1 ?? ? ? 2 ? ? sin ? 2? t ? tan ?1 ? ? cos ? 2? t ? tan ?1 ? ? ? ? 5 R ? 2 I ? ? 0 2 2 ? ?1 ? ? ? tan ?1 15 2 ? ? X ? R ? ? R

2 5

UAB

?
qi ?1 ? qi qi ?1 ?t ? t ? n ? ? ? ?? R? n ? IU ?t C R ? qi ? 1 ? qi t ? nRC C ? ? qi ? 1 t ? C ? C? t ? tqi? 1? qi? ?t ??qi ? C ? O t 1 ? ? ? ?1 ? e RC q nRC C ? ? q C ? ? ? RC ? i ?1 nRC C ? ? qi ? 1 I? e ? ? R t qi ? ? ? t RC ? ? ? I i R ? ? I i ? ? ? 1 ? e ? U ? ? ? 1 ? e RC ? ? ? C ? ? C
? ?
S 设充电时间t,电量 为q,在充电的某元过程中,由基尔霍 + 夫定律: ?
R

q

+
C

R

L
S S1

I i ?1 ? I i ? ?L ? I i ?1 R ?t
Rt I i ? 1 ? I i ? Ln ? ? I i ?1 R

接通S,由于自感,回路电流有一滋长过程,设 某元段时间内电流由Ii-Ii+1,由基尔霍夫定律:

?

t ?t ? ? n ? ? ? n

?

对该式两边n次方取极限后可得:
R ? t ? ? ? I ? ?1? e L ? R? ?

Rt 1? ? R Ln ? ? I i ?1 R

? Ii

由于自感,回路电流有一衰减过程, 电流衰减规律为:

I?

?
R

e

?

R t L

b a

i

S
0 t

S从a→b
i 0 R

S

t

S断开

u1

+ D1 u1 + 设u1=2Esinωt,如图 正半周,在u1≥E时,D1导通, D1

u2

u2

u2 ? E
u2 ? u1 ? 2 E sin ? t u2 ? E

在u1<E时,D1、D2均截止, 负半周,在u1≥EE时,D2导通,

在u1<E时,D1、D2均截止,

u2 ? u1 ? 2 E sin ? t

专题23-例3

如图所示为一测子弹速度的机构的示意图,已知电源ε=100 V, 电阻R=6 kΩ,电容C=0.1μF,距离l=3 m.设电路已达稳态.测子弹速度时,子弹 先将开关S打开,经l长距离飞至S1—S2连锁开关,使S1打开的同时S2闭合,若此时 冲击电流计G测出电荷Q=3.45 μC,求子弹的速度.

Q0 ? Cε ? 0.1 ? 100? C = 10? C

电路处于稳定态时,电容器上电量为 S S1 S2

飞行的子弹将开关S打开后,在子弹从S飞 至S1的时间内,RC电路处于放电过程,连 锁开关S1打开、同时S2闭合,电容器极板上 原通过电阻R放电剩余的电荷现通过冲击电 流计G而中和,故有

?
l

C R G2

Q ? Q0 e

?

t RC

? Q0 e

?

l RCv

v?

l Q0 RC ln Q

代入题给数据即得:

v ? 4.69 ? 10 m/s
3

V,R1=10 Ω,R2=20 Ω, R3=30Ω,L=2 H.求下列条件下,I1、I2、I3的值.⑴S刚接通时;⑵ S接通长时间后;⑶S接通后再切断的瞬间;⑷S切断长时间后.

如图所示的电路中,ε=100 专题23-例4

30 R2 ? R3 11 I2 ? A I 3 ? 20 A R1 ? 11 11 R2 ? R3 S打开 ⑶S打开瞬时, L与R2、R3构成 R3 LR回路,该回路电流从原I3开 SR 1 始减小: 20

I1 ?

10 ⑴S刚接通时: I1 ? I 2 ? ? A R1 ? R2 3 ⑵S闭合电路稳定时: ? 50
? A

?

I3 ? 0

i2 ? i3 ?

⑷S切断后三个电阻均无电流 通过

11

e

?25 t

I3

R2

专题23-例5 如图所示,自感系数分别为L1和L2的两个线圈,通过开关S1和 S 接入电动势为ε、内电阻为r的电源上,开始时两个开关都断开,当开关S 闭合并
且通过线圈L1的电流达到某个值I0后,开关S2闭合.求在开关S2闭合后,通过线圈 L1和L2的稳定电流.线圈的电阻不计.
2 1

S2刚接通时:通过L1电 流为I0,通过L2电流为0;
L1

S1

电路稳定时:设通过L1电流 I0 I1 为I1,通过L2电流为I2; 在变化的短时间内,两线圈产生自感电动势:

?1

?,r
?
r

S2

? 2L2
I2

对节点及两个回路中由基尔霍夫定律; ? L2 ? rI 0 L1 ? I1 ? I1 ? I 2 ? r ? L1 ? L2 ?

I 0 ? I1 ? 1 ? L1 ?t

I2 ? 2 ? L2 ?t

r I0 ? I1 I2 ? ? L1 ? ? ? L1 ?t ?t

I2 ?

? L1 ? rI 0 L1
r ? L1 ? L2 ?

在如图所示的电路中,L1=10 mH,L2=20 mH, C1=10 μF,C2=5 μF,R=100 kΩ,电源的正弦交流成份振幅保持不变, 开关S长时间闭合.现打开开关,t0时间后,通过L1和L2的电流分别 为i01=0.1 A,i02=0.2 A,电压U0=40 V.试计算电路的固有振荡频率; 确定导线AB上的电流以及线圈L1中电流的振幅.

专题23-例6

L1 C1 C2 L2 R

A
B

S

?

解答

两并联的LC振荡电路有相同的频率

读题 L1 C1
iC 1 iC 1 i 01

f ?
对节点A: i01 对节点B:

1 2? LC

? 0.50kHz

电路中各部分电流设定如图

? iC 1 ? i AB ? 0

iC 2 C2 iC 2

i AB

A B

L2 R

两电容器并联 iC 1 : iC 2

L1L2BAL1回路中直流为0.1A 振荡电流达最大时电容器放电完毕,有:

? C2 : C1 ? 2 :1 iC 1 ? ?0.2A iC 2 ? ?0.1A i AB ? 0.1A 1 1 2 2 L1C1回路中振荡电流为0.2A C U ? L i 此时L1C1回路中振荡能表现 1 0 1 C1 2 L2C2回路中振荡电流为0.1A 2 电场能与磁场能:
1 1 2 1 2 2 C1U0 ? L1i C 1 ? L1im 2 2 2

i02 ? iC 2 ? i AB

i02
S

?

im ? 1.28A

用如图所示的电路测量二极管的反向电流I,电容器接入前先充 电,使两极板间电压等于电池电动势:U=ε=4.5 V.然后接入电路,将其正极板与 电池负极相接.将开关S臵于位臵1,经时间t1=1 min,再换接到位臵2,此时电流 计指针偏转n1 =5小格.电容器重新充电再重复实验,这次将S臵于1的时间t2 =2 min,则指针向反方向偏转n2=20小格.设二极管反向电流与所加反向电压无关, 求该反向电流.(C=10 μF)

电容器原带电荷CU. 第一次,开关臵1,电源有It1的正电荷通过二极管到达电容 器负极板,在那里与负电荷中和,剩余电荷CU-It1; 当开关臵于2时电荷全部通过电流计,表指示QG =CU -It1; 第二次经较长时间t2,电容器原带电量全部中和后又重新充电 通过电流计的电量是It2-CU =4QG; 由上二式得

? 4t1 ? t2 ? I ? 5CU
I ? 0.625? A

4.5V + + + +

C

代入题给数据得

S

如图所示,电容为C的电容器充电到电势差为U, 通过开关与自感系数分别为L1和L2的两个并联线圈相连.如果S闭合, 那么经过某段时间后完全重新充电(即电容器上电压反向) ,求在这 段时间内通过每个线圈的电量q1和q2,线圈的电阻不计. 从开关S闭合到电容器上电压反向, 通过两线圈的总电量为2CU, 则

q1 ? q2 ? 2CU
两线圈并联,两端电势差总相 同,即有
L1 L2 C

S

?I1 ?I 2 L1 ? L2 ?t ?t
可知

q1 L2 ? q2 L1 L1 q2 ? 2CU L1 ? L2



L2 q1 ? 2CU L1 ? L2

如图所示,两个电容器C1= C2= C,最初两电 容器分别带有电量Q1= Q2= Q0,线圈的自感系数为L,整个电路的电 阻均不计.⑴若先闭合开关S1 ,则电路中将产生电磁振荡,振荡中 C1 的带电量的最大值为多少?⑵若接着再闭合开关S2 ,C1 带电量的 最大值有无变化?如有,则变化情况如何? ⑴若先闭合开关S1,则电路等效于电容 C/2与电感L组成的LC振荡电路,C1带电量最大 值为 ⑵闭合开关S2,C1带电量的最大值如何 S1
+ +

Q0;

C1

视开关S2闭合的时机!

当振荡电流恰为零时闭合S2: Q0 当振荡电流达最大时闭合S2:

S2
2 0 2 1

+

Q Q 由 ? C 2C Q1 ? 2Q0 Q0 < Q1 < 2Q0 其它时机闭合S :
2