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北京市怀柔区2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年北京市怀柔区高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项) 1.命题 p:?x∈R,x>1 的否定是( ) A.¬p:?x∈R,x≤1 B.¬p:?x∈R,x≤1 C.¬p:?x∈R,x<1 D.¬p:?x∈R,x<1 ﹣y2=1 的实轴长为( C

. D.1 )

2.双曲线 A.4



B.2

3.点 P(﹣1,2)到直线 8x﹣6y+15=0 的距离为( A.2 B. C.1 D.

4.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行,则 a=( A.﹣3 B.﹣ C.﹣6 D.



5.下列四个命题 ①垂直于同一条直线的两条直线相互平行; ②垂直于同一个平面的两条直线相互平行; ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行; ④垂直于同一个平面的两个平面相互平行; 其中错误的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.“平面内一动点 P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点 P 的轨迹为椭圆”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知点 P(x,y)为圆 C:x2+y2﹣6x+8=0 上的一点,则 x2+y2 的最大值是( A.2 B.4 C.9 D.16 )

8.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正 方体的六个面所在的平面相交的平面个数为( )

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A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请把正确答案填在答题卡上) 9.直线 y=2x+1 的斜率为 . 10.命题“若 x2<1,则﹣1<x<1”的逆命题是 11.抛物线 x2=4y 的焦点坐标为 . . .

12.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于

13.一个球的体积在数值上等于其表面积的 2 倍,则该球半径为



14.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x=﹣1 的距离相等, 若机器人接触不到过点 P(﹣1,0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请写 在答题卡上) 15.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥底面 ABC,BC⊥AC,D、E 分别是 SC、BC 的中 点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 SAB; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 SAC.

16.已知点 A(0,﹣6) ,B(1,﹣5) ,且 D 为线段 AB 的中点. (Ⅰ)求中点 D 的坐标; (Ⅱ)求线段 AB 的垂直平分线的方程.

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17. H 分别是 AB、 AC、 PC、 BC 的中点, 如图, 在三棱锥 P﹣ABC 中,E、F、G、 且 PA=PB, AC=BC. (Ⅰ)证明:AB⊥PC; (Ⅱ)证明:平面 PAB∥平面 FGH.

18.已知直线 l 过点(2,1)和点(4,3) . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)若圆 C 的圆心在直线 l 上,且与 y 轴相切于(0,3)点,求圆 C 的方程. 19. 已知:四棱锥 P﹣ABCD,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,∠A=90°,且 AB∥CD, CD,点 F 在线段 PC 上运动.

(1)当 F 为 PC 的中点时,求证:BF∥平面 PAD; (2)设 ,求当 λ 为何值时有 BF⊥CD.

20.已知直线过点 M(﹣3,0) ,且倾斜角为 30°,椭圆 C:

(a>b>0)的左焦

点为 F1(﹣2,0) ,离心率



(Ⅰ)求直线 l 和椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证:直线 l 和椭圆 C 有两个交点; (Ⅲ)设直线 l 和椭圆 C 的两个交点为 A,B,求证:以线段 AB 为直径的圆经过点 F1.

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2015-2016 学年北京市怀柔区高二 (上) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项) 1.命题 p:?x∈R,x>1 的否定是( ) A.¬p:?x∈R,x≤1 B.¬p:?x∈R,x≤1 C.¬p:?x∈R,x<1 D.¬p:?x∈R,x<1 【考点】命题的否定. 【专题】整体思想;定义法;简易逻辑. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可. 【解答】解:命题是特称命题, 则命题的否定是:?x∈R,x≤1, 故选:A 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. ﹣y2=1 的实轴长为( C. D.1

2.双曲线 A.4



B.2

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出双曲线的 a=2,即可得到双曲线的实轴长 2a. 【解答】解:双曲线 ﹣y2=1 的 a=2,

则双曲线的实轴长为 2a=4, 故选 A. 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查实轴的概念,考查运算能力,属于基础题. 3.点 P(﹣1,2)到直线 8x﹣6y+15=0 的距离为( A.2 B. C.1 D. )

【考点】点到直线的距离公式. 【专题】计算题. 【分析】点 P(x0,y0)到直线 ax+by+c=0 的距离:d= (﹣1,2)到直线 8x﹣6y+15=0 的距离. 【解答】解:点 P(﹣1,2)到直线 8x﹣6y+15=0 的距离: d= 故选 B.
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,由此能求出点 P

= ,

【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用,解题时要注意公式的灵活运用,合理地进行 求解. 4.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行,则 a=( A.﹣3 B.﹣ C.﹣6 D. )

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】计算题. 【分析】由于直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行,故它们的斜率相等,故有﹣ =3, 由此解得 a 的值. 【解答】 解: 由于直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行, 故它们的斜率相等, 故有﹣ =3, 解得 a=﹣6, 故选 C. 【点评】本题主要考查两直线平行的性质,两直线平行,斜率相等,属于基础题. 5.下列四个命题 ①垂直于同一条直线的两条直线相互平行; ②垂直于同一个平面的两条直线相互平行; ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行; ④垂直于同一个平面的两个平面相互平行; 其中错误的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】直线与平面垂直的性质;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】综合题. 【分析】 对选项①④可利用正方体为载体进行分析, 举出反例即可判定结果, 对选项②③ 根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理进行判定即可. 【解答】解:①垂直于同一条直线的两条直线相互平行,不正确,如正方体的一个顶角的 三个边就不成立 ②垂直于同一个平面的两条直线相互平行,根据线面垂直的性质定理可知正确; ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行,根据面面平行的判定定理可知正确; ④垂直于同一个平面的两个平面相互平行,不正确,如正方体相邻的三个面就不成立; 故选 B 【点评】此种题型解答的关键是熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直和 平行的判定及性质. 6.“平面内一动点 P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点 P 的轨迹为椭圆”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】整体思想;定义法;简易逻辑. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的定义进行判断即可.
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【解答】解:若平面内一动点 P 到两个定点的距离的和为常数,当常数小于等于两定点的 距离时,轨迹不是椭圆, 若平面内一动点 P 的轨迹为椭圆,则平面内一动点 P 到两个定点的距离的和为常数成立, 即“平面内一动点 P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点 P 的轨迹为椭圆”的必要 不充分条件, 故选:B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据椭圆的定义是解决本题的关键.比 较基础. 7.已知点 P(x,y)为圆 C:x2+y2﹣6x+8=0 上的一点,则 x2+y2 的最大值是( A.2 B.4 C.9 D.16 )

【考点】圆的一般方程. 【专题】直线与圆. 【分析】将圆 C 化为标准方程,找出圆心与半径,作出相应的图形,所求式子表示圆上点 到原点距离的平方,根据图形得到当 P 与 A 重合时,离原点距离最大,求出所求式子的最 大值即可. 【解答】解:圆 C 化为标准方程为(x﹣3)2+y2=1, 根据图形得到 P 与 A(4,0)重合时,离原点距离最大,此时 x2+y2=42=16. 故选 D

【点评】此题考查了圆的一般式方程,两点间的距离公式,利用了数形结合的思想,熟练运 用数形结合思想是解本题的关键. 8.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正 方体的六个面所在的平面相交的平面个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】直线 EF 与正方体的左右两个侧面平行,与另外的四个面都相交.
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【解答】解:由题意可知直线 EF 与正方体的左右两个侧面平行, 与正方体的上下底面相交,前后侧面相交, 所以直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4. 故答案为:4.

【点评】本题考查空间中线面间位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间 思维能力的培养. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请把正确答案填在答题卡上) 9.直线 y=2x+1 的斜率为 2 . 【考点】直线的斜率. 【专题】对应思想;定义法;直线与圆. 【分析】根据斜截式直线方程 y=kx+b 的斜率为 k,写出斜率即可. 【解答】解:直线 y=2x+1 的斜率为 2. 故答案为:2. 【点评】本题考查了利用直线方程求直线斜率的应用问题,是基础题目. 10.命题“若 x2<1,则﹣1<x<1”的逆命题是 若﹣1<x<1,则 x2<1 . 【考点】四种命题. 【专题】计算题;对应思想;综合法;简易逻辑. 【分析】根据逆命题的定义进行求解,注意分清命题的题设和结论. 【解答】解:命题“若 x2<1,则﹣1<x<1”的逆命题是: 若﹣1<x<1,则 x2<1, 故答案为:﹣1<x<1,则 x2<1. 【点评】此题主要考查逆命题的定义,是一道基础题; 11.抛物线 x2=4y 的焦点坐标为 (0,1) . 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由抛物线 x2=4y 的焦点在 y 轴上,开口向上,且 2p=4,即可得到抛物线的焦点坐 标. 【解答】解:抛物线 x2=4y 的焦点在 y 轴上,开口向上,且 2p=4,∴ ∴抛物线 x2=4y 的焦点坐标为(0,1) 故答案为: (0,1) 【点评】本题以抛物线的标准方程为载体,考查抛物线的几何性质,解题的关键是定型与定 量. 12.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于 4 .

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【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题. 【分析】该几何体是四棱锥,底面是直角梯形,一条侧棱垂直底面,根据公式可求体积. 【解答】解:由三视图复原几何体,如图, 它的底面是直角梯形,一条侧棱垂直底面高为 2, 这个几何体的体积: 故答案为 4.

【点评】本题考查三视图、棱锥的体积;考查简单几何体的三视图的运用;培养同学们的空 间想象能力和基本的运算能力. 13.一个球的体积在数值上等于其表面积的 2 倍,则该球半径为 6 . 【考点】球的体积和表面积. 【专题】常规题型;计算题. 【分析】设出球的半径,求出球的体积和表面积,利用相等关系求出球的半径即可. 【解答】解:设球的半径为 r,则球的体积为: .∴R=6. 故答案为:6 【点评】 本题考查球的体积与表面积的计算, 解题的关键是对球的体积公式和表面积公式的 掌握程度,是基础题. ,球的表面积为:4πR2

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14.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x=﹣1 的距离相等, 若机器人接触不到过点 P(﹣1,0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是 k<﹣1 或 k >1 . 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由抛物线的定义,求出机器人的轨迹方程,过点 P(﹣1,0)且斜率为 k 的直线方 程为 y=k(x+1) ,代入 y2=4x,利用判别式,即可求出 k 的取值范围. 【解答】解:由抛物线的定义可知,机器人的轨迹方程为 y2=4x, 过点 P(﹣1,0)且斜率为 k 的直线方程为 y=k(x+1) , 2 2 2 2 2 y =4x k x + 2k 4 x+k =0 代入 ,可得 ( ﹣ ) , ∵机器人接触不到过点 P(﹣1,0)且斜率为 k 的直线, ∴△=(2k2﹣4)2﹣4k4<0, ∴k<﹣1 或 k>1. 故答案为:k<﹣1 或 k>1. 【点评】本题考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请写 在答题卡上) 15.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥底面 ABC,BC⊥AC,D、E 分别是 SC、BC 的中 点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 SAB; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 SAC.

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】证明题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)由已知利用中位线的性质可得 DE∥SB,从而判定 DE∥平面 SAB. (Ⅱ)由 SA⊥平面 ABC,可得 BC⊥SA,又 BC⊥AC,且 SA∩AC=A,即可判定 BC⊥平 面 SAC. 【解答】 (本题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)因为 D、E 分别是 SC、BC 的中点, 所以 DE∥SB. 因为 SB?平面 SAB,且 DE?平面 SAB, 所以 DE∥平面 SAB. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅱ)因为 SA⊥平面 ABC,且 BC?平面 ABC, 所以 BC⊥SA. 又因为 BC⊥AC,且 SA∩AC=A.

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所以 BC⊥平面 SAC. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,考查了空间想象 能力和推理论证能力,属于中档题. 16.已知点 A(0,﹣6) ,B(1,﹣5) ,且 D 为线段 AB 的中点. (Ⅰ)求中点 D 的坐标; (Ⅱ)求线段 AB 的垂直平分线的方程. 【考点】待定系数法求直线方程. 【专题】方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)由已知条件求出 AB 的中点坐标为( ,﹣ 求出线段 AB 的垂直平分线的方程. 【解答】解: (Ⅰ)∵A(0,﹣6) ,B(1,﹣5) , ∴AB 的中点 D 坐标为( ,﹣ (Ⅱ)kAB= =1, ) , ) , (Ⅱ)求出 kAB=1,由此能

∴线段 AB 的垂直平分线的斜率是﹣1, ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为: y+ =﹣(x﹣ ) ,

整理,得 x+y+5=0. 【点评】本题考查线段 AB 的垂直平分线的方程的求法,是基础题,解题时要注意中点坐标 公式和直线与直线垂直的性质的合理运用. 17. H 分别是 AB、 AC、 PC、 BC 的中点, 如图, 在三棱锥 P﹣ABC 中,E、F、G、 且 PA=PB, AC=BC. (Ⅰ)证明:AB⊥PC; (Ⅱ)证明:平面 PAB∥平面 FGH.

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【考点】平面与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】整体思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)根据线面垂直的性质定理证明 AB⊥面 PEC,即可证明:AB⊥PC; (Ⅱ)根据面面平行的判定定理即可证明平面 PAB∥平面 FGH. 【解答】解: (Ⅰ)证明:连接 EC,则 EC⊥AB 又∵PA=PB,∴AB⊥PE, ∴AB⊥面 PEC, ∵BC?面 PEC, ∴AB⊥PC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣ (Ⅱ)连结 FH,交于 EC 于 O,连接 GO,则 FH∥AB 在△ PEC 中,GO∥PE, ∵PE∩AB=E,GO∩FH=O ∴平面 PAB∥平面 FGH﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【点评】 本题主要考查空间直线垂直以及面面平行的判断, 根据相应的判定定理是解决本题 的关键. 18.已知直线 l 过点(2,1)和点(4,3) . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)若圆 C 的圆心在直线 l 上,且与 y 轴相切于(0,3)点,求圆 C 的方程. 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)由两点式,可得直线 l 的方程; (Ⅱ)利用圆 C 的圆心在直线 l 上,且与 y 轴相切于(0,3)点,确定圆心坐标与半径,即 可求圆 C 的方程. 【解答】解: (Ⅰ)由两点式,可得 ,即 x﹣y﹣1=0;

(Ⅱ)∵圆 C 的圆心在直线 l 上,且与 y 轴相切于(0,3)点, ∴圆心的纵坐标为 3, ∴横坐标为﹣2,半径为 2 ∴圆 C 的方程为(x+2)2+(y﹣3)2=4. 【点评】本题考查直线、圆的方程,考查学生的计算能力,属于基础题.

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19. 已知:四棱锥 P﹣ABCD,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,∠A=90°,且 AB∥CD, CD,点 F 在线段 PC 上运动.

(1)当 F 为 PC 的中点时,求证:BF∥平面 PAD; (2)设 ,求当 λ 为何值时有 BF⊥CD.

【考点】直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题. 【分析】 (1) 取 CD 中点 E, 连接 EF, 先证明平面 BEF∥平面 PAD, 方法是由 EF∥平面 PAD BE PAD ∥平面 和 ,线面平行推出面面平行,再由面面平行的定义可得所证线面平行 (2)由(1)可知 BE⊥CD,若 BF⊥CD,则定有 CD⊥平面 BEF,而 CD⊥平面 PAD,故 有平面 BEF∥平面 PAD,从而由面面垂直的性质定理可推知 EF∥PD,从而断定 F 为 PC 中 点,即 λ=1 【解答】解: (1)取 CD 中点 E,连接 EF.∵是 PC 中点,∴EF∥PD. ∵EF?平面 PAD,PD?平面 PAD,∴EF∥平面 PAD. ∵ ,AB∥CD,∴DE∥AB 且 DE=AB,∴BE∥AD.

∵BE?平面 PAD,AD?平面 PAD,∴BE∥平面 PAD. ∵EF?平面 BEF,BE?平面 BEF,EF∩BE=E,∴平面 BEF∥平面 PAD. 而 BF?平面 BEF,∴BF∥平面 PAD. (2)当 λ=1,即 F 为 PC 中点时有 BF⊥CD. ∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵∠A=90°,AB∥CD,∴CD⊥AD. ∵PA?平面 PAD,AD?平面 PAD,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD.由 (1)知平面 PAD∥平面 BEF, ∴CD⊥平面 BEF. ∵BF?平面 BEF,∴CD⊥BF. 【点评】本题考察了线面平行的证明方法,及空间垂直关系的证明与应用,解题时要熟练的 在线线、线面、面面关系中互相转换.

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20.已知直线过点 M(﹣3,0) ,且倾斜角为 30°,椭圆 C:

(a>b>0)的左焦

点为 F1(﹣2,0) ,离心率



(Ⅰ)求直线 l 和椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证:直线 l 和椭圆 C 有两个交点; (Ⅲ)设直线 l 和椭圆 C 的两个交点为 A,B,求证:以线段 AB 为直径的圆经过点 F1. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】证明题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)由直线 l 倾斜角为 30°,直线 l 过点 M(﹣3,0) ,能求出直线 l 的方程;由 椭圆的焦点坐标和离心率求出 a,b,由此能求出椭圆 C 的方程. (Ⅱ)直线与椭圆联立,得 2x2+6x+3=0.由此利用根的判别式能证明直线 l 和椭圆 C 有两 个交点. (Ⅲ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由韦达定理推导出 F1A⊥F1B,由此能证明以线段 AB 为直径的圆经过点 F1. 【解答】 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由直线 l 倾斜角为 30°, 知直线 l 的斜率为 得直线 l 的方程为 y= ,又直线 l 过点 M(﹣3,0) , (x+3) ,即 x﹣ =0.

∵椭圆 C:

(a>b>0)的左焦点为 F1(﹣2,0) ,离心率 ,得 a= ,



∴由题意知,c=2,e= ∴b2=6﹣4=2, ∴椭圆 C 的方程为



证明: (Ⅱ)由方程组 △ =62﹣4×2×3=12>0, ∴直线 l 和椭圆 C 有两个交点.

,得 2x2+6x+3=0.

(Ⅲ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=﹣3, ∵ 1, ∴F1A⊥F1B,
第 13 页(共 15 页)



=

=

=

=﹣

∴以线段 AB 为直径的圆经过点 F1. 【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆有两个交点的证明,考查以线段 AB 为 直径的圆经过点 F1 的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、 直线方程等知识点的合理运用.

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2016 年 3 月 14 日

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