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高中数学竞赛讲义10


高中数学竞赛讲义(十) ──直线与圆的方程

一、基础知识 1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何 .首先是通 过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在 一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如 x2+y2=1 是以原点为圆 心的单位圆的方程。 2.求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件的点的集合;(3) 用坐标表示条件,列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围;(5)证明适合方程的解 的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程(实际应用常省略这一步)。 3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800 的正角,叫做它 的倾斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做该直 线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4.直线方程的几种形式:( 1)一般式:Ax+By+C=0;(2)点斜式:y-y0=k(x-x0);(3)

斜截式: y=kx+b ;( 4 )截距式: ;( 5 )两点式: ;( 6)法 线式方程:xcosθ +ysinθ =p(其中θ 为法线倾斜角, |p|为原点到直线的距离);(7)参数

式: (其中θ 为该直线倾斜角),t 的几何意义是定点 P0(x0, y0)到动点 P (x, y)的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号,若 P0P 方向向上则取正,否则取负)。 5.到角与夹角:若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l2 重 合所转过的最小正角叫 l1 到 l2 的角;l1 与 l2 所成的角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。若记

到角为θ ,夹角为α ,则 tanθ = ,tanα = . 6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合,则 l1//l2 的充要条件是 k1=k2;l1 l2 的充要条件是 k1k2=-1。 。

7.两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|=

8.点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式: 。 9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0,则过 l1, l2 交点的直线方程为 A1x+B1y+C1+ λ (A2x+B2y+C2=0 ;由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为 (A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0;与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( ). 10 . 二 元 一 次 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 , 若 直 线 l 方 程 为 Ax+By+C=0. 若 B>0 , 则 Ax+By+C>0 表示的区域为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。 11.解决简单的线性规划问题的一般步骤:(1)确定各变量,并以 x 和 y 表示;(2)写 出线性约束条件和线性目标函数;(3)画出满足约束条件的可行域;(4)求出最优解。 12.圆的标准方程:圆心是点(a, b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其参数

方程为

(θ 为参数)。

13 . 圆 的 一 般方 程 : x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 。 其 圆 心 为 。若点 P(x0, y0)为圆上一点,则过点 P 的切线方程为

,半径为

① 14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分),这条直线叫两 圆的根轴。给定如下三个不同的圆:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别 为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难 证明这三条直线交于一点或者互相平行,这就是著名的蒙日定理。 二、方法与例题 1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化简。 例 1 在Δ ABC 中,AB=AC,∠A=900,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证:∠ ADB=∠CDE。 [证明] 见图 10-1,以 A 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系。设点 B,C 坐 标分别为(0,2a),(2a,0),则点 D 坐标为(a, 0)。直线 BD 方程为 BC 方程为 x+y=2a, , ①直线 AE,所

②设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2,则 k1=-2。因为 BD

以 k1k2=-1. 所以

,所以直线 AE 方程为

,由

解得点 E 坐标为



所以直线 DE 斜率为 因为 k1+k3=0. 0 所以∠BDC+∠EDC=180 ,即∠BDA=∠EDC。 例 2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明:三角形另两 0 条边截圆所得的弧所对的圆心角为 60 。 [证明] 以 A 为原点,平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴,建立直角坐标系见图 10-2,设⊙D 的半径等于 BC 边上的高,并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB,AC 的交点分 别为 E,F,设半径为 r,则直线 AB,AC 的方程分别为 (x-m) +y =r .①设点 E,F 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 入①并消去 y 得 所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。
2 2 2

,

.设⊙D 的方程为 ,分别代

由韦达定理 ,所以 |EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2. 所以|EF|=r。所以∠EDF=600。 2.到角公式的使用。 例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1,C2,正Δ PQR 三顶点在此双曲线上,求证:P,Q,R 不可能在双曲线的同一支上。 [证明] 假设 P,Q,R 在同一支上,不妨设在右侧一支 C1 上,并设 P,Q,R 三点的坐标

分别为

且 0<x1<x2<x3. 记∠RQP=θ ,它是直线 QR 到 PQ 的角,由

假设知直线 QR,PQ 的斜率分别为



由到角公式 所以θ 为钝角,与Δ PQR 为等边三角形矛盾。所以命题成立。 3.代数形式的几何意义。 例 4 求函数 的最大值。

[解] 因为 表示动点 P(x, x2)到两定 点 A(3, 2), B(0, 1)的距离之差,见图 10-3,当 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点 C 与点 P 重合时, f(x)取最大值|AB|= 4.最值问题。 例 5 已知三条直线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0 围成Δ ABC,求 m 为何值时,Δ ABC 的面积有最大值、最小值。 [解]记 l1, l2, l3 的方程分别为①,②,③。在①,③中取 x=-1, y=0,知等式成立,所以 A(1, 0)为 l1 与 l3 的交点;在②,③中取 x=0, y=m+1,等式也成立,所以 B(0, m+1)为 l2 与 l3 的交 点。设 l1, l2 斜率分别为 k1, k2, 若 m 0,则 k1?k2= , SΔ ABC= ,

由点到直线距离公式|AC|=

,|BC|=



所以 SΔ ABC= -m -1≤2m,所以 当 m=1 时,(SΔ ABC)max= 5.线性规划。
2

。因为 2m≤m2+1,所以 SΔ ABC≤ ,所以 SΔ ABC≥ ;当 m=-1 时,(SΔ ABC)min= .

。又因为

例 6 设 x, y 满足不等式组 (1)求点(x, y)所在的平面区域; (2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。

[解] (1)由已知得 或 解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示,其中各直线方程如图所示。AB:y=2x-5;CD: y=-2x+1;AD:x+y=1;BC:x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距,直线 l 与阴影相交,因为 a>-1,所以它过顶点 C 时,f(x, y)最大,C 点坐标为(-3,7),于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果-1<a≤2,则 l 通过 点 A(2,-1)时,f(x, y)最小,此时值为-2a-1;如果 a>2,则 l 通过 B(3,1)时,f(x, y)取最 小值为-3a+1. 6.参数方程的应用。 例 7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点,在该直线上取 P 点,使 P 到 直线 y=2 的距离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。

[解] 设直线 OP 的参数方程为 (t 参数)。 2 代入已知圆的方程得 t -t?2sinα =0. 所以 t=0 或 t=2sinα 。所以|OQ|=2|sinα |,而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα |,而|PM|=|2-tsinα |. 所以|t-2sinα |=|2-tsinα |. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sinα =-1. 2 2 当 t=±2 时,轨迹方程为 x +y =4;当 sinα =1 时,轨迹方程为 x=0. 7.与圆有关的问题。 例 8 点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M 是这条垂线上的动 点,以 A 为圆心,AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个圆的切线,确定Δ AT1T2 垂心 的轨迹。 [解] 见图 10-6,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,H 为 OM 与圆的交点,N 为 T1T2 与 OM 的交点,记 BC=1。 以 A 为圆心的圆方程为 x +y =16,连结 OT1,OT2。因为 OT2 同理 OT1//HT2,又 OT1=OT2,所以 OT1HT2 是菱形。所以 2ON=OH。 又因为 OM T1T2,OT1 MT1,所以
2 2

MT2,T1H

MT2,所以 OT2//HT1,

ON?OM。设点 H 坐标为(x,y)。

点 M 坐标为(5, b),则点 N 坐标为

,将坐标代入

=ON?OM,再由



在 AB 上取点 K,使 AK= AB,所求轨迹是以 K 为圆心,AK 为半径的圆。 例 9 已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x 轴正方向所成的角是 α 和β ,见图 10-7,求证:sin(α +β )是定值。 [证明] 过 D 作 OD , AB 于 D。则直线 OD 的倾斜角为 ,因为 OD AB,所以 2?

所以 。所以 例 10 已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、 最小值。 [解] 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系,设点 A,B 的坐标分 别为 A(cosα ,sinα ),B(cosα ,-sinα ),由题设|AD|=|AB|=2sinα ,这里不妨设 A 在 x 轴上 方,则α ∈(0,π ).由对称性可设点 D 在点 A 的右侧(否则将整个图形关于 y 轴作对称即可), 从而点 D 坐标为(cosα +2sinα ,sinα ), 所以|OD|=

=

因为

,所以

当 时,|OD|max= +1;当 时,|OD|min= 例 11 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线上,并 求这一系列圆的公切线的方程。

[证明] 由

消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上。设公切

线方程为 y=kx+b,则由相切有 2|m|= 3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0 对一切 m≠0 成立

,对一切 m≠0 成立。即(-4k-

所以 即 当 k 不存在时直线为 x=1。所以公切线方程 y= 和 x=1. 三、基础训练题 1.已知两点 A(-3,4)和 B(3,2),过点 P(2,-1)的直线与线段 AB 有公共点,则该直线的倾斜 角的取值范围是__________. 2.已知θ ∈[0,π ],则 的取值范围是__________. 3.三条直线 2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0 围成一个三角形,当点 P(x, y)在此三角形边上或 内部运动时,2x+y 的取值范围是__________. 4.若三条直线 4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4 能围成三角形,则 m 的范围是__________. 5 .若 λ ∈ R 。直线 (2+ λ )x-(1+ λ )y-2(3+2 λ )=0 与点 P(-2,2) 的距离为 d ,比较大小: d__________ . 6.一圆经过 A(4,2), B(-1,3)两点,且在两个坐标轴上的四个截距的和为 14,则此圆的方程 为__________. 7.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆 C: 2 2 x +y -4x-4y+7=0 相切,则光线 l 所在的方程为__________. 8.D2=4F 且 E≠0 是圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的__________条件. 9.方程|x|-1= 表示的曲线是__________. 10.已知点 M 到点 A(1,0),B(a,2)及到 y 轴的距离都相等,若这样的点 M 恰好有 一个,则 a 可能值的个数为__________. 11.已知函数 S=x+y,变量 x, y 满足条件 y2-2x≤0 和 2x+y≤2,试求 S 的最大值和最小值。 12.A,B 是 x 轴正半轴上两点,OA=a,OB=b(a<b),M 是 y 轴正半轴上的动点。 (1)求∠AMB 的最大值; (2)当∠AMB 取最大值时,求 OM 长; (3)当∠AMB 取最大值时,求过 A,B,M 三点的圆的半径。 四、高考水平训练题 1.已知Δ ABC 的顶点 A(3,4),重心 G(1,1),顶点 B 在第二象限,垂心在原点 O,则点 B 的坐标为__________. 2.把直线 3.M 是直线 l: 绕点(-1,2)旋转 30 得到的直线方程为__________. 上一动点,过 M 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 A,B,则在
0

线段 AB 上满足 的点 P 的轨迹方程为__________. 2 2 2 2 4.以相交两圆 C1:x +y +4x+y+1=0 及 C2:x +y +2x+2y+1=0 的公共弦为直径的圆的方程为 __________. 5.已知 M={(x,y)|y= ,a>0},N={(x,y)|(x-1) +(ya 的最大值与最小值的和是__________.
2 2 2

) =a ,a>0}.M

2

2

N

, OQ , 则

6 . 圆 x +y +x-6y+m=0 与 直 线 x+2y-3=0 交 于 P , Q 两 点 , O 为 原 点 , OP m=__________.

7 . 已 知 对 于 圆 x +(y-1) =1 上 任 意 一 点 P(x,y) , 使 x+y+m ≥ 0 恒 成 立 , m 范 围 是 __________. 2 2 8.当 a 为不等于 1 的任何实数时,圆 x -2ax+y +2(a-2)y+2=0 均与直线 l 相切,则直线 l 的方程为__________. 9.在Δ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 lgsinA,lgsinB, lgsinC 2 2 成等差数列,那么直线 xsin A+ysinA=a 与直线 xsin B+ysinC=c 的位置关系是__________. 10.设 A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是坐标平面 xOy 上的

2

2

点集,C= 所围成图形的面积是__________. 2 2 2 2 11.求圆 C1:x +y +2x+6y+9=0 与圆 C2:x +y -6x+2y+1=0 的公切线方程。 12.设集合 L={直线 l 与直线 y=2x 相交,且以交点的横坐标为斜率}。 (1)点(-2,2)到 L 中的哪条直线的距离最小? (2)设 a∈R+,点 P(-2, a)到 L 中的直线的距离的最小值设为 dmin,求 dmin 的表达式。 13.已知圆 C:x2+y2-6x-8y=0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A,点 B 是动点,且∠OBA=900, OB 交⊙C 于 M,AB 交⊙C 于 N。求 MN 的中点 P 的轨迹。 五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若 a 为无理数,过点(a,0)的所 有直线中,每条直线上至少存在两个有理点的直线有_______条。 2.等腰Δ ABC 的底边 BC 在直线 x+y=0 上,顶点 A(2,3),如果它的一腰平行于直线 x4y+2=0,则另一腰 AC 所在的直线方程为__________. 3 .若方程 2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0 表示表示条互相垂直的直线,则 m=__________. 4.直线 x+7y-5=0 分圆 x2+y2=1 所成的两部分弧长之差的绝对值是__________. 5.直线 y=kx-1 与曲线 y= 有交点,则 k 的取值范围是__________. 6.经过点 A(0,5)且与直线 x-2y=0, 2x+y=0 都相切的圆方程为__________. 7 . 在 直 角 坐 标 平面 上 ,同 时 满 足 条 件 : y ≤ 3x, y ≥ __________. x, x+y ≤ 100 的 整点个 数 是

8.平面上的整点到直线 的距离中的最小值是__________. 2 9.y=lg(10-mx )的定义域为 R,直线 y=xsin(arctanm)+10 的倾斜角为__________.

10.已知 f(x)=x -6x+5,满足 的点(x,y)构成图形的面积为__________. 11.已知在Δ ABC 边上作匀速运动的点 D,E,F,在 t=0 时分别从 A,B,C 出发,各以一 定速度向 B,C,A 前进,当时刻 t=1 时,分别到达 B,C,A。 (1)证明:运动过程中Δ DEF 的重心不变; (2)当Δ DEF 面积取得最小值时,其值是Δ ABC 面积的多少倍? 2 2 12.已知矩形 ABCD,点 C(4,4),点 A 在圆 O:x +y =9(x>0,y>0)上移动,且 AB,AD 两边 始终分别平行于 x 轴、y 轴。求矩形 ABCD 面积的最小值,以及取得最小值时点 A 的坐标。 2 2 13.已知直线 l: y=x+b 和圆 C:x +y +2y=0 相交于不同两点 A,B,点 P 在直线 l 上,且 满足|PA|?|PB|=2,当 b 变化时,求点 P 的轨迹方程。 六、联赛二试水平训练题 2 2 1.设点 P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20 上任意一点,求 x -xy+y 的最大值、最小值。

2

2.给定矩形Ⅰ(长为 b,宽为 a),矩形Ⅱ(长为 c、宽为 d),其中 a<d<c<b,求证: 2 2 2 2 2 矩形Ⅰ能够放入矩形Ⅱ的充要条件是:(ac-bd) +(ad-bc) ≥(a -b ) . 3.在直角坐标平面内给定凸五边形 ABCDE,它的顶点都是整点,求证:见图 10-8,A1,B1, C1,D1,E1 构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。 4.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点,试证:存在一个同心圆的集合,使 得:(1)每个整点都在此集合的某一圆周上;(2)此集合的每个圆周上,有且只有一个整点。 5.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多条直线 l1,l2,…,ln,…的直线族,它满足条 件:(1)点(1,1)∈ln,n=1,2,3,…;(2)kn+1≥an-bn,其中 kn+1 是 ln+1 的斜率,an 和 bn 分别 是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距,n=1,2,3,…;(3)knkn+1≥0, n=1,2,3,….并证明你的结论。 6.在坐标平面内,一圆交 x 轴正半径于 R,S,过原点的直线 l1,l2 都与此圆相交,l1 交圆 于 A,B,l2 交圆于 D,C,直线 AC,BD 分别交 x 轴正半轴于 P,Q,求证:



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