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湖北省武汉外国语学校2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题


武汉外国语学校 2014—2015 学年度上学期期末考试

高二数学试题(理)试题
考试时间:2015 年 2 月 3 日上午 10:20-12:20 试卷满分:150 分

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知复合命题 p ? (?q ) 是真命题,则下列命题中也是真命题的是 ( ) p ? q p ? q (

? p ) ? q ( ? p ) ? ( ? q ) A. B. C. D. 2. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽
样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是 p1 , p2 , p3 , 则 ( A. p1 ? p2 ? p3 B. p2 ? p3 ? p1 C. p1 ? p3 ? p2 D. p1 ? p2 ? p3 )

3.质点在数轴上区间 ? 0, 2 ? 上运动,假定质点出现在区间各点处的概率相等,那么质点落在区 间 ? 0,1? 上的概率为( A. )

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.以上都不对 )

4.若在 ( x ? 1) 4 ( ax ? 1) 的展开式中, x 4 的系数为 15,则 a 的值为( A.-4 B.

5 2

C.4

D.

7 2
180 74

5.从某高中随机选取 5 名高二男生,其身高和体重的数据如下表所示: 160 165 170 175 身高 x(cm) 63 66 70 72 体重 y(kg) 为( ) A.70.09kg

根据上表可得线性回归方程 y ? 0.56 x ? a ,据此模型预报身高为 172cm 的高三男生的体重
B.70.12kg C.70.55kg D.71.05kg

? ? ? ? 6.已知 a ? (? ? 1, 0, 2), b ? (6, 2 ? ? 1, 2? ) ,若 a / / b ,则 ? 与 ? 的值可以是(
A. 2,

)
D. 2,2

1 2

B. ? ,

1 1 3 2
)

C. ? 3, 2

7.双曲线 y 2 ? 3 x 2 ? 9 的渐近线方程为( A. x ? 3 y ? 0 B. x ? 3 y ? 0

C. 3 x ? y ? 0

D. 3 x ? y ? 0

8.执行如图所示的程序框图,输出的 T=( A.29 B.44

)
C.52 D.62

1

9.已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且 ?F1PF2 ? 双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A. ) D.2

?
3

,则椭圆和

4 3 3

B.

2 3 3

C.3

10. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位 女生相邻,则不同排法的种数是( A. 360 B. 288 ) C. 216 D. 96

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
11. 为了调查城市 PM2.5 的值,按地域把长三角地区 36 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的 城市数分别为 6,12,18,若用分层抽样的方法抽取 12 个城市,则乙组中应抽取的城市数为 ____. 12. 从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加学校会议,则甲被选择中的概率是 __. 13. 过点(-2,3)且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为____. 14. (1 ?

x ) 20 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为___.
x2 y2 ? ? 1( a ?b ? 0) 的右焦点为 F1 (1, 0) ,离心率为 e,设 A,B 为椭圆上关于 a 2 b2

15.已知椭圆

原点对称的两点, AF1 的中点为 M, BF1 的中点为 N,原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上, 设直线 AB 的斜率为 k,若 0 ? k ?

3 ,则 e 的取值范围为____.

三、 解答题( 共 75 分.)
16.(12 分)已知命题 P : 实数 x 满足 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足 x ? 2 ? m ( m ? 0) (1)当 m=3 时,若“p 且 q”为真,求实数 x 的取值范围;
2

(2)若“非 p”是“非 q”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

17.(12 分)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随即在这两条流水线上 各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量值落在 的产品为合格

品,否则为不合格品.图1是甲流水线样本的频率分布直方图,表 1 是乙流水线样本频数分 布表.

图 1: (甲流水线样本频率分布直方图)

表1: (乙流水线样本频数分布表)

(1)若以频率作为概率,试估计从甲流水线上任取 5 件产品,求其中合格品的件数 X 的数学 期望; (2)从乙流水线样本的不合格品中任取 2 件,求其中超过合格品重量的件数 Y 的分布列;

(3)由以上统计数据完成下面 条自动包装流水线的选择有关”. 甲流水线 合格品 不合格品 合 计

列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两

乙流水线

合计

附:下面的临界值表供参考: 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

3

(参考公式:

,其中

)

18.(12 分)如图,在空间直角坐标系 O-xyz 中,正四棱锥 P-ABCD 的侧棱长与底边长都为 BD 上,且 (1)求证:MN⊥AD; (2)求 MN 与平面 PAD 所成角的正弦值. . , 点 M, N 分别在线段 PA,

19.(12 分)为了解甲、乙两厂产品的质量,从两厂生产的产品中分别随机抽取各 10 件样品, 测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).如图是测量数据的茎叶图: 规定:当产品中的此种元素含量不小于 18 毫克时,该产品为优等品. (1)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率; (2)从乙厂抽出的上述 10 件样品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件样品中优等品数 ? 的分布 列及其数学期望 E (? ) ; (3)从甲厂的 10 件样品中有放回的随机抽取 3 件,也从乙厂的 10 件样品中有放回的随机抽 取 3 件,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率.

4

20.(13 分)已知抛物线 C1 : y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上,
2

(1) 求抛物线 C1 的标准方程; (2) 过点 F 的直线交抛物线 C1 于 A, B 两不同点, 交 y 轴于点 N, 已知 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF , 求 ?1 ? ?2 的值.

??? ?

???? ??? ?

??? ?

x2 y2 ? ? 1( a ?b ? 0) 的左顶点 A 和上顶点 a 2 b2 10 D,椭圆 C 的右顶点为 B,点 E 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AE、BE 与直线 l : x ? 3
21.(14 分)已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C : 分别交于 M、N 两点。 (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 求线段 MN 长度的最小值; (3) 若线段 MN 的长度最小时,椭圆 C 上是否存在这样的点 T,使得 ?TBE 的面积为 在,确定点 T 的个数;若不存在,请说明理由。

1 ?若存 5

5

武汉外国语学校 2014—2015 学年度上学期期末考试

高二数学试题(理)试题答案
考试时间:2015 年 2 月 3 日上午 10:20-12:20 试卷满分:150 分

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知复合命题 p ? (?q ) 是真命题,则下列命题中也是真命题的是 ( B ) p ? q p ? q ( ? p ) ? q ( ? p ) ? ( ? q ) A. B. C. D. 2. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽
样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是 p1 , p2 , p3 , 则 (D A. p1 ? p2 ? p3 B. p2 ? p3 ? p1 C. p1 ? p3 ? p2 D. p1 ? p2 ? p3 )

3.质点在数轴上区间 ? 0, 2 ? 上运动,假定质点出现在区间各点处的概率相等,那么质点落在区 间 ? 0,1? 上的概率为(C A. ) C.

1 4

B.

1 3

1 2

D.以上都不对 C )

4.若在 ( x ? 1) 4 ( ax ? 1) 的展开式中, x 4 的系数为 15,则 a 的值为( A.-4 B.

5 2

C.4

D.

7 2
180 74

5.从某高中随机选取 5 名高二男生,其身高和体重的数据如下表所示: 160 165 170 175 身高 x(cm) 63 66 70 72 体重 y(kg) 为( B ) A.70.09kg

根据上表可得线性回归方程 y ? 0.56 x ? a ,据此模型预报身高为 172cm 的高三男生的体重

? ? ? ? 6.已知 a ? (? ? 1, 0, 2), b ? (6, 2 ? ? 1, 2? ) ,若 a / / b ,则 ? 与 ? 的值可以是( A ) 1 1 1 A. 2, B. ? , C. ? 3, 2 D. 2,2 2 3 2 7.双曲线 y 2 ? 3 x 2 ? 9 的渐近线方程为( C )
A. x ? 3 y ? 0 B. x ? 3 y ? 0 C. 3 x ? y ? 0

B.70.12kg

C.70.55kg

D.71.05kg

D. 3 x ? y ? 0

8.执行如图所示的程序框图,输出的 T=( A A.29 B.44

)
C.52 D.62

6

9.已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且 ?F1PF2 ? 和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A ) A.

?
3

,则椭圆

4 3 3

B.

2 3 3

C.3

D.2

10. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位 女生相邻,则不同排法的种数是(B A. 360 B. 288 ) D. 96

C. 216

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
11.为了调查城市 PM2.5 的值,按地域把长三角地区 36 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的 城市数分别为 6,12,18,若用分层抽样的方法抽取 12 个城市,则乙组中应抽取的城市数为 ___4_. 12.从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加学校会议,则甲被选择中的概率是_

1 2 _.
13. 过点(-2,3)且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为__ 2 x ? y ? 1 ? 0 __. 14. (1 ?

x ) 20 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为_0___.
x2 y2 ? ? 1( a ?b ? 0) 的右焦点为 F1 (1, 0) ,离心率为 e,设 A,B 为椭圆上关于 a 2 b2

15.已知椭圆

原点对称的两点, AF1 的中点为 M, BF1 的中点为 N,原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上,
7

设直线 AB 的斜率为 k,若 0 ? k ?

3 ,则 e 的取值范围为_ [ 3 ? 1,1) ___.

三、 解答题( 共 75 分.)
2 x ? 2 ? m( m ? 0) 16.(12 分)已知命题 P : 实数 x 满足 x ? 2 x ? 8 ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足

(1)当 m=3 时,若“p 且 q”为真,求实数 x 的取值范围; (2)若“非 p”是“非 q”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 解: (1)若 p 真: ?2 ? x ? 4 ;当 m ? 3 时,若 q 真: ?1 ? x ? 5 ∵ p 且 q 为真 ∴?

(2)∵ ?p 是 ?q 的必要不充分条件 ∴ p 是 q 的充分不必要条件 ∵若 q 真: 2 ? m ? x ? 2 ? m

??2 ? x ? 4 ? ?1 ? x ? 5

∴实数 x 的取值范围为: [ ?1, 4]

? 2 ? m ? ?2 且等号不同时取得 (不写“且等号不同时取得” ,写检验也可) ?4?2?m ∴ m ? 4.
∴? 17.(12 分)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随即在这两条流水线上 各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量值落在 的产品为合格

品,否则为不合格品.图1是甲流水线样本的频率分布直方图,表 1 是乙流水线样本频数分 布表.

图 1: (甲流水线样本频率分布直方图)

表1: (乙流水线样本频数分布表)

(1)若以频率作为概率,试估计从甲流水线上任取 5 件产品,求其中合格品的件数 X 的数学期 望; (2)从乙流水线样本的不合格品中任取 2 件,求其中超过合格品重量的件数 Y 的分布列;

(3)由以上统计数据完成下面 条自动包装流水线的选择有关”. 甲流水线

列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两

乙流水线

合计

8

合格品 不合格品 合 计

附:下面的临界值表供参考: 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

(参考公式:

,其中

)

【解析】(1)由图 1 知,甲样本中合格品数为(0.06+0.09+0.03)×5×40=36, 故合格品的频率为 ,

据此可估计从甲流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率 P=0.9, 则 X~(5,0.9),EX=4.5-(2)由表 1 知乙流水线样本中不合格品共 10 个,超过合格品重量的有 4 件;

则 Y 的取值为 0,1,2;且

,于是有:

∴Y 的分布列为 Y P 0 1 2

(3)2×2 列联表如下: 甲流水线 合格品 不合格品 合 计 a=30 c=10 40 = 乙流水线 b=36 d=4 40 66 14 n=80 >2.706 合计

∴有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关-

9

18. (12 分) 如图, 在空间直角坐标系 O-xyz 中, 正四棱锥 P-ABCD 的侧棱长与底边长都为



点 M,N 分别在线段 PA,BD 上,且 (1)求证:MN⊥AD; (2)求 MN 与平面 PAD 所成角的正弦值.



解: (1)因为正四棱锥 则 则

的侧棱长与底边长都为

.

(2)设平面

的法向量为

由 取 得



7分

则 设 则 与平面 所成角为 所以 与平面 所成角的正弦值为

19.(12 分)为了解甲、乙两厂产品的质量,从两厂生产的产品中分别随机抽取各 10 件样品, 测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).如图是测量数据的茎叶图: 规定:当产品中的此种元素含量不小于 18 毫克时,该产品为优等品. (1)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率; (2)从乙厂抽出的上述 10 件样品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件样品中优等品数 ? 的分布

10

列及其数学期望 E (? ) ; (3)从甲厂的 10 件样品中有放回的随机抽取 3 件,也从乙厂的 10 件样品中有放回的随机抽 取 3 件,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率.

解:(1)甲厂抽取的样本中优等品有 6 件,优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有 5 件,优等品率为 (2) 的取值为 0, 1, 2, 3

的分布列为

0

1

2

3

的数学期望为 (3) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件包括 2 个事件,即 A=“抽取的优等品数甲厂 2 件, 乙厂 0 件”,B=“抽取的优等品数甲厂 3 件,乙厂 1 件”

抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率为

11

2 20.(13 分)已知抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上,

(1) 求抛物线 C1 的标准方程; (2) 过点 F 的直线交抛物线 C1 于 A, B 两不同点, 交 y 轴于点 N, 已知 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF , 求 ?1 ? ?2 的值. 【解析】:(1)由抛物线 的焦点 在圆 上得:

??? ?

???? ??? ?

??? ?



,∴抛物线

(2)设直线

的方程为

,则



联立方程组

,消去

得:





得:

整理得:



x2 y2 ? ? 1( a ?b ? 0) 的左顶点 A 和上顶点 a 2 b2 10 D,椭圆 C 的右顶点为 B,点 E 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AE、BE 与直线 l : x ? 3
21.(14 分)已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C : 分别交于 M、N 两点。 (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 求线段 MN 长度的最小值; (3) 若线段 MN 的长度最小时,椭圆 C 上是否存在这样的点 T,使得 ?TBE 的面积为 在,确定点 T 的个数;若不存在,请说明理由。

1 ?若存 5

解:(1)由已知得,椭圆 C 的左顶点为

上顶点为

12



故椭圆 C 的方程为



(2)设直线 AE 的方程为

,从而可知 M E

点的坐标为







0



E ( x1 , y1 ) ,则(-2)×


,

从而

得 E(

2 ? 8k 2 4k , ), 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2





所以可得 BE 的方程为

,从而可知 N 点的

坐标为





当且仅当

,即

时等号成立



时,线段 MN 的长度取最小值



(3)由(2)可知,当 MN 取最小值时,

此时

的方程为



E

∴ BE ?

4 2 5
,只须 T 到直线 BE 的距离等于 ,

要使椭圆 C 上存在点 T,使得 ?TBE 的面积等于

所以 T 在平行于 BE 且与 BE 距离等于 设直线 l′:

的直线 l′上。

13

则由

解得









由于

故直线 与椭圆 C 有两个不同的交点







由于 ,故直线 l′与椭圆 C 没有交点 综上所述,当线段 MN 的长度最小时,椭圆上仅存在两个不同的点 T,使得 ?TBE 的面积 等于 。

14


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