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苏州市2015届高考考前指导卷(第8稿)


苏州市 2015 届高考考前指导卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题 .. 卡相应位置上 . ...... 1.满足 {1,3} ? A ? {1,3,5} 的集合A的个数为 ▲ .
2

2.设复数 z ? 1 ? mi (i为虚数单位, m ? R ) ,若 z

? ?2i ,则复数z的虚部为 3.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线的渐近线方程为 y ? ? 曲线的标准方程为 ▲ .

▲ .

1 x ,其一个焦点坐标为(5,0) ,则此双 2

4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1 个球,摸出红球的概率是 0.42,摸出白球 的概率是 0.28,则摸出黑球的概率是 ▲ . 5.右图是一个算法流程图,则输出k的值是 ▲ .
开始 k←1 S←40 k←k+1 S←S-2k S≤0 Y 输出 k 结束 (第 5 题图) N

? 则函数f(x) 6. 已知函数f(x)= 2sin(2? x ? ) (ω>0)的最大值与最小正周期相同, 4
在[-1,1]上的单调增区间为 ▲ .

7.已知正三棱锥的底面边长为 3,高为h,若正三棱锥的侧面积与体积的比为

4 3 ,则正三棱锥的高为 ▲ .
8.设等差数列 ?an ? 的前 n 和为 S n ,且 ? 值组成的集合为 ▲ .

? Sn ? ? 是公差为 d 的等差数列,则 d 的 ? an ?

9.直线 l : x ? y ? t 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 20 交于点 A, B ,且 S△OAB 为整数.则所有满足条件的正整数 t 的和 为 ▲ .

10.已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1, 2)处的切线恰好与直线 3x+y=0 平行,若f(x)在区间[t,t+1] 上单调递减,则实数t的取值范围是 11.已知函数 f ? x ? ? ▲ . ▲ .

ex ? 1 ? x ? 1 ,若f(a) ? f(a?1) ? 2,则实数a的取值范围是 ex ? 1

D P

C

12.如图,边长为 2 的正方形ABCD的内切圆与AB切于M,与BC切于N,P为 ???? ???? 圆周上任意一点,则 AN ? MP 的最大值为 ▲ .

N

1 1 1 ? ? ,则 xy 的最小值为 ▲ . 13.设 x, y 均为正实数,且 1+x 2 ? y 3

A

(第 12 题图)

M

B

14 .已知函数 f ? x ? ? x 2 ? a ? a ? 0 ? ,若恰有两组解 ? m, n ? ,使得 f ? x ? 在定义域 ? m, n ? 上的值域也为

? m, n ? ,则实数 a 的取值范围为

▲ .
1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必要的文字说明、 ........ 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 m=(sin x,-1),n=(cos x, 3). sin x+cos x (1)当m∥n时,求 的值; 3sin x-2cos x (2)已知在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 3c=2asin(A+B), 函数 f(x)=(m+n)·m,求 f ( B ?

? ) 的取值范围. 8

16. (本小题满分 14 分) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面

ABCD 为 梯 形 ,

P

AB // CD, AD ? 2 , DC ? 3 , AB ? 4 , ?DAB ? 90? ,平面 PDC ? 平面 ABCD , PD ? 4,?PDC ? 60? , M , N 分 别 是 AB, CD 上 的 点 , 且 AM ? DN ? 2 .求证: (1) MN // 平面 PAD ; (2) 平面 PMC ? 平面 PNB .

D

N

C

A

M

B

(第 16 题图)

2

17. (本小题满分 14 分) 家用电脑桌的桌面采用直线与弧线相结合,前部采用弧线,后部改用直线型. 现将电脑桌靠在墙边,

60 ( 5 ≤ x ≤12 ) , 键 盘 抽屉 所 在 直 线 x x ? y ? 16 ? 0 与弧线交于 A、 B 两点.拟在弧线 EF 上选取一点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线, 垂足为 C 、 D. 四 边形 OCPD ( O 为坐标原点)与三角形 OAB 的公共区域内放置 y 电脑.设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,公共部分面积为 S . (单位:分米) E ⑴求 S 关于 x 的表达式; ⑵求 S 的最大值及此时 x 的值.
沿 墙 面 建立如 图 所 示的直 角 坐 标系. 弧 线 EF 的 方 程 为 y ?

A

D

P

B

F x

O

C

第(18)题

(本小题满分 16 分) 18.

x2 y2 3 的椭圆 T: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个切点为 M ? 2,0 ? ,O 为坐标原点. a b 2 ⑴求椭圆 T 与圆 O 的方程; y ⑵过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 , l2 与两曲线分别交于点 A,C 与点 B,D(均不重合) . ???? ???? ? ???? ???? ? ①若 MB ? MD ? 3MA ? MC ,求 l1 与 l2 的方程; C ②若 AB 与 CD 相交于点 P,求证:点 P 在定直线上.
如图,圆 O 与离心率为
O A M B D P x

(第 18 题图)

3

19. (本小题满分 16 分)
已知数列 {an } 中, a1 ? 3 , a2 ? 5 ,其前 n 项和为 S n 满足 S n ? S n ? 2 ? 2 S n ?1 ? 2 (1)试求数列 {an } 的通项公式;
n ?1

( n≥3, n ? N ) .
*

2n ?1 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和. an ? an ?1 1 ? ①若 n0 ? N ,不等式 Tn ? 对一切 n≥ n0 的自然数都成立,求 n0 的最小值; 9 ? 1? ? ②证明:对任意给定的 m ? ? 0 , ? ,均存在 n0 ? N ,使得当 n≥ n0 时, Tn ? m 恒成立. ? 6?
(2)令 bn ?

20. (本小题满分 16 分)
已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? a x ? . x (1)当 a ? b ? 1 时,求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (2)当 a ? 1,b ? ? 1 时,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小; (3)若任意的a ? 0,总存在正数x 0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数b的取值范围.

b

4

苏州市 2015 届高考考前指导卷参考答案
一、填空题

1 .4

2.-1
9.8

3.

x2 y 2 ? ?1 20 5

4.0.3
? 1 ? 11. ? ? , ?? ? ? 2 ?

5.6

1 3 6.?-4,4?

?

?

7.

1 2

? 1? 8. ?1, ? ? 2?

10.[?2, ?1]

12. 5 ? 1

13.11+6 2

14. ?1, 2 ?

二、解答题 15.解 (1)由 m∥n,可得 3sin x=-cos x,

1 -3+1 sin x + cos x tan x + 1 1 2 于是tan x=-3,∴ = = =-9. 1 3sin x-2cos x 3tan x-2 3×?-3?-2

?

?

(2)在△ABC 中 A+B=π-C,于是 sin(A+B)=sin C, 由正弦定理,得 3sin C=2sin Asin C, 3 ∵sin C≠0,∴sin A= 2 .又△ABC为锐角三角形, π π π ∴A=3,于是6<B<2. ∵f(x)=(m+n)·m=(sinx+cosx,2)·(sinx,-1)=sin2x+sinxcos x-2 1-cos2x 1 π 3 2 = +2sin2x-2= 2 sin?2x-4?-2, 2 ? ? π π 3 ? π 2 2 3 π π ∴ f ( B ? ) = 2 sin?2?B+8?-4?-2= 2 sin 2B-2.由6<B<2,得3<2B<π, ? ? ? ? 8

3 2 3 2 3 ∴0<sin 2B≤1,-2< 2 sin 2B-2≤ 2 -2,

? ) ∈ (? 3 , 2 ? 3 ] . 8 2 2 2 // AM ,∴ 四边形 AMND 为平行四边形, 16.证明(1)∵ DN ?
即 f (B ? ∴ MN // AD . ∵ MN ? / 平面 PAD , AD ? 平面 PAD ,∴ MN // 平面 PAD .
2 2 2

(2)在 △PDN 中, PN ? PD ? DN ? 2 ? PD ? DN ? cos 60? ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ?
2 2

1 2

? 12 .

故 PN ? DN ? 12 ? 4 ? 16 ? PD , ∴ PN ? DC 又∵ 平面 PDC ? 平面 ABCD , CD ? 平面 PDC ? 平面 ABCD , PC ? 平面 PDC , ∴ PN ? 平面 ABCD . ∵ MC ? 平面 ABCD , ∴ PN ? MC . ∵ MN // AD, ?DAB ? ?ADC ? 90? ,∴ ?CNM ? ?NMB ? 90? .
2 2 2

2 NM 2 ∴ ?NMC ? ?MBN .又 ?MBN ? ?BNM ? 90? , ∴ ?NMC ? ?BNM ? 90? ,即 BN ? MC . 又∵ PN ? BN ? N , PN , BN ? 平面 PNB ,∴ MC ? 平面 PNB . ∵ MC ? 平面 PMC ,∴ 平面 PMC ? 平面 PNB .
17.解解: (1)由题设,得 A ? 6,10 ? , B ?10,6 ? ,
当 5 ≤ x ≤ 6 时, S ?

在 Rt ?NMC 中, tan ?NMC ?

NC

?

1

?

2

;在 Rt ?NMB 中, tan ?MBN ?

NM MB

?

2 2



8 2 x , 15
5

当 6 ? x ? 10 时, S ? 60 ? 当 10 ≤ x ≤12 时, S ?

3 ? 2 3600 ? ?x ? 2 ?, 10 ? x ?

1920 , x2

?8 2 5≤ x ≤ 6, ?15 x , ? 3? 3600 ? ? 故 S ? ?60 ? ? x 2 ? 2 ? , 6 ? x ? 10, 10 ? x ? ? ?1920 10 ≤ x ≤ 12. ? 2 , ? x 8 96 (2)易知当 5 ≤ x ≤ 6 时, S ? x 2 为单调递增函数, S ≤ , 15 5 1920 96 当 10 ≤ x ≤12 时, S ? 2 为单调递减函数, S ≤ , 5 x
当 6 ? x ? 10 时, S ? 60 ? 时取得最大值. 综上: S 的最大值为 24 平方分米,此时 x ? 2 15 分米.

3 ? 2 3600 ? 3 2 3600 x ? 2 ? 24 ,当且仅当 x ? 2 15 ? x ? 2 ? ≤ 60 ? 10 ? x ? 5 x

18.解 (1)由题意知

c 3 ? , a ? 2 ,∴ c ? 3 , b ? 1 , a 2 x2 可知椭圆 T 的方程为 ? y 2 ? 1 ,圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 . 4
(2)设 l1 : y ? k ? x ? 2 ? ,由由 ?

? y ? k ? x ? 2 ?,
2 2 ? x ? 4 y ? 4,

解得点 A ?

? 8k 2 ? 2 ?4k ? , . 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?

由?

? y ? k ? x ? 2 ?,
2 2 ? x ? y ? 4,

解得点 C ?

? 2k 2 ? 2 ?4k ? , . 2 2 ? ? 1? k 1? k ? ? 8 ? 2k 2 4k ? ? 2 ? 2k 2 4k ? 1 , 2 D , ,可得点 B ? 2 , . ? ? 2 2 ? k ? k ?4 k ?4? ? 1? k 1? k ?

把点 A,C 坐标中的 k 换成 ?

k2 3 = ,解得 k 2 ? 2 ,∴ l1 的方程为 y ? 2 ? x ? 2 ? , l2 的方程 2 k ? 4 1+4k 2 2 2 为y?? ? x ? 2 ? 或 l1 的方程为 y ? ? 2 ? x ? 2 ? , l2 的方程为 y ? ? x ? 2 ? . 2 2
②直线 AB 的方程为 y ?

???? ???? ? ???? ???? ? ①∵ MB ? MD ? 3MA ? MC ,得

? ?4k 4k 5k 8k 2 ? 2 ? ,令 x ? ?2 ,得 y ? . ? x ? 2 2 ? 2 ? 1? k2 1 ? 4k 1 ? 4k ? 4 ?1 ? k ? ?

直线 CD 的方程为 y ? 所以交点 P ? ?2,

2k ?4k x ,令 x ? ?2 ,得 y ? . 2 1? k 1? k2

? ?

?4k ? ? 在定直线 x ? ?2 上. 1? k2 ?
6

19.解(1)由 S n ? S n ? 2 ? 2 S n ?1 ? 2
所以 an ? an ?1 ? 2 又 a2 ? a1 ? 2 ,
n ?1

n ?1

( n≥ 3 ) ,得 S n ? S n ?1 ? S n ?1 ? S n ? 2 ? 2
n ?1

n ?1

( n ? 3) ,

( n≥ 3 ) , 即 an ? an ?1 ? 2

( n≥ 3 ) ,

所以 an ? (an ? an ?1 ) ? ( an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 22 ? 2 ? 3 ?
(2) bn ?

2n ?1 a n ? a n ?1

2(1 ? 2n ?1 ) ? 3 ? 2n ? 1 . 1? 2 2 n ?1 1? 1 1 ? ? n ? ? n ? n ?1 ? , n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 1 ? ? 1 ? n ?1 ?? ? ? ? n ?1 ? . ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? n ? 2 ?? 3 5 ? ? 5 9 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ?? 2 ? 3 2 ? 1 ? 1 1 1 2 ①因为 Tn ? ,因此 ? n ?1 ? ,即 2n ?1 ? 8 ,解之得 n ? 2 ,所以 n≥ 3 . 9 3 2 ?1 9 故 n0 的最小值为 3.
所以, Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1?1 1 ? 2n ②因为 Tn ? ? ? n ?1 ? 0 ,所以 Tn 随着 n 的增大而增大. ? ,而 Tn ?1 ? Tn ? n ?1 2 ? 3 2 ?1? (2 ? 1)(2 n ? 2 ? 1) 1?1 1 ? 1 ? 6m 1 若 Tn ? m ,则 ? ? n ?1 , ? n ?1 ? ? m ,化简得 3 2 ?1 2 ? 3 2 ?1? 3 ? 1? n ?1 因为 m ? ? 0 , ? ,所以 1 ? 6m ? 0 ,所以 2 ? ? 1, 1 ? 6m ? 6? ? 3 ? n ? log 2 ? ? 1? ? 1 , ? m 1 6 ? ? 1 ? 3 ? ? 1? ? 1 ? 1 ,即 0 ? m ? 时,取 n0 ? 1 即可. 当 log 2 ? 15 ? 1 ? 6m ? 1 1 ? 3 ? ? 3 ? ? 1? ? 1 的整数部分为 p , ? 1? ? 1≥1 ,即 ≤ m ? 时,记 log 2 ? 当 log 2 ? ? m 1 6 15 6 ? ? ? 1 ? 6m ? 取 n0 ? p ? 1 即可.
综上可知,对任意给定的 m ? ? 0 ,

? ?

1? ? (2)中的 Tn ? m 恒成立. ? ,均存在 n0 ? N ,使得当 n≥ n0 时, 6?

20.解(1) h( x) ? ln x ? x ?

1

1 1 1 2 x ? x ?1 (x ? 0) , h?( x) ? ? ? ? ? x 2 x 2x x x 2x x

?

x ?1 ? 2 2x x

?

2



令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 3 ? 2 2 .

令 h?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 3 ? 2 2 ,∴ h( x) 的单调减区间为 0,3 ? 2 2 ; 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 3 ? 2 2 ,∴ h( x) 的单调增区间为 3 ? 2 2, ?? . (2)当 a ? 1,b ? ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ? ln x ? x ?

?

?

?

?

1

x



x ?1 1 1 1 设 F ( x) ? ln x ? x ? ,则 F ?( x) ? ? ? ?? x 2 x 2x x x 2x x ∴ F ( x) 在(0,??)上是减函数,又 F (1) ? 0 ,则 当 x?(0,1)时, f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ; 当 x?(1,??)时, f ( x) ? g ( x) .

1

?

?

2

≤0 恒成立.

7

(3) f ( x) ? g ( x) ,即 ln x ? a x ?

b x

(x ? 0) .
1 1 2? x , ? ? 2x x 2 x

① 若 b≥0,取 a ? 1,考察函数 u ( x) ? ln x ? x .∵ u ?( x) ? 令 u ?( x) ? 0 ,得 x ? 4.

x u ?( x) u ( x)

(0,4)

4 0
极大值

(4,??)

?


?


∴ u ( x)max ? u (4) ? ln 4 ? 2 ? 0 .则 u ( x) ? 0 恒成立,即不存在正数x 0 ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) . b ln x b ②若 b ? 0, ln x ? a x ? (x ? 0) ,也即 ? ? a (*) . x x x

2 2 1 1 24 x ?1 先证 ln x ? ? 4 ,设 v( x) ? ln x ? 4 ,则 v?( x) ? ? 4 ? . x 2x x 2x 4 x x x 1 令 v?( x) ? 0 ,得 x ? . 16 1 1 1 (0, ) ( ,??) x 16 16 16 v?( x) 0 ? ? v( x) ↘ 极小值 ↗ 2 ∴ v( x)min ? ?4ln 2 ? 4 ? 0 .则 v( x) ? ln x ? 4 ? 0 恒成立. x ln x b b 2 2 ? ?? ? ∴ ln x ? ? 4 .则 . 3 x 4 x x x x

? ?



1
4

b ? t ,则 ? ? x x

? x?
4

2

3

? 2? ? ?bt 4 ? 2t 3 ? ?bt 3 ? t ? ? . ? b?

? a ??bt 3 ? a, t?3? , ? ? a 2? 2? ? ? ? 3? b 取 t ? max ? 令? 2 ,即 ? ? 3 ? ,1 ? ? ,则当t ? t 0 时, ?bt ? t ? ? ? a 成立. 0 b? ? b? ? ? b ? ?t ? ? 1, ?t ? 1 ? 2 , ? b ? b ? 1 即存在 x0 ? 4 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) . t0

综上所述,实数 b 的取值范围为(??,0) .

8


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