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第7篇 第2讲 空间几何体的表面积与体积


第2讲 空间几何体的表面积与体积
【2014年高考会这样考】 1.以三视图为载体,考查空间几何体的表面积与体积.

2.利用展开图考查空间几何体的侧面积与表面积.

抓住2个考点

突破3个考向

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考点梳理
1.柱体、锥体、台体的侧面积和表面积

(1)旋转体的侧面展开图的形状 名称 圆柱 侧面展开图形状 矩形 侧面展开图

圆锥

扇形

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名称

侧面展开图形状

侧面展开图

圆台

扇环

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(2)多面体的侧面积和表面积
因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是侧 面展开图的面积,表面积是侧面积与底面积的和. (3)旋转体的侧面积和表面积 ①若圆柱的底面半径为r,母线长为l,则

S侧=

2πrl

,S表=

2πr(r+l) .

②若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则 S侧= πrl ,S表= πr(r+l) . ③若圆台的上下底面半径分别为r′、r,则 2+r′l+rl+r2) π( r ′ π(r+r′)l S侧= ,S表= .

④若球的半径为R,则它的表面积S=
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4πR2

.
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2.几何体的体积公式
2h π r (1)圆柱的体积公式V=

.所有棱柱和圆柱的体积公

式可以统一为V柱= Sh ,其中S为底面积,h为高. 1 2 1 (2)圆锥的体积公式V=3πr h,棱锥的体积公式V=3Sh.圆 1 锥和棱锥的体积 公式可以统一为 V锥=3Sh ,其中S为底 面积,h为高.

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1 (3)圆台的体积公式为V= 3 π(r′2+r′r+r2)h,棱台的体积 1 公式为V= 3 (S′+ SS′ +S)h,圆台和棱台的体积公式可 1 以统一为V台= 3 (S′+ S′S +S)h,其中S′、S分别为上、 下底的底面积,h为高. 4 3 (4)球的体积公式为V= 3πR .

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【助学·微博】 两点提醒 (1)关于公式

几何体的表面积和体积公式虽不要求记忆,但是要注意各
个数据的准确性,不能用错公式. (2)关于组合体转化 对于生产生活中遇到的物体,可以转化为由简单的几何体 组合而成,它们的表面积与体积可以转化为这些简单的几

何体的表面积的和与体积的和.

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两个关注点

与球有关问题的关注点
(1)“切”“接”问题 一般要过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题 转化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系. (2)特殊图形可以用补图的方法解答.

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考点自测 1.圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那 么这个圆柱的侧面积是 A.4πS C.πS B.2πS 2 3 D. 3 πS ( ).

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解析 设圆柱底面圆的半径为r,高为h,则r= 又h=2πr=2 πS,∴S圆柱侧=(2 πS)2=4πS.
答案 A

S π,

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2.(2012·浙江)已知某三棱锥的三视图 (单位:

cm)如图所示,则该三棱锥的体积是
( A.1 cm3 C.3 cm3
解析

).

B.2 cm3 D.6 cm3

由几何体的三视图可知,该几何体是有

三个面为直角三角形的四面体,如图所示.三 棱锥的底面三角形中直角边长分别为1,2,高 1 1 1 为3,故V=3S底· h=3×2×1×2×3=1(cm3).

答案 A
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3.(2013·东北三校一模 ) 一个几何体的三视图如图所示,则 侧视图的面积为 ( ).

A.2+ 3 C.2+2 3

B.1+ 3 D.4+ 3
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解析

依题意得,该几何体的侧视图的面积等于2 +

2

1 2

×2× 3=4+ 3.

答案 D

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4 . (2012· 上海 ) 一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2π. 该圆柱的

表面积为________.
解析 因为圆柱的底面周长为2π,所以底面半径r=1,又 高h=2,所以表面积S=2πr2+2πrh=6π. 答案 6π

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5.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且 AB=6,BC=2 3,则棱锥OABCD的体积为________.
解析 依题意棱锥OABCD的四条侧棱长 相等且均为球O的半径,如图连接AC,取 AC中点O′,连接OO′.易知AC= AB2+BC2 =4 3 ,故AO′=2 3.在Rt△ OAO′中,OA=4,从而OO′= 42-12 1 =2.所以VOABCD=3×2×6×2 3=8 3.

答案 8 3
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考向一 几何体的表面积 【例1】?(2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥 的表面积是 ( ).

A.28+6 5 C.58+12 5

B.30+6 5 D.60+12 5
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[审题视点] 根据几何体的三视图画出其直观图,利用直观图 的图形特征求其表面积.

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解析

由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所

示,其中AE⊥平面BCD,CD⊥BD,且CD=4,BD=5,BE =2,ED=3,AE=4.∴AD=5. 又CD⊥BD,CD⊥AE, 则CD⊥平面ABD, 故CD⊥AD,所以AC= 41且S△ACD=10.

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在Rt△ABE中,AE=4,BE=2,故AB=2 5. 在Rt△BCD中,BD=5,CD=4, 故S△BCD=10,且BC= 41. 在△ABD中,AE=4,BD=5,故S△ABD=10. 在△ABC中,AB=2 5,BC=AC= 41, 1 则AB边上的高h=6,故S△ABC=2×2 5×6=6 5. 因此,该三棱锥的表面积为S=30+6 5.

答案 B

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(1)若以三视图的形式给出,解题的关键是对给 出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关

系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
(2)多面积的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应 注意重合部分的处理.

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【训练1】 一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是 ( ).

A.372
C.292

B.360
D.280

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解析

由三视图可知该几何体是由下面一个长方体,上面一

个长方体组合而成的几何体. ∵ 下面长方体的表面积为
8×10×2+2×8×2+10×2×2=232,上面长方体的表面积 为8×6×2+2×8×2+2×6×2=152,又∵长方体表面积重 叠一部分,∴几何体的表面积为232+152-2×6×2=360. 答案 B

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考向二 几何体的体积 【 例 2】?(2012· 山 东 ) 如 图 , 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1, E为线段 B1C

上 的 一 点 , 则 三 棱 锥 ADED1 的 体 积 为
________. [审题视点] 只需知道B1C上的任意一点到 面 DAD1 的距离相等 ( 也可把点 E 与点 C 重 合).

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解析 以△ADD1 为底面,则易知三棱锥的高为 1, 1 1 1 故 V=3×2×1×1×1=6.
答案 1 6

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(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱 体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解; (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用

转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几 何体的直观图,然后根据条件求解.

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【训练2】 如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别
是等边三角形、等腰三角形和菱形,则该几何体体积为 ( ).

A.4 3 C.2 3

B.4 D.2
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1 解析 由三视图可知此几何体为四棱锥,高为3.所以V=3Sh 1 1 =3×2×2 3×2×3=2 3.
答案 C

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考向三 与球有关的组合体 【例 3】? 某几何体的三视图如下图所示 ( 图中长度单位:

cm) ,其中正视图与侧视图相同,则该几何体的体积为
____________________________________________ cm3.

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[审题视点] 由正视图和侧视图知几何体分三部分:柱、台、
球,再由俯视图确定几何体由圆柱、圆台、半球组成.

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解析

由三视图可知,该几何体是由圆柱、圆台、半球组

合而成,易知圆柱的底面半径为1,高为2,圆台的上、下 底半径分别为1、4,高为4,半球的半径为4. ∴V圆柱=π×12×2=2π, π V圆台=3×(12+42+1×4)×4=28π, 1 4 128 3 V半球=2×3π×4 = 3 π. 128 218 ∴几何体的体积为V=2π+28π+ 3 π= 3 π(cm3).

218 答案 3 π
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(1)已知与球有关的组合体的三视图,要将其还 原为几何体,对组合体的表面积和体积可以分割计算.

(2)处理与几何体外接球相关的问题时,一般需依据球和几何
体的对称性,确定球心与几何体的特殊点间的关系.解决与 棱柱有关的问题时需注意运用棱柱的体对角线即为外接球直 径这一知识.

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【训练3】 已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和 底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个 3 球面面积的 16 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体 积较大者的高的比值为________.

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解析

如图,设球的半径为R,圆锥底面半
2

3 3 2 径为r,由题意得πr = 16 ×4πR .∴r= 2 1 R,∴OO1= 2 R.体积较小的圆锥的高AO1= 1 1 R- 2 R= 2 R,体积较大的圆锥的高BO1=R 1 3 + 2 R= 2 R.故这两个圆锥中,体积较小者的 1 高与体积较大者的高的比值为3. 1 答案 3
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方法优化12——巧妙求解空间几何体的表面积和体积

【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,主要考查已知三
视图,还原几何体,求几何体的表面积和体积.题型为选 择题或填空题,题目难度中等.

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【真题探究】? (2012·广东)某几何体的三视图如图所示,它 的体积为 ( ).

A.72π
C.30π

B.48π
D.24π

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[教你审题]

第1步 还原几何体.由正视图与侧视图联系观

察,几何体为一个锥体与半球的组合体.由俯视图观察锥 体为圆锥. 第2步 计算.
[优美解法] 由三视图可知该几何体是由半球和倒立的圆锥

1 1 4 2 2 2 组成的组合体.V=3π×3 × 5 -3 +2×3π×33=30π.

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[反思] (1)对组合体的三视图还原为几何体的问题,要从接触 面突破;(2)对组合体的表面积、体积可以分割计算.

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【试一试】 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的表面积和体积分别为________,________.

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解析

由三视图可知,该几何体的下部是一底边长为2的正

方形,高为4的长方体,上部为一球,球的直径等于正方形 的边长.所以长方体的表面积为S1=2×2×2+4×2×4= 40,长方体的体积为V1=2×2×4=16,球的表面积和体积 4 4π 3 分别为S2=4×π×1 =4π,V2= 3 ×π×1 = 3 ,故该几何体
2

的表面积为S=S1+S2=40+4π,该几何体的体积为V=V1+ 4π V2=16+ 3 .

4π 答案 40+4π 16+ 3
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