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浙江省余杭区普通高中第二共同体2015届高三上学期期中联考数学(理)


2014 学年第一学期余杭区普高第二共同体期中联考
高三年级数学试卷 2014 年 11 月 考生须知:全卷分试卷和答卷。试卷共 4 页,有 3 大题,22 小题。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 选择题部分(共 50 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. 已

知集合 A ? x x ? 3 ? 0 ,则 C R A ? ( A. (??,?3) B. (??,?3]

?

?

) D. [?3,??)

C. (?3,??)

2. 向量 a ? (?1,3) , b ? (2,?1) ,则 a ? 2b 等于( A. ?? 5,5? B. ?5,?5? C. ?? 3,1?

?

?

?

?

) D. ?1,?1? ( D. (3,4) )

3. 若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 A. (0,1) B. (1,2). C. (2,3) 4. “ a ? b ”是“ log2 a ? log2 b ”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. 已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? A.16( 1 ? 4
?n



1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 = 4 32 32 ?n ?n ?n B.16( 1 ? 2 ) C. (1 ? 4 ) D. (1 ? 2 ) 3 3
( )

6. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 A.[-x] = -[x] B.[2x] = 2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y] 7. 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,若其图象向右平移


? 个单位 3

后关于 y 轴对称,则 y ? f ( x) 对应的解析式可为( A. y ? sin( 2 x ? C. y ? cos( 2 x ?

?
6

) )

B. y ? cos( 2 x ? D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

?
3

7? ) 6

8. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ??) 单 调 递 增 . 若 实 数 a 满 足

, 则 a 的取值范围是( f (log ? f (log 2 a ) 1 a ?)2 f (1)
2

) D. (0, 2]

A. [1, 2]

? 1? B. ? 0, ? ? 2?

?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

第 -1- 页 共 7 页

9. 已知不等式-2xy≤ax +2y ,若对任意 x∈[1,2]及 y∈[-1,3]不等式恒成立,则实数 a 的范围
2 2

是 (

)

A. 0 ? a ?

1 2

B. a ? 0

C. a ?

1 2

D. a ? ?

15 2

10. 已知函数 f ( x) ?

1 ? 1 ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰有 6 个不同的实数解, x
) B. 1 ? b ? c ? 0, c ? 0 D. 1 ? b ? c ? 0, 0 ? c ? 1 非选择题部分(共 100 分)

则 b, c 的取值情况不可能的是( A. ?1 ? b ? 0, c ? 0 C. 1 ? b ? c ? 0, c ? 0

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. ) 11.设等比数列 {an } 的公比 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



12.在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a 、 b、 c , 若

? 3b ? c?cos A ? a cos C ,则 cos

A?

? x?0 ? 13.已知 z ? x ? 2 y ,其中 x, y 满足不等式组 ? x ? y ,则 z 的最小值为________。 ?x ? y ? 2 ?
14.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ?

?log2 (15 ? x), x ? 0 ,则 f (3) =_________。 ? f ( x ? 2), x ? 0

15. 设 0 ? ? ? ? ,不等式 8x2 ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围 为 。

16. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 的坐标为 (3, a ) , a ? R ,点 P 满足 OP ? ? OA ,

? ? R , | OA | ? | OP |? 72 ,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为



* 17.对于正整数 n ,若 n ? pq ( p ? q, p, q ? N ) ,当 p ? q 最小时,则称 pq 为 n 的“最佳分

解” ,规定 f (n) ?

1 q 。关于 f ( n) 有下列四个判断:① f (9) ? 1 ;② f (12 ) ? ;③ 3 p

f (17 ) ?

1 1 1 2 * ;④ f (2014 ) ? ;⑤若 f (n) ? 1 ,则 n ? k , k ? N ;⑥若 f (n) ? ,则 17 2014 n

n 为质数。其中正确的序号是_______.
三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
第 -2 - 页 共 7 页

18. (本小题 14 分)已知向量 a ? (cos x ? sin x,2 sin x) , b ? (cosx ? sin x,? cos x) ,

?

?

? ? f ( x) ? a ? b ,
(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? ?

? ? 3? ? , ? 时,求 f ( x) 的最小值以及取得最小值时 x 的值。 ?4 4 ?

19.(本小题 14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 cos 2C ? 1 ? 1 1 (1)求 + 的值; tan A tan C 8 (2)若 tan B= ,求 tan A 及 tan C 的值. 15

8b 2 . a2

20. (本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax, g ( x) ? ax ? 2(a ? 0) ,对任意的 x1 ? [?1,2] ,
2

总存在 x0 ? [?1,2] ,使 g ( x1 ) ? f ( x0 ) ,则实数 a 的取值范围.

第 -3- 页 共 7 页

21. (本小题 15 分)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 , a2 ? 8 ,

? ?

S n ?1 ? 4S n ?1 ? 5S n ? n ? 2 ? , Tn 是数列 ?log 2 an ? 的前 n 项和.
(1)求数列 an 的通项公式; (2)求 Tn ; (3)求满足 ?1 ?

? ?
? ?

1 ?? 1? 1 ? ? ?? ?? T2 ? ? T 3 ? ?

? 1? 1010 ?? 1 ? ? 的最大正整数 n 的值. ? ? ? T 2013 n ? ?

22. (本小题 15 分)定义函数 y ? f ( x), x ? D ( D 为定义域)图象上的点到坐标原点的距离为 函数的 y ? f ( x), x ? D 的模.若模存在最大值,则此最大值称之为函数 y ? f ( x), x ? D 的长 距;若模存在最小值,则此最小值称之为函数 y ? f ( x), x ? D 的短距. (1)分别判断函数 f 1 ( x ) ?

1 与 f 2 ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 是否存在长距与短距,若存在,请求出; x

(2)对于任意 x ? [1,2] 是否存在实数 a ,使得函数 f ( x) ? 请求出 a 的取值范围;不存在,则说明理由?

2 x x ? a 的短距不小于 2,若存在,

第 -4- 页 共 7 页

2014 年高三期中考试试卷答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 B 5 C 6 D 7 C 8 C 9 C 10 C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.15; 15. [0, 12.

3 ; 3

13. -4 ;

14. 4 ;

?
6

] [

5? ,? ] ; 6

16. 24;

17. ①③⑤⑥

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. f ( x) ? (cosx ? sin x)(cosx ? sin x) ? 2 sin x(? cos x) ??????????2 分

? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos( 2 x ?
(1) T ?

?
4

)

??6 分

2? ?? 2

???????????????????????????8 分

(2) x ? ?

? ? 3? 7? ? ? ? 3? ? , ? 时, 2 x ? ? ? , ? 4 ?4 4 ? ?4 4 ?
?
4 ?? 即x ?

????????????????10 分

?当 2 x ?

3? 时,???????????????????????12 分 8

取到 f ( x) 的最小值 ?

2

?????????????????????????14 分

19.(本小题满分 14 分) ( 0, ] 20. 解

1 3

(1)∵cos 2C=1-

8b2

a2

,∴sin C=

2

4b2

a2

. .

∵C 为三角形内角,∴sin C>0,∴sin C= ∵

2b

a

a
sin A



b
sin B

,∴ =

b sin B a sin A

∴2sin B=sin Asin C. ∵A+B+C=π, ∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C. ∴2sin Acos C+2cos Asin C=sin Asin C.

第 -5- 页 共 7 页

∵sin A· sin C≠0,∴ (2)∵

1 1 1 + = . tan A tan C 2

1 1 1 + = , tan A tan C 2 2tan C . tan C-2

∴tan A=

∵A+B+C=π, ∴tan B=-tan(A+C) =- = ∴ tan A+tan C 1-tan Atan C

tan2C . 2tan2C-tan C+2 8 tan2C = 整理得 tan2C-8tan C+16=0 15 2tan2C-tan C+2

解得,tan C=4,tan A=4.
21. 解: (1)∵当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 5Sn , ∴ S n ? 1 ? S n ? 4 S n ? S n ?1 . ∴ an ?1 ? 4an . ∵ a1 ? 2 , a2 ? 8 , ∴ a2 ? 4a1 . ∴数列 an 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 4 的等比数列. ∴ an ? 2 ? 4n ?1 ? 22n ?1 . (2)由(1)得: log2 an ? log2 22n ?1 ? 2n ? 1, ∴ Tn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ?????4 分 ?????5 分 ?????3 分

?

?

?????1 分 ?????2 分

? ?

? log2 an
?????6 分

?1? 3?

? ? 2n ? 1?

?

n ?1 ? 2n ? 1? 2

?????7 分

? n2 .
第 -6- 页 共 7 页

?????8 分

(3) ?1 ?

? ?

1 ?? 1? 1? ? ? ?? ? T2 ? ? T3 ? ?

? 1? ?? ?1 ? T ? ? n ? ?

? 1 ?? 1? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 2 ? ? 2 ?? 3 ? ?
?

? 1? ? ?1 ? 2 ? n ? ?
? n2 ? 1 n2

?????9 分

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 ? ? ? 22 32 42

?

1? 3? 2 ? 4 ?3?5? 22 ? 32 ? 42 ?
n ?1 . 2n

? ? n ? 1? ? n ? 1? ? n2

?????10 分

?

?????11 分



n ? 1 1010 4 ? ,解得: n ? 287 . 2013 7 2n

?????13 分 ?????14 分

故满足条件的最大正整数 n 的值为 287 . 22.

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