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【解析】【2013泰安市一模】山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测 数学(理)试题


泰安市高三第一轮复习质量检测数学试题(理科)
2013.3 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
x 1.已知集合 A ? ??1,1? , B ? x 1 ? 2 ? 4 ,则 A ? B 等于

?

?

A.

??1, 0,1 ? 【答案】B

B. ?1?

C. ??1,1?

D. ?0,1?

B ? ? x 1 ? 2 x ? 4? ? {x 0 ? x ? 2} ,所以 A ? B ? {1} ,选 B.
2.复数 A. 5 【答案】A

3i ? 1 (i 为虚数单位)的模是 1? i
B. 2 2 C.5 D.8

3i ? 1 (3i ? 1)(1 ? i) 2 ? 4i 3i ? 1 ? ? ? 1 ? 2i ,所以 ? 1 ? 2i ? 5 ,选 A. 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 1? i
2 3.如果椭机变量 ? ? N ?1, ? , 且P ? ?3 ? ? ? ?1? ? 0.4 ,则 P ?? ? 1? 等于

?

?

A.0.4 【答案】D 因 为

B.0.3

C.0.2

D.0.1

P ? ?3 ? ? ? ? ? ? P ? ? ? ? ? 1

??

1



1所

以 0

.

4

P ?? ? 1? ?

1 ? P ? ?3 ? ? ? ?1? ? P ? ?1 ? ? ? 1? 1 ? 0.4 ? 0.4 ? ? 0.1 ,选 D. 2 2

4.下列结论错误的是 ..
2 A.命题“若 x ? 3x ? 4 ? 0 ,则 x ? 4 ”的逆否命题为“若 x ? 4, 则x ? 3x ? 4 ? 0 ”
2

2 B.“ x ? 4 ”是“ x ? 3x ? 4 ? 0 ”的充分条件

C.命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆命题为真命题
2

D.命题“若 m ? n ? 0 ,则 m ? 0且n ? 0 ”的否命题是“若 m ? n ? 0.则m ? 0或n ? 0 ”
2 2

2

2

【答案】C 命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆命题为“若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,
2 2

则 m ? 0 ” 若方程 x ? x ? m ? 0 有实根, ? ? 1 ? 4m ? 0 , 。 则 解得 m ? ?
2

1 1 。 所以 m ? ? 4 4

时,不一定有 m ? 0 ,所以 C 错误。

5.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是 A.4 【答案】B 第一次 n ? 3 ? 5 ? 1 ? 16, k ? 1 ;第二次 n ? B.5 C.6 D.7

16 8 ? 8, k ? 2 ;第三次 n ? ? 4, k ? 3 ;第四次 2 2

n?
6.当 x ?

4 2 ? 2, k ? 4 ;第五次 n ? ? 1, k ? 5 此时满足条件输出 k ? 5 ,选 B. 2 2

?
4

时,函数 f ? x ? ? Asin ? x ? ? ?? A ? 0? 取得最小值,则函数 y ? f ?

? 3? ? ? x? 是 ? 4 ?

A.奇函数且图像关于点 ?

?? ? , 0 ? 对称 ?2 ?

B.偶函数且图像关于点 ?? ,0? 对称

C.奇函数且图像关于直线 x ? 【答案】C 当x?

?
2

对称

D.偶函数且图像关于点 ?

?? ? , 0 ? 对称 ?2 ?
?? ? ?

?
4

时,函数 f ? x ? ? Asin ? x ? ? ?? A ? 0? 取得最小值,即

?
4

?
2

? 2 k? , k ? Z ,



3? 3? ? 2 k ? , k ? Z , 所 以 f ? ?x s A n ? ( x ? ? i ? , 0 ?) A 所 以 4 4 3? 3? 3? y ? f ( ? x) ? A sin( ? x ? ) ? ? A sin x ,所以函数为奇函数且图像关于直线 4 4 4

? ??

x?

?

2

对称,选 C.

7.在 ?ABC中,?A=60 , AB ? 2 ,且 ?ABC 的面积为
?

3 ,则 BC 的长为 2

A. 3 【答案】A

B.3

C. 7

D.7

1 1 3 3 S ? ? AB ? AC sin 60? ? ? 2 ? AC ? 2 2 2 2
B
2







AC ? 1







C ?

2 A? B 2

2

?A

C c ? ? o As B BC ? 3 ,选 A. 6 0 ,,所以 ?A C 3

8.已知 a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2 则向量 a与b 的夹角为 A.

?

? ? ?

?

?

?

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

【答案】B

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 a ?b 3 1 ? ,所以 a ? (b ? a) ? a ? b ? a ? 2 , 所 以 a ? b ? 3 , 所 以 cos ? a, b ?? ? ? ? a b 1? 6 2
? ? ? ? a, b ?? ,选 B. 3

9.若 a, b ? R, 且ab ? 0, 则下列不等式中,恒成立的是 A. a ? b ? 2 ab 【答案】C 因为 ab ? 0 ,所以

B.

1 1 2 ? ? a b ab

C.

b a ? ? 2 D. a 2 ? b2 ? 2ab a b

b a b a b a ? 0, ? 0 ,即 ? ? 2 ? ? 2 ,所以选 C. a b a b a b
3

10.设函数 f ? x ? ? x ? 4x ? a ? 0 ? a ? 2? 有三个零点 x1 、x2、x3,且 x1 ? x2 ? x3 , 则下列结论 正确的是 A. x1 ? ?1 【答案】D ∵ 函数 f ? x ? ? x ? 4x ? a ? 0 ? a ? 2 ? ,
3

B. x2 ? 0

C. x3 ? 2

D. 0 ? x2 ? 1

∴ (x)=3x ﹣4.令 f′ f′ (x)=0,得 x=±

2



∵ x?? 当

2 3 2 3 2 3 2 3 , ) 上, f '( x) ? 0 ;在 ( , ??) 上, 时, f '( x) ? 0 ;在 (? 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 )) , ) 上是减函数, ( , ??) 上是增函数, (? 在 在 3 3 3 3

f '( x) ? 0 . 故函数在 (??, ?

上是增函数.故 f (?

2 3 2 3 ) 是极大值, f ( ) 是极小值.再由 f (x)的三个零点为 x1,x2, 3 3
,﹣ )=a﹣ <x2 <0,得 ,x3> .

x3,且 x1 ? x2 ? x3 , 得 x1<﹣ 根据 f(0)=a>0,且 f( ∴ 2<1.选 D. 0<x

>x2>0.

2 11.直线 x ? a ? 1 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是

?

?

A. ? 0,

? ?? ? 4? ?

B. [

3? ,? ) 4

C. ?0,

? ? ? ?? ? ? ? ? ,? ? ? 4? ? 2 ?

D. ?

? ? ? ? ? 3? ? , ? ? ? ,? ? ?4 2? ? 4 ?

【答案】B 直线的斜截式方程为 y ? ?

1 1 1 1 x? 2 ,所以斜率为 k ? ? 2 ,即 tan ? ? ? 2 , a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 3? 3? ? ? ? ? ,即倾斜角的取值范围是 [ , ? ) ,选 B. 所以 ?1 ? tan ? ? 0 ,解得 4 4
2

12.设奇函数 f ? x ? 在? ?1,1? 上是增函数,且 f ? ?1? ? ?1 ,若函数, f ? x ? ? t ? 2at ?1 对所
2

有的 x?? ?1,1? 都成立,则当 a?? ?1,1? 时 t 的取值范围是 A. ?2 ? t ? 2 C. t ? ?2或t ? 0或t ? 2 【答案】C 因 为奇函数 f ? x ? 在? ?1,1 上 是增函 数, 且 f ? ?1? ? ?1 ,所以 最大值为 f (1) ? 1 , 要 使 ?

1 1 ?t ? 2 2 1 1 D. t ? ? 或t ? 0或t ? 2 2
B. ?

f ? x ? ? t 2 ? 2at ?1 对所有的 x???1,1? 都成立,则 1 ? t 2 ? 2at ? 1 ,即 t 2 ? 2at ? 0 ,即
t (t ? 2a) ? 0 ,当 t ? 0 时,不等式成立。当 0 ? a ? 1 时,不等式的解为 t ? 2a ? 2 。当
?1 ? a ? 0 时,不等式的解为 t ? 2a ? ?2 。综上选 C.
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13.从集合 ?1,2,3,4,5? 中随机选取 3 个不同的数, 这个数可以构成等差数列的概率为 【答案】 ▲ .

2 5

3 从集合 ?1,2,3,4,5? 中随机选取 3 个不同的数有 C5 ? 10 种。则 3 个数能构成等差数列的有,

1, 2,3;2,3, 4;3, 4,5;1,3,5; 有 4 种,所以这个数可以构成等差数列的概率为

4 2 ? 。 10 5

14.二项式 ? 3x ? 【答案】1215

? ?

1? ? 的展开式中,常数项等于 x2 ?
k 6? k

6



(用数字作答).

展开式的通项公式为 Tk ?1 ? C6 (3x )
2 项为 T3 ? 34 C6 ? 1215 。

(

1 k ) ? C6k 36? k x 6?3k ,由 6 ?3 k ?0 得 k ? 2 ,所以常数 x2

15.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上,且 AB ? 8, BC ? 2 3 ,则棱锥

O ? ABCD 的体积为
【答案】 16 2



.

球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上。所以对角线长为 8 ? (2 3) ? 2 19 ,所以棱
2 2

锥的高为 5 ? ( 19) ?
2 2

1 6 ,所以棱锥的体积为 ? 6 ? 8 ? 2 3 ? 16 2 。 3

16.设双曲线 线的方程为

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,且一个焦点与抛物线 x2 ? 8 y 的焦点相同,则此双曲 m n
▲ .

【答案】 y ?
2

x2 ?1 3

抛物线的焦点坐标为 (0, 2) ,所以双曲线的焦点在 y 轴上且 c ? 2 ,所以双曲线的方程为

y 2 x2 c ? ? 1 , a2 ? n ? 0, b2 ? ?m ? 0 , 即 所以 a ? n , e ? ? 又 n ?m a
2 2 2

2 ? n

2, 解得 n ? 1 ,

x2 ? 1。 所以 b ? c ? a ? 4 ? 1 ? 3 ,即 ?m ? 3, m ? ?3 ,所以双曲线的方程为 y ? 3
2

三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn, a4 ? a1 ? 9, a5 , a3 , a4 成等差数列. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)证明:对任意 R ? N ? , Sk ?2 , Sk , Sk ?1 成等差数列.

18.(本小题满分 12 分)

已知 m ? ? A sin

??

? ?

?? ? x ? ? ? x? , A ? , n ? ? 3, cos ? , f ? x ? ? m ? n, 且f 3 ? 3? ? 30 ? ?? ? , f ? 3? ? ? ? ? 17 , ? 2?

?? ? ? ? ? 2. ?4?

(1)求 A 的值; (II)设 ? 、 ? ? ?0,

7 ? 8 ? f ? 3? ? ? ? ? ? , 求 cos ?? ? ? ? 的值. 2 ? 5 ?

19.(本小题满分 12 分) 如图在多面体 ABCDEF 中,ABCD 为正方形,ED ? 平面 ABCD, FB//ED,且 AD=DE=2BF=2. (I)求证: AC ? EF ; (II)求二面角 C—EF—D 的大小; (III)设 G 为 CD 上一动点,试确定 G 的位置使得 BG//平面 CEF,并证明你的结论.

20.(本小题满分 12 分) 某产品按行业生产标准分成 6 个等级,等级系数 ? 依次为 1,2,3,4,5,6,按行业规定产 品的等级系数 ? ? 5 的为一等品, 3 ? ? ? 5 的为二等品, ? ? 3 的为三等品. 若某工厂生产的产品均符合行业标准,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数 组成一个样本,数据如下;

(I)以此 30 件产品的样本来估计该厂产品的总体情况,试分别求出该厂生产原一等品、二等 品和三等品的概率; ( II) 已 知 该 厂 生 产 一 件 产 品 的 利 润 y ( 单 位 : 元 ) 与 产 品 的 等 级 系 数 ? 的 关 系 式 为

?1,? ? 3 ? y ? ? 2, 3 ? ? ? 5,若从该厂大量产品中任取两件,其利润记为 Z,求 Z 的分布列和数学期望. ? 4,? ? 5 ?

21.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的短轴为长轴,且与 C1 有相同的离心率. 16 4

(I)求椭圆 C2 的方程;

(II)设直线 l 与椭圆 C2 相交于不同的两点 A、B,已知 A 点的坐标为 ? ?2,0 ? ,点 Q ? 0, y0 ? 在 线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 ,求直线 l 的方程.

??? ??? ? ?

22.(本小题满分 13 分)
2 x 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c e 且f ? 0 ? ? 1, f ?1? ? 0.

?

?

(I)若 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (II) a=0 时, 当 是否存在实数 m 使不等式 2 f ? x ? ? 4xex ? mx ?1 ? ?x2 ? 4x ?1 对任意 x ? R 恒成立?若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由.


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