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材料力学期终考题分析卷


材料力学 期终考题分析
(A)

一、结构受力如图示,①、②、③杆EA 相同,④、⑤ 两杆

为刚性杆。试
① 绘节点C、D 的受力图 ② 绘节点C、D 的位移图 ③ 建立求解①、②、③杆内力 所必需的方程式。

解:(一)绘节点C、D 的受力图 可设各杆均受拉力作用

节点C 受力图 由节点平衡条件得:
?

节点D 受力图


? 节点C: X ? 0 , N 2 cos 30 ? N 3 ? 0

? 节点D:

X ? 0 , ? N 1 cos 30

?

? N

3

? P ? 0



(二) 绘节点C、D 的位移图

建立变形几何关系方程式 式中:
? l1 ? ?l2 ?

? l 3 ? CC ' ? DD ' ?
? 2 N 1l EA ? 2N 2l EA

?l2 cos 30
?

?

? l1 cos 30
?

N 1 l1 EA N 2l2 EA

?l3 ?

N 3l3 EA

?

3N 3l EA

? l 3 ? CC ' ? DD ' ?

?l2 cos 30
?

?

? l1 cos 30
?

? l1 ?

N 1 l1 EA

?

2 N 1l EA

?l2 ?

N 2l2 EA

?

2N 2l EA

?l3 ?

N 3l3 EA

?

3N 3l EA

将△l1, △l2, △l3代入上式得
3N 3l EA ? 2N 2l EA cos 30
?

?

2 N 1l EA cos 30
?

化简后得:
N1 ? N
2

?

3 4

N

3

? 0



(三)建立求解①、②、③杆内力所必须的方程式

N 2 cos 30 ? N 3 ? 0
?

① ② ③

? N 1 cos 30 ? N 3 ? P ? 0
?

N1 ? N

2

?

3 4

N

3

? 0

必须的方程式为①、②、③ 三个方程,三个方程联立 求解就可得到三杆的内力。

二、图示铸铁T 型截面梁,已知:Iz=7.65×106mm4,材料的
许用拉应力[σt]=40MPa,许用压应力[σC]=60MPa,试 确定此梁的许用负荷P。

解:(一)绘弯矩图 危险截面为C、B 截面, C 截面上部压下部拉; B 截面上部拉下部压。 0.35P B A C D MC=0.35P

MB=0.8P

弯矩图 0.8P

(二)绘C、B 截面的应力分布图。 0.35P B A C D 弯矩图 0.8P

C

.

Z

y上=52 y下=88 C截面 B截面 应力分布图

(三)确定许用荷载P a. 由最大拉应力确定P
?
? C

C

.
?3

Z

y上=52
y下=88 C截面 B截面 应力分布图

?

M

C

Iz ? M
B

y下 ? y上 ?

0 . 35 P ? 88 ? 10 Iz 0 . 8 P ? 52 ? 10 Iz

?

? B

?3

Iz

由于

M

B

y上 ? M C y下 ,   ?
?

? max

??

? B

由强度条件得: ? max

?

0 . 8 P ? 52 ? 10 7 . 65 ? 10
?6

?3

? ??

t

??

40 MPa

解出[P1]=7.36KN

b. 由最大压力确定P
M

C

.
?3

Z

y上=52 y下=88

?
?

? C

? ?

C

Iz M
B

y上 ? y下 ?

0 . 35 P ? 52 ? 10 Iz 0 . 8 P ? 88 ? 10 Iz
M
B

C截面 B截面 应力分布图

? B

?3

Iz

由于

y下 ? M C y上 ,   ?

? max

??
?3

? B

由强度条件得:

?

? max

?

0 . 8 P ? 88 ? 10 7 . 65 ? 10
?6

? ??

C

??

60 MPa

解出: [P2]=6.52KN 最终确定[P]= [P2]= 6.52KN

三、一点的应力状态如图示,已知材料的弹性模量 E=2×105MPa;泊松比μ=0.3。 ①求该点的主应力和最大剪应力; ②求主应变;

③求相当应力 ? r 4 。

解:(一)求主应力和最大剪应力

已知条件为:
?
?
x

? ? 20 MPa ,   ?
? 40 MPa ,   ?
y

z

? 0,
? 60 MPa

xz

从应力单元体图可知,σy为主应 力,现只要考虑 xOz 平面内的另 外二个主应力。(见 xOz 平面的 单元体图)。

由公式:
? x ? ? max ? ? ? 2 ? ? min
? 解出:?
?? ? ?? ?? ?
max min

?? x ? ? ? ? 2 ?

2

??

2 xz

? 30 . 12 MPa ? ? 50 . 12 MPa

主应力为
1 2 3

? ? y ? 60 MPa ? 30 . 12 MPa ? ? 50 . 12 MPa

最大剪应力为
? max ?
1 2

?? 1 ? ? 3 ?
1

    ?

2     55 . 06 MPa ?

? 60

? 50 . 12 ?

(二)求主应变
?1 ? ?2 ? ?3 ?
1 E 1 E 1 E

?? 1 ?? 2 ?? 3

? ? ?? ? ? ?? ? ? ??

2

?? ?? ??

?? ? 3 ?? ? 3
?? ? 2

33 ? 10

?5

1

13 . 6 ? 10

?5

1

? 38 . 6 ? 10

?5

式中σ1=60MPa,σ2=30.12MPa,σ3=-50.12MPa,
E=2×105 MPa,μ=0.3

(三)求相当应力? r 4

?

r4

?

1 2

???

1

??

?2 2

? ??

2

??

?2 3

? ??

3

??1?

2

?
2

?

1 2

?? 60 ? 30 . 12 ?

2

? ? 30 . 12 ? 50 . 12 ? ? ? ? 50 . 12 ? 60 ?
2

?

? 99 MPa

四、图示结构,CD 杆的直径d=40mm,E=2×105MPa, λp=100,试求结构的临界荷载
q cr。

解:(一)确定CD 杆的临界力 首先要判定CD 杆临界力的计算公式 由题可知,CD 杆两端铰支μ=1,l=1.2m CD 杆柔度为: ?
?

?l
i

?

1 ? 1 .2 0 . 04 4

? 120 ? ?

p

? 100

CD 杆为细长压杆,可由欧拉公式计算其临界力
?

N

? EI
2

3 . 14 ?

2

? 2 ? 10

11

?

3 . 14 64
2

? ? 0 . 04 ?

4

cr

?? l ?

2

?1 ? 1 . 2 ?

? 43 KN

(二)求结构的临界荷载

qcr

由结构的平衡条件 ?

M

A

? 0

得:

q cr ? 2 ? 4 ? Ncr ? 3

q cr ?

3 8

Ncr ?

3 8

? 43 ? 16 . 12 KN m

五、重物 Q 从高度 H 处自由下落在图示结构 B 处,求

①梁内最大动应力;
② C 截面的挠度。 (AC 梁抗弯模量W1 是CD 梁抗弯模量W2 的
1 2

倍)

解(一)求C处约束力
此题为超静定问题,由变形比较法求解结构在静荷载 作用下C 处的约束力。 变形条件:
y C左 ? y C右

(a)

3 2 ? Qa R ?2a ? ?3 ? 2a ? a ? ? ? y C左 ? ? 6 EI 3 EI ? 3 Ra ?y ? ? C右 3 ? 2 EI ? ?

y C左 、 y C右

代入式(a)后得:
3

5 Qa 6 EI

?

8 Ra 3 EI

3

?

Ra

3

6 EI

解得:

R ?

5 17

Q

(二)求动荷载系数KD
B a.冲击点B处的静位移 ? st

5

? st ? y B ?
B

Qa

3

Qa

2

?3 ? 2a
6 EI

? a? ?

?

17

3 Qa

3

3 EI

34 EI

b.动荷载系数KD
? 1? 1? 2H ? 1? 1? 2H 3 Qa
3

K

D

?

? 1?

1?

68 HEI 3 Qa
3

st

34 EI

(三)梁内最大动应力
5 17 7 17

绘梁的弯矩图
Qa

A
Qa

C B 弯矩图

D
5 17 Qa

危险截面为A 截面
M
A

?

7 17

Qa

梁内最大动应力为
?
M 7 Qa ? ? ?1 ? 17 W 1 ?
D max

? K

D

??

st max

?

D max

?

A

K

W1

D

68 H ? 1? 3 ? 3 Qa ?

(四)C 处的挠度 C 处静位移为:

R ?

5 17

Q

? st ?
C

Ra

3

3 ? 2 EI

?

?

5 Qa

3

102 EI

C 处动位移为:

?

C D

? K D?

C st

? ? ?1 ? 102 EI ? 5 Qa
3

68 H ? 1? 3 ? 3 Qa ?


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