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高三数学第一轮复习章节测试6-4)


第6章 第4节 一、选择题 1.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=2,S4=10,则 S6 等于( A.12 B.18 C.24 D.42 [答案] C [解析] 由题意设 Sn=An2+Bn, 又∵S2=2,S4=10,∴4A+2B=2,16A+4B=10, 3 1 解得 A=4,B=-2, 3 ∴S6=36×4-3=24. 2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= 2 A.5 1 B.30 7 C.30 5 D.6 [答案] A [解析] ∵an= 1 + + = 1 + + ,则 S8 等于( )

)

1 1 ?1 1? ?1 1? - ,而 Sn=a1+a2+…+an= 2-3 + 3-4 +…+ ? ? ? ? n+1 n+2 n + ,

?1- 1 ?+? 1 - 1 ?=1- 1 = ?n n+1? ?n+1 n+2? 2 n+2
∴S8= 8 + 2 =5.

1 1 1 1 3.数列 1×2,2×4,3×8,4×16,…的前 n 项和为( 1 A.2-2n- n 2n+1

)

1 n B.2- - 2n-1 2n 1 1 C.2(n2+n+2)-2n 1 1 D.2n(n+1)+1- 2n-1 [答案] B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [解析] S=1×2+2×4+3×8+4×16+…+n×2n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①

1 1 1 1 1 1 则2S=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n× ,② 2n+1 1 1? 1- ? 2? 2n? 1 1 1 1 1 1 n 1 n ①-②得2S=2+22+23+…+2n-n× = - = 1 - - 1 2n 2n+1. 2n+1 2n+1 1-2 1 n ∴S=2- - . 2n-1 2n 1 1 1 4. + + +…+ 22-1 32-1 42-1 A. n+1 + 1 + -1 的值为( )

n+1 3 B.4- + 1 ? 3 1? 1 C.4-2 n+1+n+2 ? ? 3 1 1 D.2- + n+1 n+2 [答案] C [解析] ∵ 1 + 1 = = -1 n2+2n 1 +

1 ? 1?1 =2 n-n+2 .

?

?

1 ? 1?3 1 1 ? 3 1? 1 1 ? 1? 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=2 1-3 +2-4+3-5+…+n- n+2 =2 2-n+1-n+2 =4-2 n+1+n+2 . ? ? ? ? ? ? 5.(2011· 汕头模拟)已知 an=log(n+1)(n+2)(n∈N*),若称使乘积 a1·a2·a3·…·an 为整数的数 n 为劣数,则在区间(1,2002)内所有的劣数的和为( ) A.2026 B.2046 C.1024 D.1022 [答案] A lg3 lg4 [解析] ∵a1·a2·a2·…·an=lg2· lg3·…· 1<2k-2<2002,得 k=2,3,4,…,10. ∴所有劣数的和为 - 1-2 -18=211-22=2026. + = + + 则 n=2k-2(k∈Z). 令 lg2 =log2(n+2)=k,

6.(2011· 威海模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-4n+2,则 |a1|+|a2|+…+|a10|= ( ) A.66 B.65 C.61 D.56

[答案] A [解析] 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-5; 当 n=1 时,a1=S1=-1,不符合上式,
?-1,n=1, ? ∴an=? ?2n-5,n≥2, ?

∴{|an|}从第 3 项起构成等差数列,首项|a3|=1, 末项|a10|=15. ∴|a1|+|a2|+…+|a10|=1+1+ + 2 =66.

7.(文)(2009· 江西)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项, S8=32,则 S10 等于( ) A.18 B.24 C.60 D.90 [答案] C
? ?a42=a3×a7 [解析] 由题意可知? , ?S8=32 ?

+ = + ? ? ∴? 8×7 8a1+ 2 ×d=32 ? ?
?a1=-3 ? ∴? , ?d=2 ?

+ ,

10×9 ∴S10=10×(-3)+ 2 ×2=60,选 C. (理)(2009· 重庆)设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( ) n2 7n A. 4 + 4 n2 5n B. 3 + 3 n2 3n C. 2 + 4 D.n2+n [答案] A [解析] 设等差数列公差为 d,∵a1=2,∴a3=2+2d,a6=2+5d.又∵a1,a3,a6 成等比数 列,∴a32=a1a6,即(2+2d)2=2(2+5d),整理得 2d2-d=0. 1 ∵d≠0,∴d=2,∴Sn=na1+ - n2 7 d= 4 +4n.故选 A. 2 )

8.在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则 Sn 等于(

A.2n+1-2 B.3n C.2n D.3n-1 [答案] C [解析] 解法 1:由{an}为等比数列可得 an+1=an· q,an+2=an· q2 由{an+1}为等比数列可得(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1),故(an· q+1)2=(an+1)(an· q2+1), 化简上式可得 q2-2q+1=0,解得 q=1, 故 an 为常数列,且 an=a1=2,故 Sn=n· a1=2n,故选 C. 解法 2:设等比数列{an}的公比为 q,则有 a2=2q 且 a3=2q2, 由题设知(2q+1)2=3· (2q2+1), 解得 q=1,以下同解法 1. 二、填空题 1 9.设 f(x)= ,则 f(-9)+f(-8)+…+f(0)+…+f(9)+f(10)的值为________. 2x+ 2 [答案] 5 2 [解析] 2 2, ∴f(-9)+f(-8)+…+f(0)+…+f(9)+f(10)=5 2. 10. (2011· 启东模拟)对于数列{an}, 定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”, 若 a1=2, {an} 的“差数列”的通项为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. [答案] 2n+1-2 [解析] ∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+22+2+2 = 2-2n +2=2n-2+2=2n, 1-2 ∵f(-n)+f(n+1)= 2n· 2+1 1 1 2n 1 + = + = = 2-n+ 2 2n+1+ 2 1+2n· 2 2n+1+ 2 2n+1+ 2

2-2n+1 ∴Sn= =2n+1-2. 1-2 S1+S2+…+Sn 11.(2011· 江门模拟)有限数列 A={a1,a2,…,an},Sn 为其前 n 项的和,定义 n 为 A 的“凯森和”;如果有 99 项的数列{a1,a2,…,a99}的“凯森和”为 1000,则有 100 项的数 列{1,a1,a2,…,a99}的“凯森和”为________. [答案] 991 [解析] ∵{a1,a2,…,a99}的“凯森和”为 S1+S2+…+S99 =1000, 99 ∴S1+S2+…S99=1000×99, 1+ 数列{1,a1,a2,…,a99}的“凯森和”为: + + + +…+ S99+ 100



100+S1+S2+…+S99 =991. 100

三、解答题 12.(2010· 重庆文)已知{an }是首项为 19,公差为-2 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和. (1)求通项 an 及 Sn; (2)设{bn-an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. [解析] 本题主要考查等差数列的基本性质,以及通项公式的求法,前 n 项和的求法,同时也 考查了学生的基本运算能力. (1)因为{an}为首项 a1=19,公差 d=-2 的等差数列, 所以 an=19-2(n-1)=-2n+21, Sn=19n+ - (-2)=-n2+20n. 2

(2)由题意知 bn-an=3n-1,所以 bn=3n-1-2n+21 Tn=b1+b2+…+bn=(1+3+…+3n-1)+Sn 3n-1 =-n2+20n+ 2 . 13.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-3n. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 bn=an· 2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)证明:a1=S1=-1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5. 又 a1 适合上式,故 an=4n-5(n∈N*). 当 n≥2 时,an-an-1=4n-5-4(n-1)+5=4, 所以{an}是等差数列且 d=4,a1=-1. (2)bn=(4n-5)· 2n, ∴Tn=-21+3· 22+…+(4n-5)· 2n,① 2Tn=-22+…+(4n-9)· 2n+(4n-5)· 2n+1,② ①-②得 -Tn=-21+4· 22+…+4· 2n-(4n-5)· 2n+1 =-2+4· -2n- 1-2 -(4n-5)· 2n+1

=-18-(4n-9)· 2n+1, ∴Tn=18+(4n-9)· 2n+1. 14.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,且 an+2SnSn-1=0(n≥2), (1)求数列{Sn}的通项公式; (2)设 Sn= 1 1 ,bn=f(2n)+1.记 Pn=S1S2+S2S3+…+SnSn+1,Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn

1 +1,试求 Tn,并证明 Pn<2. [解析] (1)解:∵an+2SnSn-1=0(n≥2), ∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0. 1 1 ∴Sn- =2.又∵a=1, Sn-1

1 ∴Sn= (n∈N+). 2n-1 (2)证明:∵Sn= 1 ,∴f(n)=2n-1.

1 1 ∴bn=2(2n)-1+1=(2)n-1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn=(2)0· (2)1+(2)1· (2)2+…+(2)n-1· (2)n=(2)1+(2)3+(2)5+…+(2)2n-1 2 1 =3[1-(4)n]. 1 ∵Sn= (n∈N+) 2n-1 1 1 ∴Pn=1×3+3×5+…+ 1 ? 1 1? =2 1-2n+1 <2. 1 - +

?

?

15.(2010· 山东理)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an2-1 [解析] 本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练掌握 数列的基础知识是解答好本类题目的关键.对(1)可直接根据定义求解,(2)问采用裂项求和即 可解决. (1)设等差数列{an}的公差为 d,因为 a3=7,a5+a7=26,
?a1+2d=7 ? 所以有? ,解得 a1=3,d=2, ?2a1+10d=26 ?

所以 an=3+2(n-1)=2n+1; Sn=3n+ - ×2=n2+2n. 2 1 + 1 = · -1 4 1 ? 1 1 ?1 =4· n-n+1 , + ? ?

1 (2)由(1)知 an=2n+1,所以 bn= = an2-1 1 1 1 1 1 ? 1? 所以 Tn=4· 1-2+2-3+…+n-n+1

?

?

1 ? 1? =4· 1-n+1 =

?

?

n +

, n + .

即数列{bn}的前 n 项和 Tn=

[点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和,解决此类题目要 注意合理选择公式,对于数列求和应掌握经常使用的方法,如:裂项、叠加、累积.本题应 用了裂项求和.



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