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重庆市万州区分水中学2015届高考数学二模试卷(理科)


重庆市万州区分水中学 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上. 1. (5 分)已知全集 U={x|﹣2≤x<3},集合 A={x|﹣2≤x<3},B={y|y=2 () A.{x|﹣2≤x<0} B. C.

x﹣1

,x≥0},则 A∩?UB=

D.{x|0≤x<3}

2. (5 分)由观测的样本数据算得变量 x 与 y 满足线性回归方程 均数 ,则样本平均数 的值为() A.0.5 B.

,已知样本平

1.5 C.

2.5 D. 3.5

3. (5 分)已知向量 的值为() A. B.



,且向量 k



平行,则实数 k

C . ﹣2
2 2 2

D.2

4. (5 分)已知命题 p:若 a>b,则 a >b ;q:“x≤1”是“x + 2x﹣3≤0”的必要不充分条件.则 下列命题是真命题的是() A.p∧q B. p∧q
?

C . p∧ q

?

?

D.p∧ q

?

5. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=7,a6+a8=﹣6,则 Sn 取最大值时,n 的 值为() A.3 B. 4 C. 5 D.6 6. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()

A.16+8

B.16+4

C.48+8

D.48+4

7. (5 分)阅读如图所示的程序框图,若输出的数据为 58,则判断框中应填入的条件为()

A.k≤3

B.k≤4

C . k≤5

D.k≤6

8. (5 分)某天连续有 7 节课,其中语文、英语、物理、化学、生物 5 科各 1 节,数学 2 节.在 排课时,要求生物课不排第 1 节,数学课要相邻,英语课与数学课不相邻,则不同排法的种 数是() A.408 B.480 C.552 D.816

9. (5 分)设 F 是双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,点 A、B 分别

在双曲线的两条渐近线上,AF⊥x 轴,BF⊥x 轴,BF∥OA, 为() A. B. C.

?

=0,则该双曲线的离心率

D.

10. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sinA﹣sinB= sinC, 3b=2a,2≤a +ac≤18,设△ ABC 的面积为 S,p= A. B. C.
2

a﹣S,则 p 的最小值是() D.

二、填空题:本大题 6 个小题,考生作答 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答 题卡相应的位置上. 11. (5 分)复数 的虚部为.

12. (5 分)圆 x +(y+1) =5 上的点到直线 2x﹣y+9=0 的最大距离为. 13. (5 分)设常数 a>1,实数 x,y 满足 logax+2logxa+logxy=﹣3,若 y 的最大值为 的值为. ,则 x

2

2

【选做题】 (共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) 14. (5 分)如图,已知切线 PA 切圆于点 A,割线 PBC 分别交圆于点 B,C,点 D 在线段 BC 上,且 DC=2BD,∠BAD=∠PAB, ,PB=4,则线段 AB 的长为.

【选做题】 ( (共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) 15. (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已 知曲线 C 的方程为 (t 为参数) ,直线 l 的方程为 kρcosθ﹣ρsinθ﹣k=0(k 为实数) ,若

直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,F 为曲线 C 的焦点,则

的值为.

【选做题】 ( (共 1 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 16.设函数 f(x)=|x﹣1|+|2x﹣a|,若关于 x 的不等式 f(x)≥ a 的取值范围是. +1 对 x∈R 恒成立,则实数

三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过 程,并答在答题卡相应的位置上. 17. (13 分)设函数 (Ⅰ) 求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ) 若 f(α)= ﹣1,且 ,求 的值. .

18. (13 分)某居民小区有 A,B,C 三个相互独立的消防通道,通道 A,B,C 在任意时刻畅 通的概率分别为 .

(Ⅰ) 求在任意时刻至少有两个消防通道畅通的概率; (Ⅱ) 在对消防通道 A 的三次相互独立的检查中,记畅通的次数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布 列和数学期望 Eξ. 19. (13 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AC⊥AB, AD⊥DC, ∠DAC=60°, PA=AC=2,AB=1,点 E 在棱 P C 上,且 DE⊥PB. (Ⅰ) 求 CE 的长;

(Ⅱ) 求二面角 A﹣PB﹣C 的正弦值.

20. (12 分)已知 a>0,函数



(Ⅰ) 讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ) 当函数 f(x)存在极值时,设所有极值之和为 g(a) ,求 g(a)的取值范围.

21. (12 分)如图所示,已知椭圆 C 的方程为

=1,F1,F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点,

直线 AB:y=kx+m(k<0)与椭圆 C 交于不同的 A,B 两点. (Ⅰ) 若 k=﹣1,m= ,点 P 在直线 AB 上求|PF1|+|PF2|的最小值; (Ⅱ) 若以线段 AB 为直径的圆经过点 F2,且原点 O 到直线 AB 的距离为 (1)求直线 AB 的方程; (2)在椭圆 C 上求点 Q 的坐标,使得△ ABQ 的面积最大. .

22. (1 2 分)已知数列{an}的前 n 项和 为 Sn,且 a1=2,lg[(n+1)an+1]﹣lg[(n+2)an]﹣lg2=0 * (n∈N ) . (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设 Pn= ,Tn= ,求证:P1?P3?P5…P2n﹣1<Tn< .

重庆市万州区分水中学 2015 届高考数学二模试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上. 1. (5 分)已知全集 U={x|﹣2≤x<3},集合 A={x|﹣2≤x<3},B={y|y=2 () A.{x|﹣2≤x<0} B. C.
x﹣1

,x≥0},则 A∩?UB=

D.{x|0≤x<3}

考点: 交、并、补集 的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 B 中的不等式的解集,确定出集合 B,根据全集 U=R,找出集合 B 的补集, 然后找出集合 B 补集与集合 A 的公共部分,即可求出所求的集合 解答: [解:由指数函数的性质,可知集合 B={y|y≥ }=[ ,+∞) 又全集 U={x|﹣2≤x<3}=(﹣2,3], ∴CUB=(﹣2, ) , 集 合 A={x|﹣2≤x<3}, ∴A∩CUB=(﹣2, ) . 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,是一道基本题型,求集合补集时注意全集的 范围

2. (5 分)由观测的样本数据算得变量 x 与 y 满足线性回归方程 均数 ,则样本平均数 的值为() A.0.5 B.1.5

,已知样本平

C.2.5

D.3.5

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 直接利用回归直线方程经过样本中心,求解即可. 解答: 解:线性回归方程 ,已知样本平均数 ,则样本平均数 =0.6×5﹣

0.5=2.5. 故选:C. 点评: 本题考查回归直线方程的应用,基本知识的考查.

3. (5 分)已知向量 的值为() A. B.



,且向量 k



平行,则实数 k

C . ﹣2

D.2[来源:学+科+网]

考点: 平行向量与共线向 量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 求出两个平行向量,利用共线向量的充要条件列出方程求解即可. 解答: 解:向量 , ,且向量 k =(k﹣3,2k+2)与 =

(7,﹣2)平行 可得:7(2k+2)=﹣2(k﹣3) . 解得 k=﹣ . 故选:A. 点评: 本题考查向量共线的充要条件的应用,基本知识的考查. 4. (5 分)已知命题 p:若 a>b,则 a >b ;q:“x≤1”是“x +2x﹣3≤0”的必要不充分条件.则 下列命题是真命题的是() ? ? ? ? A.p∧q B. p∧q C . p∧ q D.p∧ q 考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 先判断命题 p,q 的真假,再利用复合真假的判定方法即可判断出正误. 解答: 解:命题 p:若 a>b,则 a >b ,不正确,举反例:取 a=1,b=﹣2,不成立; 2 2 q:由 x +2x﹣3≤0,解得﹣3≤x≤1,因此“x≤1”是“x +2x﹣3≤0”的必要不充分条件,是真命题. ∴p∧q,¬p∧¬q,p∧¬q,是假命题,¬p∧q 是真命题. 故选:B. 点评: 本题考查了复合真假的判定方法,属于基础题. 5. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=7,a6+a8=﹣6,则 Sn 取最大值时,n 的 值为() A.3 B. 4 C. 5 D.6 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知结合等差数列的性质求得 a7,进一步求得公差,代入等差数列的通项公式, 由通项大于 0 求得答案.[来源:学_科_网] 解答: 解:在等差数列{an}中,由 a6+a8=﹣6,得 2a7=﹣6,a7=﹣3, 又 a2=7,∴ ,
2 2 2 2 2

∴an=a2+(n﹣2)d=7﹣2(n﹣2)=11﹣2n. 由 an=11﹣2n>0,得 n
*



∵n∈N ,[来源:学。科。网 Z。X。X。K] ∴Sn 取最大值时,n 的值为 5. 故选:C.[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

点评: 本题考查等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题. 6. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()

A.16+8

B.16+4

C.48+8

D.48+4

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱,分别计算底面 面积和侧面积,相加可得 答案. 解答: 解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱, 底面面积 S= × =4 ,

且底面为边长为 4 的等边三角形, 故底面周长为 12,高为 4,故侧面面积为:12×4=48, 故该几何体的表面积 S=48+8 , 故选:C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 7. (5 分)阅读如图所示的程序框图,若输出的数据为 58,则判断框中应填入的条件为()

A.k≤3

B.k≤4

C . k≤5

D.k≤6

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图.

分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:当 S=0,k=1 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=1,k=2, 当 S=1,k=2 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=6,k=3, 当 S=6,k=9 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=21,k=4, 当 S=21,k=4 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=58,k=5, 当 S=58,k=5 时,满足输出条件, 故判断框中应填入的条件为 k≤4, 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答. 8. (5 分)某天连续有 7 节课,其中语文、英语、物理、化学、生物 5 科各 1 节,数学 2 节.在 排课时,要求生物课不排第 1 节,数学课要相邻,英语课与数学课不相邻,则不同排法的种 数是() A.408 B.480 C.552 D.816 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 根据数学课的情况,分 4 大类,其中数学在(3,4) , (4,5) , (5,6)情况一样算 作一类,每一类种根据分步或分类计数原理,求出答案. 解答: 解:数学在第(1,2)节,从除英语的 4 门课中选 1 门安排在第 3 节,剩下的任意 排故有 C4 A4 =96 种, 数学在第(2,3)节,从除英语,生物外的 3 门课中选 1 门安排在第 1 节,除英语剩下的 3 门课再选 1 门安排在第 4 节,剩下的任意排,故有 C3 C3 A3 =54 种, 4 数学在(3,4) , (4,5) , (5,6)情况一样,当英语在第一节时,其它任意排,故有 A4 =24 种,当英语不在第 1 节,从除英语,生物外的 3 门课中选一门安排在第一节,再从除英语的 剩下的 3 门中选 2 门放在数学课前 1 节和后一节,剩下的任意排,有 C3 A3 A2 =36 种,故有 3×(24+36)=180 种, 4 数学在第(6,7)节,当英语在第一节时,其它任意排,故有 A4 =24 种,当英语不在第 1 节, 从除英语,生物外的 3 门课中选一门安排在第一节,再从除英语的剩下的 3 门中选 1 门放在 1 1 3 第 5 节,剩下的任意排,有 C3 C3 A3 =54 种,故有 24+54=78 种, 根据分类计数原理,共有 96+54+180+78=408 种. 故选:A. 点评: 本题考查了分类和分步计数原理,本题中类中有类,比较复杂,需要认真仔细,属 于中档题. [来源:学科网 ZXXK] 9. (5 分)设 F 是双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,点 A、B 分别
1 2 2 1 1 3 1 4

在双曲线的两条渐近线上,AF⊥x 轴,BF⊥x 轴,BF∥OA, 为()

?

=0,则该双曲线的离心率

A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: 设 kOB=﹣ ,利用 可求出双曲线的离. 解答: 解:由题意,设 kOB=﹣ , ∵ ? =0,∴kAB= , ? =0,可得 kAB= ,再求出 A,B 的坐标,可得 kAB= ,即

直线 FB 的方程为 y= (x﹣c) ,

联立

,解得 B( ,﹣

) ,

∵A(c, ∴kAB=
2 2

) , = ,

∴b = a , ∴c =a +b = a , ∴e= = ,
2 2 2 2

故选:D. 点评: 本题考查双曲线的离心率,考查向量知识,考查学生分析解决问题的能力,是基础 题. 10. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sinA﹣sinB= sinC, 3b=2a,2≤a +ac≤18,设△ ABC 的面积为 S,p= A. B. C.
2

a﹣S,则 p 的最小值是() D.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形.

分析: 由条件利用正弦定理求得 c=a,b=

,1≤a≤3,再利用余弦定理求得 cosB 的值,可得 a﹣ a ,再利用二次函
2

sinB 的值,从而△ ABC 的面积为 S= ?ac?sinB 的值,可得 p= 数的性质求得 p 的最小值.

解答: 解:在△ ABC 中,由 sinA﹣sinB= sinC 利用正弦定理可得 c=3a﹣3b, 再根据 3b=2a,2≤a +ac≤18,可得 c=a,b= 由余弦定理可得 b = 求得 cosB= ,∴sinB= 故 p= a﹣S= a﹣
2 2 2 2

,1≤a≤3.

=a +a ﹣2a?a?cosB, ,∴△ABC 的面积为 S= ?ac?sinB=
2

?

=

?a , ,

2

a ,再利用二次函数的性质可得当 a= 时,p 取得最小值是

故选:D. 点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题.[来源:学科网 ZXXK] 二、填空题:本大题 6 个小题,考生作答 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答 题卡相应的位置上. 11. ( 5 分)复数 的虚部为﹣2.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 解答: 解:复数 = = =﹣2i 的虚部为﹣2.

故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题. 12. (5 分)圆 x +(y+1) =5 上的点到直线 2x﹣y+9=0 的最大距离为 3 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 圆 x +(y+1) =5 上的点到直线 2x﹣y+9=0 的最大距离是:d+r,其中 d 是圆心到直 线的距离.计算出即可. 2 2 解答: 解:∵x +(y+1) =5,∴圆心(0,﹣1) ,半径 r= . ∴圆心到直线的距离 d=
2 2 2 2 2 2



=2

, .

∴圆 x +(y+1) =5 上的点到直线 2x﹣y+9=0 的最大距离为 +2 =3 故答案为:3 . 点评: 明确圆上的点到直线的最大距离的计算方法是解题的关键.

13. (5 分)设常数 a>1,实数 x,y 满足 logax+2logxa+logxy=﹣3,若 y 的最大值为 的值为 .

,则 x

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 实数 x, y 满足 logax+2logxa+logxy=﹣3, 化为 logax+ 化为:logay= + =﹣3, 令 logax=t,

+ ,再利用二次函数的单调性、对数的运算性质即可得出.

解答: 解:实数 x,y 满足 logax+2logxa+logxy=﹣3, 化为 logax+ 令 logax=t, 化为:logay= + , , + =﹣3,

∵a>1,∴当 t=﹣ 时,y 取得最大值 ∴ 解得 a=4. ∴log4x=﹣ , = ,

∴x=

= .

故答案为: . 点评: 本题考查了二次函数的单调性、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 【选做题】 (共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) 14. (5 分)如图,已知切线 PA 切圆于点 A,割线 PBC 分别交圆于点 B,C,点 D 在线段 BC 上,且 DC=2BD,∠BAD=∠PAB, ,PB=4,则线段 AB 的长为 2 .

考点: 与圆有关的比例线段.

专题: 选作题;2015 届高考数学专题. 分析: 利用切割线定理求出 PC,可得 BC,利用 DC=2BD,可得 BD=2,DC=4,证明 △ BCA∽△BAD,即可求出 AB. 解答: 解:因为切线 PA 切圆于点 A,割线 PBC 分别交圆于点 B,C, ,PB=4, 所以 40=4PC, 所以 PC=10, 所以 BC=6, 因为 DC=2BD, 所以 BD=2,DC=4, 因为∠BCA=∠PAB,∠BAD=∠PAB, 所以△ BCA∽△BAD, 所以 ,

所以 BA=2 . 故答案为:2 . 点评: 本题考查切割线定理,考查三角形相似的判断,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 【选做题】 ( (共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) 15. (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已 知曲线 C 的方程为 (t 为参数) ,直线 l 的方程为 kρcosθ﹣ρsinθ﹣k=0(k 为实数) ,若

直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,F 为曲线 C 的焦点,则

的值为 1.

考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 曲线 C 的方程为 (t 为参数) , 化为 y =4x, 其焦点 F (1, 0) . 利用
2

即可得出直线 l 的直角坐标方程:kx﹣y﹣k=0.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .与抛物线方程 联立可得根与系数的关系,由焦点弦长公式 可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1.代入 可得出. 解答: 解:曲线 C 的方程为 (t 为参数) ,化为 y =4x,其焦点 F(1,0) .
2



直线 l 的方程为 kρcosθ﹣ρsinθ﹣k=0(k 为实数) ,kx﹣y﹣k=0,化为 y=k(x﹣1) . 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 联立 ,化为 k x ﹣(4+2k )x+k =0,
2 2 2 2

x1+x2=

,x1x2=1.

∴|AF|=x1+1,|BF|=x2+1.



=

=

=

=1.

故答案为:1. 点评: 本题考查了抛物线参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、抛物线 的焦点弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选做题】 ( (共 1 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 16.设函数 f(x)=|x﹣1|+|2x﹣a|,若关于 x 的不等式 f(x)≥ a 的取值范围是[﹣2,0]. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 分类讨论化简函数 f(x)的解析式,利用单调性求得函数的最小值,再由此最小值 大于或等于 +1,从而求得 a 的范围. +1 对 x∈R 恒成立,则实数

解答: 解:当 <1 时,由于 f(x)=|x﹣1|+|2x﹣a|=

,故函数 f(x)

的最小值为 f( )=1﹣ , 由关于 x 的不等式 f(x)≥ +1 对 x∈R 恒成立,可得 1﹣ ≥ +1,求得﹣2≤a≤0.

当 ≥1,由于 f(x)=|x﹣1|+|2x﹣a|=

,故函数 f(x)的最小值为 f(1)

=2﹣a, 由关于 x 的不等式 f(x)≥ +1 对 x∈R 恒成立,可得 2﹣a≥ +1,求得 a∈?,

综上可得 a 的范围为[﹣2,0], 故答案为:[﹣2,0]. 点评: 本题主要考查带有绝对值的函数,利用函数的单调性求函数的最值,函数的恒成立 问题,属于中档题.

三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过 程,并答在答题卡相应的位置上. 17. (13 分)设函数 (Ⅰ) 求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ) 若 f(α)= ﹣1,且 ,求 的值. .

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由条件利用三角恒等变换化简函数 f(x)的解析式,再利用正弦函数的周期 性和单调性得出结论. (Ⅱ)由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式求得 解答: 解: (Ⅰ) ∵ ∴f(x)的最小正周期为 由 ∴f(x)的单调递增区间为 (Ⅱ)∵ 由 ∴ = = = . 知 ,∴ ,∴ = = . ,得 . . . , = , 的值.

点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的周期性和单调性,属于 中档题. 18. (13 分)某居民小区有 A,B,C 三个相互独立的消防通道,通道 A,B,C 在任意时刻畅 通的概率分别为 .

(Ⅰ) 求在任意时刻至少有两个消防通道畅通的概率; (Ⅱ) 在对消防通道 A 的三次相互独立的检查中,记畅通的次数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布 列和数学期望 Eξ.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)由已知可得,至少有两个消防通道畅通的概率 ; (Ⅱ)ξ 的所有可能为 0,1,2,3,根据独立重复试验的概率公式可求 P(ξ=k) ,进而可求 ξ 的分布列及 数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)由已知通道 A,B,C 畅通的概率分别为 , 设“至少有两个消防通道畅通”为事件 D, ∴ = (Ⅱ)∵ξ 的所有可能为 0,1,2,3, ∴ , , , . ∴ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 P 数学期望 . …(13 分) …(10 分) = …(4 分) . …(6 分)

3

点评: 本题主要考查了离散型随机变量的分布列及期望的求解,求解的关键是熟悉概率模 型,准确求解相应的概率.[来源:学#科#网] 19. (13 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AC⊥AB, AD⊥DC, ∠DAC=60°, PA=AC=2,AB=1,点 E 在棱 PC 上,且 DE⊥PB. (Ⅰ) 求 CE 的长; (Ⅱ) 求二面角 A﹣PB﹣C 的正弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;立体几何. 分析: (I)建立空间直角坐标系,设出点的坐标得出 . 根据 DE⊥PB,运用数量积求解即可. (II)平面 PBC 的法向量为 ,根据 ,

易知 解正弦即可.

是平面 PAB 的法向量,运用

,求

解答: 解: (Ⅰ) 如图,以

分别为 x,y,z 轴的正半轴方向,建立空间直角 .

坐标系, 则P (0, 0, 2) , A (0, 0, 0) , B (1, 0, 0) ,

过 E 作 EF⊥AC 于 F,由已知,得 EF∥PA, 设 EF=h,则 E(0,2﹣h,h) . ∴ ∵DE⊥PB,∴ ∴ . , , , , .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 设平面 PBC 的法向量为







,取 z=1,得



易知

是平面 PAB 的法向量,





则二面角 A﹣PB﹣C 的正弦值为 sin< ,

>=



点评: 本题考查了空间向量的在求解空间角中的应用,考查了学生的空间思维能力,计算 能力,属于中档题.

20. (12 分)已知 a>0,函数



(Ⅰ) 讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ) 当函数 f(x)存在极值时,设所有极值之和为 g(a) ,求 g(a)的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)对函数 f(x)进行求导,得到关于 x 的一元二次方程,对△ 进行讨论得到单 调区间. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知,当函数 f(x)存在极值时, 极值,继而求得参数范围. ,且 f(x)在 x=x1,x=x2 处取得

解答: 解: (Ⅰ) f(x)的定义域为(a,+∞) ,

. …

(2 分) 方程 x ﹣x+a=0 的判别式△ =1﹣4a. (1)若△ ≤0,即 时,在 f(x)的定义域(a,+∞)内,有 f′(x)≥0,∴f(x)在定义 …(3 分) 时,方程 x ﹣x+a=0 有两个不同的实数根为: ,且 a<x1<x2. ∴f(x)在 在 和 上为减函数. 上为增函数; …(5 分) …(6 分) ,
2 2

域(a,+∞)上为增函数; (2)若△ >0,即

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,当函数 f(x)存在极值时,

且 f(x)在 x=x1,x=x2 处取 得极值. …(8 分) ∵x1+x2=1,x1x2=a,∴f(x)的所有极值之和为:g(a)=f(x1)+f(x2) = = 当 时, = …(10 分) 为减函数, .…(12 分) =

∴g(a)的取值范围是

点评: 本题主要考查了导数在函数综合题中的应用,注意对参数的讨论得到不同的单调区 间,属于难度较大的题型.

21. (12 分)如图所示,已知椭圆 C 的方程为

=1,F1,F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点,

直线 AB:y=kx+m(k<0)与椭圆 C 交于不同的 A,B 两点. (Ⅰ) 若 k=﹣1,m= ,点 P 在直线 AB 上求|PF1|+|PF2|的最小值; .

(Ⅱ) 若以线段 AB 为直径的圆经过点 F2,且原点 O 到直线 AB 的距离为 (1)求直线 AB 的方程; (2)在椭圆 C 上求点 Q 的坐标,使得△ ABQ 的面积最大.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)求出椭圆的焦点坐标,直线 AB 的方程,求出 F2 关于直线 AB 的对称 ,然后求解|PF1|+|PF2|的最小值. (Ⅱ) (1)设点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .利用原点 O 到直线 AB 的距 离得到 m、k 的关系,联立 y=kx+m 与 ,通过韦达定理以及 ,求出 m、

k 的值,然后求出 AB 的方程. (2)由(1)可知,|AB|是定值,当椭圆 C 上的点 Q 使得△ ABQ 的面积最大时,点 Q 到直线 AB 的距离为最大,即点 Q 为在直线 AB 的下方平行于 AB 且与椭圆 C 相切的切点.设平行于 AB 且与椭圆 C 相切的切线方程, 与椭圆联立, 利用判别式为 0, 求解即可. [来源:Z+xx+k.Com]

解答: 解: (Ⅰ) 由椭圆方程可得,焦点坐标为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) . 分) 当 k=﹣1, 时,直线 AB 的方程为 . …(2 分) . 则可得 F2(1,0)关于直线 AB 的对称点为 ∴|PF1|+|PF2|的最小值为: (Ⅱ) : (1)设点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 由原点 O 到直线 AB 的距离为 ,得 ,即

…(1

…(3 分) . …(4 分)

.①…(5 分)

将 y=kx+m 代入
2 2 2

,得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣2=0,
2 2 2

2

2

2

∴△=16k m ﹣4(1+2k ) (2m ﹣2)=8(2k ﹣m +1)>0, ∴ 由已知,得 . ,即(x1﹣1) (x2﹣1)+y1y2=0. …(6 分) …(7 分)

∴(x1﹣1) (x2﹣1)+(kx1+m) (kx2+m)=0, 即 ,

∴ 化简,得 3m +4km﹣1=0.②…(8 分) 由①②,得
2



,即 11m ﹣10m ﹣1=0,∴m =1.

4

2

2

∵k<0,∴ ∴AB 的方程为

,满足△ =8(2k ﹣m +1)>0. . …(9 分)

2

2

(2)由(1)可知,|AB|是定值,当椭圆 C 上的点 Q 使得△ ABQ 的面积最大时,点 Q 到直线 AB 的距离为最大,即点 Q 为在直线 AB 的下方平行于 AB 且与椭圆 C 相切的切点.设平行于

AB 且与椭圆 C 相切的切线方程为

,由



,∴△=﹣8n +12=0, ∴ , ( 舍去) ,…(11 分)

2

从而,可得 Q 的坐标为



…(12 分)

点评: 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,点到直线的距离公式的应用,考查分析问 题解决问题的能力. 22. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,lg[(n+1)an+1]﹣lg[(n+2)an]﹣lg2=0 * (n∈N ) . (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设 Pn= ,Tn= ,求证:P1?P3?P5…P2n﹣1<Tn< .

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 综合题;压轴题;等差数列与等比数列. 分析: (I)变形 解通项公式. (II)两式相减,得 = n?2 ,
n

,判断

是以首项为

,公比为 2 的等比数列. 求

=﹣





方法一:放缩证明 , ,即可证明. 方法二:用数学归纳法证明如下:按步骤论证即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵a1=2,lg[(n+1)an+1]﹣lg[(n+2)an]﹣lg2=0, ∴ ,即 ,

∴ ∴ (Ⅱ)∵

是以首项为 ,即

,公比为 2 的等比数列. . ,∴ . ,

两式相减,得 = n?2 , ∴ .
n

=﹣













①先证明:P1?P3?P5…P2n﹣1<Tn. 方法一:∵ ∴ , =



∴ 方法二:用数学归纳法证明如下: (1)当 n=1 时,左边= ∵

,即 P1?P3?P5…P2n﹣1<Tn.

,右边=



,∴左边<右边,即不等式成立. ,

(2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 那么,当 n=k+1 时, 左边 =

=Tk+1=右边,

∴左边<右边.∴当 n=k+1 时,不等式也成立. ∴P1?P3?P5…P2n﹣1<Tn 对 n∈N 都成立. ②再证明: 设函数 令 f′(x)=0,得 ∴在 ,即证明 ,则导函数 , 上有 f′(x)<0,即 f(x)在 在 , ,即 . . [来源:学科网] 上单调递减. 上恒成立. . .
*

∴f(x)<f(0)=0,即 又∵ ∴ 综上可得:

点评: 本题主要考查了等比关系的确定和数列的求和问题.考查了学生对数列知识的综合 掌握,综合解决问题的能力,数学式子的变形能力,思维能力,放缩变形能力,难度较大,属 于难题.[来源:学科网 ZXXK]


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